\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 19-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est vizsg\'altuk: (Ez az
el\"oz\H{o} gyakorlatban szerepl\H{o} egyik feladat vizsg\'alat\'anak
folytat\'asa volt.) \medskip
\item{1.} Legyen egy urn\'aban 30 piros \'es 70 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul.
Az el\H{o}z\'o gyakorlaton kisz\'amoltuk a kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Most sz\'amoljuk ki ennek
sz\"or\'asn\'egyzet\'et is.
 
A $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk, ahol $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$ ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, $j=1,2,\dots,20$. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
bonyolultabb mint az el\H{o}z\'o gyakorlaton tekintett feladatokban,
mert a most tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg kell \'erten\"unk, hogyan kell
kisz\'am\'{\i}tani va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos
esetben.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=
\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor ezek kovarianci\'aja
$\text{Cov}\,(\xi_,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]
=E\xi\eta-E\xi E\eta$. A kovariancia egy term\'eszetes m\'er\'ese
annak, hogy k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o milyen
m\'ert\'ekben f\"ugg \"ossze. Ez a mennyis\'eg szerepelt az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kifejez\'es\'eben. Ha $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\text{Cov}\,(\xi,\eta)=0$. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$.\medskip
 
Alkalmazva ezt a t\'etelt \'es az el\H{o}z\H{o} gyakorlat
eredm\'enyeit kapjuk, hogy $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{29}{99}-\frac4{25}=-\frac6{495}$, ha $j\neq k$, \'es
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2$ minden $1\le
j<k\le20$ sz\'amra. Innen a 10 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $10\cdot\frac25=4$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $10\cdot\frac6{25}-90\cdot\frac6{2475}
=\frac{12}5\(1-\frac1{11}\)=\frac{24}{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk
egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk \'es vele egy\"utt bedobunk az
urn\'aba egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az
els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-ik \'es $j$-ik h\'uz\'asban
piros goly\'ot h\'uzunk, $i\neq j$, megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
 
\medskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a harmadik 6-os dob\'as az $n$-ik dob\'asban k\"ovetkezik be,
$n=3,4,5,\cdots$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez az esem\'eny akkor k\"ovetkezik be, ha az
els\H{o} $n-1$ dob\'asban pontosan k\'et hatost dobunk, \'es az $n$-ik
dob\'us eredm\'enye is hatos. Ennek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
$\dbinom {n-1}2\(\dfrac56\)^{n-3}\(\dfrac16\)^3$.
\medskip
Ezt a feladatot nem annyira \"onmaga miatt t\'argyaltuk, (ez
egy\'ebk\'ent p\'elda a negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
megjelen\'es\'ere), hanem az\'ert, hogy megt\'argyaljuk, hogyan lehet
egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et megadni. Ez
rem\'elhet\H{o}leg \'erthet\H{o}bb\'e teszi mi\'ert kell a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} fogalm\'aban n\'eh\'any els\H{o}
l\'at\'asra t\'ulkomplik\'alt fogalmat bevezetni.
 
Term\'eszetes az elemi esem\'enyeket a v\'egtelen
$\omega=(j_1,j_2,\dots)$ sorozatokk\'ent de\-fi\-ni\-\'al\-ni, ahol
mindegyik $j_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'am az $1,2,\dots,6$ \'ert\'ekek
valamelyik\'et veszi fel. A biztos $\Omega$ esem\'eny az \"osszes
al\'abb tekintett sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Term\'eszetes lenne
esem\'enyeknek az $\Omega$ halmaz r\'eszhalmazait tekinteni. Ut\'ana
meg kell adni az esem\'enyeknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. \'Es
itt jelennek meg a neh\'ezs\'egek. Ugyanis egyr\'eszt minden $\oo$
elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla, m\'asr\'eszt $\Omega$
kontinum sok elemi esem\'enyb\H{o}l \'all. Hogyan kell defini\'alni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy, hogy az t\"ukr\"ozze azt, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asait \'{\i}rja
le?
 
Legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$
koordin\'atan el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ek\H{u} $j_1,\dots,j_n$ sz\'amok,
(azaz azon v\'egtelen sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz, melynek jelei a
$j_1,\dots,j_n$ sz\'a\-mok\-kal kezd\H{o}dnek) $\(\dfrac16\)^n$. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy szeretn\'enk defini\'alni, hogy ezek
a felt\'etelek teljes\"uljenek. Mivel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additiv ez sok egy\'eb esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
is meghat\'arozza. P\'eld\'aul hogyan hat\'arozza meg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az \"ot\"odik dob\'as eredm\'enye
nagyobb mint a harmadik dob\'as\'e? \'Altal\'aben \'ertelme van
bizonyos esem\'enyek \'altal meghat\'arozott legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ar\'ol besz\'elni. Halmazok egy $\Cal A$ rendszer\'et
$\sigma$-algebr\'anak nevezz\"uk, ha $A_n\in \Cal A$ eset\'eben,
$n=1,2,\dots$, $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$, $\Omega\setminus
A_n\in \Cal A$, $n=1,2,\dots$. Be lehet l\'atni, hogy az el\H{o}bbi
$j_1,\dots,j_n$ sz\'amokkal kezd\H{o}d\H{o} sorozatok
halmaz\'at, $n=1,2,\dots$, tartalmaz\'o $\sigma$-algebr\'ak k\"oz\"ott
van egy
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\sigma$-algebra,
amelyik r\'esze egy tetsz\H{o}leges ezeket a halmazokat tartalmaz\'o
$\sigma$-algebr\'anak. Ennek  az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa viszonylag egyszer\H{u}. L\'enyegesen nehezebben, de
szint\'en bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'as az, hogy ezen a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'an megadhat\'o egy\'ertelm\H{u}en egy
olyan $\sigma$-additiv halmazf\"uggv\'eny, amelyiknek \'ert\'eke a
m\'ar megadott halmazokon az el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ekkel egyezik meg.
Ennek alapj\'an az el\H{o}bbi halmazokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'at tekintj\"uk az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, az
$A\in\Cal A$ halmazok $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et pedig
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Tekintj\"uk az
els\H{o} $n$ koordin\'at\'aj\'aban el\H{o}\'{\i}rt $j_1,\dots,j_n$
\'ert\'eket felvev\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmazokat tartamaz\'o
legsz\H{u}kebb $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, egy $j_1,\dots,j_n$
jegyekkel kezd\H{o}d\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac16\)^n$, (ahol $n$ a
r\"ogz\'{\i}tett \'ert\'ek\H{u} jegyek sz\'ama), \'es tekintj\"uk azt
az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enyt az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, melynek
\'ert\'eke az el\H{o}bb defini\'alt halmazokon a m\'ar defini\'alt
\'ert\'ekkel egyenl\H{o}. Egy $A\in \Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ennek a $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enynek az $A$ halmazon felvett \'ert\'ek\'evel
egyenl\H{o}.
 
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy term\'eszetes-e a fenti definici\'o.
Mi\'ert nem defini\'altuk p\'eld\'aul minden lehets\'eges halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? A v\'alasz erre a k\'erd\'esre az,
hogy ez nem lehets\'eges \'ugy, hogy meg\H{o}rizz\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-additiv tulajdons\'ag\'at.
M\'asr\'eszt val\'oj\'aban nem veszt\"unk azzal, hogy csak a fenti
$\sigma$-aalgebra halmazaira defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ugyanis, amikor egy halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'erdezz\"uk, akkor  azt a halmazt
valamilyen definici\'oval le kell \'{\i}rni. Viszont az \"osszes
defini\'alhat\'o halmaz r\'esze a fenti $\sigma$-algebr\'anak.
 
Megjegyezz\"uk, hogy a fent t\'argyalt probl\'ema \'altal\'anos.
Mihelyt nem v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok
k\"ulob\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval dolgozunk, hasonl\'o k\'erd\'esek mer\"ulnek fel.
\'Igy p\'eld\'aul akkor, ha az egys\'egintervallumon olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket akarunk defini\'alni, mely
szerint egy intervallum m\'ert\'eke megegyezik ennek az intervallumnak
a hossz\'aval. Vagy az egys\'egn\'egyzeten olyan m\'ert\'eket, melyben
egy t\'eglalap m\'ert\'eke megegyezik annak a ter\"ulet\'evel.
(Lebesgue m\'ert\'ek de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.)
 
\medskip\noindent
{\bf A f\"uggetlens\'egr\H{o}l sz\'ol\'o legfontosabb fogalmak \'es
eredm\'enyek.} \medskip\noindent
{\it El\H{o}zetes megjegyz\'es:}\/ A sz\"ovegben $AB$-vel \'es nem
$A\cap B$-vel jel\"ol\"om a metszetet $A+B$-vel \'es nem $A\cup
B$-vel az uni\'ot. Mint \'ertes\"ultem r\'ola, az az el\H{o}ad\'ason
az $A\cap B$ illetve $A\cup B$ jel\"ol\'est haszn\'alj\'ak. Mivel az
irodalomban mind a k\'et jel\"ol\'es gyakran el\H{o}fordul, helyes,
ha mind a k\'et jel\"ol\'esm\'odhoz hozz\'aszoknak. \medskip
 
Mint arr\'ol sz\'o volt esem\'enyeknek egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} (m\'erhet\H{o}) halmazait
nevezz\"uk. Egy $A$ \'es $B$ esem\'eny (halmaz) akkor \'es csak
akkor f\"uggetlen, ha $P(AB)=P)A)P(B)$. \'Altal\'anosabban:
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cdots A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip N\'eh\'any fontos t\'eny a f\"uggetlens\'eggel kapcsolatban:
 
\item{1.} Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az $A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A$ az $A$  halmaz komplementere. (Gyakran
haszn\'alj\'ak az $\Omega\setminus A=\bar A$ jel\"ol\'est is.) Ha
$A_1,\dots,A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor az $A_1^{\e_1},\dots,
A_n^{\e_n}$ esem\'enyek az $\e_k=\pm1$, $k=1,\dots,n$ tetsz\H{o}leges
\'ert\'ekei eset\'en f\"uggetlenek.
\item{2.} Ha $A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor
$A_1+A_2,A_3,\dots,A_n$ is f\"uggetlen esem\'enyek.
\item{3.} Igaz az el\H{o}z\H{o} \'all\'{\i}t\'as al\'abbi
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa is: Legyenek $A_1$,\dots, $A_k$,
$A_{k+1}$,\dots, $A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek. Ha a $B$ esem\'eny
egy az $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
metszettel, uni\'oval \'es komplementerk\'epz\'essel kifejezhet\H{o}
halmaz, akkor a $B$, $A_{k+1}$,\dots, $A_n$ halmazok f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol. Pontosabban megfogalmazva: De\-fi\-ni\'al\-juk
tetsz\H{o}leges $j_s=0$ vagy $j_s=1$, $s=1,\dots,k$ sz\'amokra a
$$
B(j_1,\dots,j_k)=A^{-1^{j_1}}\cdots A^{-1^{j_k}}
$$
halmazt. (Ugyanazt a jel\"ol\'est haszn\'aljuk mint az
1.~megjegyz\'esben.) Ha $B=\bigcupp _{(j_1,\dots,j_k)\in \bold
C}B(j_1,\dots,j_k)$, ahol $\bold C$ az \"osszes lehets\'eges $k$
hossz\'u\-s\'a\-g\'u 0---1 sorozatb\'ol \'all\'o halmaz
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza, akkor a $B$,
$A_{k+1}$,\dots, $A_n$ esem\'enyek f\"ug\-get\-le\-nek.
\item{4.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem elegend\H{o} az
$A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(ABC)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(AB)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,
de $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
\medskip\noindent
{\it Az 1. \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak v\'azlata:}
Bel\'atjuk, hogy ha $A$ \'es $B$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor az
$A$ \'es $\bar B$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Ekkor $P(A\bar
B)=P(A\setminus B)=P(A)-P(AB)$, mert $AB\subset A$. Innen $P(A\bar
B)=P(A)-P(A)P(B)$, mert $A$ \'es $B$ f\"uggetlen esem\'enyek. Ez\'ert
$P(A\bar B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(\bar B)$. Innen, illetve a
f\"uggetlens\'eg definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy ha
 $A_1,\dots A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $1\le j\le n$, akkor az
 $A_1,\dots,A_{j-1}\bar A_j,A_{j+1},\dots,A_n$ esem\'enyek is
f\"uggetlenek. Val\'oban, tekints\"unk va\-la\-mi\-lyen
$A_{j_1}$,\dots $A_{j_s}$ esem\'enyeket, melyekre teljes\"ul a
$\{j_1,\dots,j_s\}\subset \{1,\dots,n\}\setminus\{j\}$ felt\'etel,
\'es vezess\"uk be az $A=A_{j_1}\cdots A_{j_s}$, $B=A_j$
esem\'enyeket. Ekkor $P(AB)=P(A)P(B)$, mert a
f\"uggetlens\'eg definici\'oja alapj\'an mind a k\'et oldal
a $P(A_j)P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s})$ ki\-fe\-je\-z\'es\-sel
egyenl\H{o}. Ez\'ert az el\'obbiek alapj\'an, $P(A\bar B)=P(A)
P(\bar B)$. Tov\'abb\'a,
$$
P(A_{j_1}\cdots A_{j_s})= P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s}),
$$
ez\'ert
$$
P(\bar AA_{j_1}\cdots A_{j_s})=P(A\bar B)=P(A)P(\bar B)
=P(\bar A_j)P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_s}),
$$
\'es az $A_1,\dots,A_{j-1}\bar A_j,A_{j+1},\dots,A_n$ esem\'enyek is
f\"uggetlenek. Innen indukci\'oval k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek  k\"oz\"ul valamely $A_{j_1}$,\dots
$A_{j_k}$ esem\'enyeket kicser\'elve ezek komplementer\'evel az
\'{\i}gy kapott esem\'enyek f\"uggetlenek maradnak.
\bigskip
Ugyancsak fontos fogalom val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. Id\'ezz\"uk fel el\H{o}sz\"or a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalm\'at. Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}. Azt mondjuk,
hogy $\xi=\xi(\oo)$, $\oo\in\Omega$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ezen a t\'eren, ha $\xi=\xi(\oo)$ ezen a t\'eren
defini\'alt (m\'erhet\H{o}) val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny. (Az,
hogy a $\xi$ f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges Borel m\'erhet\H{o} $B$ halmaz\'ara
az $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}$ halmaz m\'erhet\H{o} halmaza az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'ernek, azaz eleme az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'anak. Ez technikai jelleg\H{u} felt\'etel. B\'ar a
r\'eszletek kidolgoz\'asa bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti ismereteket
ig\'enyel, a m\'erhet\H{o}s\'eg k\"o\-ve\-te\-l\'e\-se nem jelent
igazi megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis minden defini\'alhat\'o
f\"uggv\'eny, teh\'at olyan f\"uggv\'eny mely gyakorlatban
el\H{o}fordul, m\'erhet\H{o}.)
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
definici\'oja:} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor (teljesen) f\"uggetlenek, ha a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges Borel m\'erhet\H{o} $B_1,\dots,B_n$
halmazaira
$$
P(\xi_1\in B_1,\xi_2\in B_2,\dots,\xi_n\in B_n)=P(\xi_1\in B_1)
P(\xi_2\in B_2)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
 
Azt mondjuk, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$\xi_1,\xi_2,\dots$ v\'egtelen sorozata f\"uggetlen, ha a
$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek tetsz\H{o}leges $n=1,2,\dots$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
N\'eh\'any fontos t\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'evel kapcsolatban:
 
Ahhoz, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol
besz\'elhess\"unk sz\"uks\'eg\"unk van annak ellen\H{o}rz\'es\'ere,
hogy a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok val\'oban
f\"uggetlenek-e. Ha a definici\'ot haszn\'aljuk, akkor neh\'ezs\'eget
okozhat az, hogy minden Borel m\'erhet\H{o} $B_k$, $k=1,\dots,n$
hal\-mazt tekinten\"unk kell. Be lehet l\'atni, hogy val\'oj\'aban
el\'eg bizonyos speci\'alis Borel m\'erhet\H{o} halmazokat tekinteni,
ha a f\"uggetlens\'eget akarjuk ellen\H{o}rizni.
\medskip\noindent {\bf 1. T\'etel.} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor
(teljesen) f\"uggetlenek, ha tetsz\H{o}leges $x_1,\dots,x_n$ val\'os
sz\'amokra
$$
P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)
P(\xi_2<x_2)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
 
Ugyanezt a t\'enyt kifejezhetj\"uk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en is. Jel\"olje
$$
F(x_1,\dots,x_n)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n), \quad
-\infty<x_k<\infty, \;k=1,\dots,n
$$
a $\xi_1$,\dots, $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttes eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi_1$,\dots, $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor f\"uggetlenek, ha azok $F(x_1,\dots,x_n)$  egy\"uttes
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x_1,\dots,x_n)=F_1(x_1)\cdots F_n(x_n)$
alak\'u. Ebben az eseetben $F_k(x)=P(\xi_k<x)$, $k=1,\dots,n$, a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a fenti
fak\-to\-ri\-z\'a\-ci\'o\-ban.}
 
 
\bye
