\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 26-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
El\H{o}sz\"or felid\'ezt\"unk n\'eh\'any fontos t\'enyt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'evel kapcsolatban:
 
\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor szorzatuk v\'arhat\'o
\'ert\'eke megegyezik az egyes v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek szorzat\'aval. Azaz, k\'epletben kifejezve
$$
E\xi_1\xi_2\cdots \xi_n=E\xi_1\, E\xi_2\cdots E\xi_n
$$
}\medskip\noindent
Val\'oj\'aban n\'emi megszor\'{\i}t\'ast kell tenn\"unk a fenti
t\'etelben. Tegy\"uk fel, hogy $E|\xi_s|<\infty$ minden $1\le s\le n$
eset\'en. Ez a felt\'etel biztos\'{\i}tja, hogy nem l\'ep fel
konvergencia (\'ertelmez\'esi) probl\'ema az 1. t\'etelben.
\medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $g_1(x)$,\dots, $g_n(x)$
(m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyek, akkor az $\eta_1=g(\xi_1)$,\dots,
$\eta_n=g(\xi_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok is
f\"uggetlenek.
 
Kiss\'e \'altal\'anosabban: Legyenek
$$
\xi_1,\dots,\xi_{l_1},\xi_{l_1+1}\dots,\xi_{l_1+l_2}\dots,
\xi_{l_1+\cdots+l_{k-1}+1},\dots,\xi_{l_1+\cdots+l_k}
$$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ahol
$l_1,\dots,l_k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok. Ha
$g_s(x_1,\dots,x_{l_s})$, $1\le s\le k$ (m\'erhet\H{o}) az $R^{l_s}$
$l_s$ dimenzi\'os Euklidesi t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyek,
akkor az $\eta_s=g_s(\xi_{l_{s-1}+1},\dots,\xi_{l_s})$, $1\le s\le k$,
($l_0=0$) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny:}  {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es $g_1(x),\dots,g_n(x)$
(m\'er\-he\-t\H{o}) f\"uggv\'enyek a sz\'amegyenesen, akkor
$$
Eg_1(\xi_1)\cdots g_n(\xi_n)=Eg_1(\xi_1)\cdots Eg_n(\xi_n).
$$
}\medskip\noindent
Val\'oban, a 2. t\'etel eredm\'enye alapj\'an az $\eta_s=g(\xi_s)$,
$1\le s\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es a 2. t\'etelt alkalmazva az $\eta_s$, $1\le s\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra megkapjuk a
K\"ovetkezm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'at. \medskip
Adva egy $A$ esem\'eny (azaz halmaz) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, vezess\"uk be ennek az $A$
halmaznak $\chi_A=\chi_A(\oo)$ indik\'ator f\"uggv\'eny\'et a
$$
\chi_A=\chi_A(\oo)=\cases
1,&\text{ha }\oo\in A\\
0,&\text{ha }\oo\notin A
\endcases
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Legyenek adva valamilyen $A_1,\dots,A_n$
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Az $A_1,\dots,A_n$  esem\'enyek akkor \'es
csak akkor f\"uggetlenek, ha ezek $\chi_{A_1},\dots,\chi_{A_n}$
indik\'ator f\"uggv\'enyei f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $F(x)=P(\xi<x)$
elosz\'asf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $g(x)$ egy val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny. Ekkor a
$g(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o} $Eg(\xi)$
v\'arhat\'o \'ert\'eke kisz\'am\'{\i}that\'o az
$$
Eg(\xi)=\int g(x)F(\,dx) \quad =\int g(x)f(x)\,dx \quad \text{ha
$\xi$-nek l\'etezik $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.}
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o diszkr\'et eloszl\'as\'u, azaz l\'etezik legfeljebb
megsz\'aml\'alhat\'o sok $x_1$, $x_2$, \dots pont \'ugy, hogy
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$, akkor
$$
Eg(\xi)=\sum_{k=1}^\infty g(x_k)P(\xi=x_k).
$$
}
\medskip
Sz\'amoljuk ki a fenti k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel n\'eh\'any
fontos eloszl\'as momentumait. A standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, melynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}$. E definici\'o
helyess\'eg\'ehez tudnuk kell, hogy \medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
\medskip
Eml\'ekeztet\H{o}\"ul, ennek oka, ha $I=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1
{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx$, akkor
$$
\align
I^2&=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{2\pi}
e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy\\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\dfrac1{2\pi}
re^{-r^2} \,dr\,d\varphi=\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr
=\[e^{-r^2/2}\]=1.
\endalign
$$
\item{1.} L\'assuk be, hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1.
\item{} {\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ $E\xi=0$, mert $\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros. Ezenk\'{\i}v\"ul parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g'(x)=
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x e^{{-x^2/2}}$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\dfrac x{\sqrt{2\pi}} e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots
(2k-1)$.
\medskip\noindent
{\bf Definic\'o.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha eloszl\'asf\"uggv\'enye,
$F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$,
ha $x<0$. Ezzel ekvivalens jellemz\'es: Egy $\lambda>0$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge 0$, $f(x)=0$, ha $x\le0$ alak\'u.} \medskip
\item{2.} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda
x}\,dx=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[x^2
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2x e^{-\lambda
x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var
\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}
=\dfrac1{\lambda^2}$.
 
Foglalkozzunk azzal a k\'erd\'essel, hogyan lehet kisz\'amolni
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok f\"uggv\'eny\'enek az
eloszl\'as\'at. K\"ul\"on\"osen fontos sz\'amunkra az az
eset, amikor a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok
komponensei f\"uggetlenek, ezen bel\"ul az a speci\'alis k\'erd\'es,
amikor f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek az eloszl\'as vagy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
vizsg\'aljuk. Ez vezet a konvoluci\'o fogalm\'anak a bevezet\'es\'ehez.
El\H{o}sz\"or vezess\"uk be a legfontosabb fogalmakat \'es
eredm\'enyeket. \'Altal\'aban nem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, hanem azok eloszl\'as\'at ismerj\"uk. Ez\'ert fontos
az (esetleg t\"obbdimenzi\'os) eloszl\'asf\"uggv\'enyek
de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-nak megad\'asa, illetve azok
az eredm\'enyek, melyek le\'{\i}rj\'ak, hogy egy megadott f\"uggv\'eny
mikor tekinthet\H{o} eloszl\'asf\"uggv\'enynek.
 
El\H{o}sz\"or megbesz\'elj\"uk az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agait. Adva egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor ennek
eloszl\'asa az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny. Ez teljes\'{\i}ti
az al\'abbi tulajdons\'agokat. \medskip
\item{} Ha $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor
\itemitem{(i)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny
\itemitem{(ii)} $\limm_{x\to-\infty} F(x)=0$,
$\limm_{x\to\infty} F(x)=1$,
\itemitem{(iii)} $F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra balr\'ol
folytonos, \'es l\'etezik jobboldali hat\'ar\'ert\'eke (mert monoton
n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny), azaz $\limm_{t\to x-0} F(t)=F(x)$, \'es
l\'etezik a $\limm_{t\to x+0} F(t)$ hat\'ar\'ert\'ek is.
\itemitem{} $\limm_{t\to x-0}$-val azt jel\"olj\"uk, hogy olyan $t_n$
sz\'amsorozatot tekint\"unk, melyre egyr\'eszt $t_n\to x$,
m\'asr\'eszt $t_n\le x$ minden $n$ indexre. Hasonl\'oan
$\limm_{t\to x+0}$-val azt jel\"olj\"uk, hogy olyan $t_n$
sz\'amsorozatot tekint\"unk, melyre egyr\'eszt $t_n\to x$,
m\'asr\'eszt $t_n\ge x$ minden $n$ indexre.
\item{} Ha $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor $f(x)\ge0$
minden $x$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$.
\medskip \noindent
\item{} Val\'oban, ha $F(x)$ egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye, akkor $F(x)=P(\xi<x)\le
P(\xi<y)=F(y)$ az $x<y$ esetben, mert $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\subset
\{\oo\: \xi(\oo)<y\}$. Tov\'abb\'a, $\limm_{t\to x-0}F(t)=
\limm_{t\to x-0}P(\xi<t)=P(\xi<x)=F(x)$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
($\sigma$-additivit\'as miatt teljes\"ul\H{o}) m\'ult gyakorlaton
megbesz\'elt tulajdons\'aga miatt. (A jobboldali hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik az eloszl\'asf\"uggv\'eny monotonit\'asa miatt.) Ugyancsak
ezen tu\-laj\-don\-s\'ag miatt $\limm_{x\to-\infty}
F(x)=\limm_{x\to-\infty} P(\xi<x)=0$, $\limm_{x\to\infty}
F(x)=\limm_{x\to\infty} P(\xi<x)=1$. $\limm_{x\to\infty} F(x)=1$,
\item{} Mivel egy $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny egy fenti
tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
 deriv\'altja (amelyik azt a plusz felt\'etelt is teljes\'{\i}ti,
hogy el\H{o}\'all mint egy  $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny integr\'alja,
ez\'ert mint azt nem neh\'ez bel\'atni, egy
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti felt\'eteleket.
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Be lehet bizony\'{\i}tani,
hogy egy a fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} $F(x)$ illetve
$f(x)$ f\"uggv\'enyhez l\'etezik olyan $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}, \'es azon egy $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, melynek ez az $F(x)$
f\"uggv\'eny az eloszl\'asf\"uggv\'enye, illetve ez az $f(x)$
f\"uggv\'eny a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
 
Az eloszl\'asf\"uggv\'eny az\'ert rendk\'{\i}v\"ul fontos fogalma a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak, mert \'altal\'aban nem
tudjuk, hogy melyek azok a v\'eletlen k\"or\"ulm\'enyek, melyek
meghat\'arozz\'ak egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et, csak azt hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz
fel k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'ekeket. Ahhoz, hogy ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket meg tudjuk hat\'arozni ismern\"unk kell
az eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Ugyancsak fontos fogalom az
eloszl\'asf\"uggv\'eny t\"obbdimenzi\'os v\'altozata, amely megadja
t\"obb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes
eloszl\'as\'at. \medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek eloszl\'asf\"uggv\'enye
az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden $1\le
j\le k$ indexre.
 
Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
ha
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'ai arr\'ol
sz\'olnak, hogy ha adva van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy sorozata, melynek ismerj\"uk az egy\"uttes eloszl\'as\'at
mondhatunk ezekr\H{o}l, ezek k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\"uggv\'enyei milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jelennek meg.  R\'eszletesebb
t\'argyal\'as \'es bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul megadjuk a
t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny tulajdons\'agait. Csak annyit
jegyez\"unk meg, hogy a kiss\'e bonyolultabb (iv) tulajdons\'ag azt
fejezi ki az eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy olyan $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek eloszl\'asa
az $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, nem negat\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik egy $\bold K$
t\'eglatestbe, azaz $P(a_j\le \xi_j<b_j, \text{ minden $1\le j\le k$
indexre})\ge 0$.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Az al\'abbi (i)---(iv) tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyhez l\'etezik $k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyeknek ez az
eloszl\'asf\"uggv\'enye, azaz az $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny akkor
\'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'eny, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} n\'egy tulajdons\'agot.
\medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }1\le
j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$.
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy $k$ v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak, ha
teljes\'{\i}ti az $f(x_1,\dots,x_k)\ge0$ minden
$(x_1,\dots,x_k)\in \bold R^k$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k=1.
$$
}\medskip\noindent
 
\bye
