\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 5-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
A szemin\'arium f\H{o} c\'elja az volt, hogy n\'eh\'any feladat
megt\'argyal\'as\'aval p\'eld\'at mutassunk arra, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k ``absztrakt fogalm\'anak"
felhaszn\'al\'asa lehet\H{o}v\'e teszi bizonyos feladatok egyszer\H{u}
megold\'as\'at, heurisztikus \'ervel\'esek egyszer\H{u}, prec\'{\i}z
megfogalmaz\'as\'at. A k\'es\H{o}bbiekben is igyeksz\"unk ilyen
p\'eld\'akat vizsg\'alni. \medskip
\item{1.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{2.} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes eloszl\'assal
elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi az
\'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye?
\medskip
Mind a k\'et feladat megoldhat\'o form\'alis sz\'amol\'assal, azt
felhaszn\'alva, hogy ismert s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani
konvol\'uci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ugyanakkor egy j\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellben vizsg\'alva a probl\'em\'akat
egyszer\H{u}bb megold\'ast is tudunk adni. Tekints\"uk mind a k\'et
megold\'ast.
\item{}{\it 1. feladat a) megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez a pont az egys\'egn\'egyzet egy
(sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e halmaz ter\"ulet\'evel.
Mi\'ert? Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az esem\'enyt jelenti,
hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{}{\it 2. feladat a) megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzetet, \'es
v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$
koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az  els\H{o} botot az
$y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk el a m\'asodik botot.
Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes eloszl\'as\'u az
egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az \"osszeragasztott bot
hossza kisebb mint valamely $u$ sz\'am megegyezik annak az esem\'enynek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont a
k\"ovetkez\H{o} $A_1(u)$, $A_2(u)$, $A_3(u)$ \'es  $A_4(u)$ halmazok
$A_1(u)\cup A_2(u)\cup A_3(u)\cup A_4(u)$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1(u)=\{(x,y)\: x+y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2(u)=\{(x,y)\: x+(1-y)<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3(u)=\{(x,y)\: 1-x+y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4(u)=\{(x,y)\: 1-x+1-y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Ha $u<\frac12$,
akkor ezek a halmazok diszjunktak, ter\"ulet\"uk $\frac {u^2}2$, ez\'ert
$F(u)=1-2u^2$, ha $u\le \frac12$. Ha $\frac 14\le u\le \frac12$, akkor
az $A_1(u)\cup A_2(u)\cup A_3(u)\cup A_4(u)$ halmaz komplementere egy
olyan n\'egyzet, melynek \'atl\'oja $(2-2u)$ hossz\'u. Ez\'ert
$F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$, akkor
$F(u)=1$.
\item{}{\it 1. feladat m\'asodik megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi-2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
elosz\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf8ggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$. (Eml\'ekeztet\H{o}\"ul, ha
$f_1$ \'es $f_2$ k\'et s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor ezek
konvoluci\'oja $f_1*f_2$ a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhat\'o ki.
$$
f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,dv
=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x-u)f_2(u)\,dv, \quad -\infty<x<\infty.
$$
Tov\'abb\'a, ha $\xi_1$ \'es $\xi_2$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f_1(\cdot)$ \'es $f_2(\cdot)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel, akkor a $\xi_1+\xi_2$
\H{o}sszegnek is l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$f_1*f_2(\cdot)$ konvoluci\'o.)
\item{} N\'emi sz\'amol\'as adja, hogy $g(u)=1-u$, ha $0<u<1$
$g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{}{\it 2. feladat m\'asodik megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza. Ekkor $\xi_1$, \'es
$\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $f(x)=2$,
ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent
s\H{u}r\'us\'egf\"uggv\'ennyel. Minket a $\xi_1+\xi_2$ eloszl\'asa
\'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$, ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$
k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk az eredm\'enyt.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es
$f(x)=1$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
 
 
\bye
