\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 12-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est vizsg\'altuk:
\medskip
Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o. H\'uzzuk ki a
goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul.
\item{a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o}
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a m\'asodik\'e pedig feh\'er?
\item{b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 13.
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a 29. kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne pedig feh\'er?
\medskip
Sz\'amunkra a feladat b.) r\'esze volt \'erdekes. Megt\'argyaltuk,
hogy az a.) \'es b.) k\'erd\'esre ugyanaz a v\'alasz. Ezen
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'es meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
megfogalmaztuk a feladatot form\'alisan egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} bevezet\'es\'evel.
 
A k\"ovetkez\H{o} modellt defini\'altuk: Tekints\"uk az \"osszes
$\omega=(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es
70 $P$ (piros) jelb\H{o}l \'all\'o sorozatot. Legyen $\Omega$ az
\"osszes ilyen $\omega$ sorozat\'ol \'all\'o halmaz, $\Cal A$ a
(m\'erhet\H{o}) halmazok rendszere ($\sigma$-algebr\'aja) $\Omega$
\"osszes r\'eszhalmaza, azaz minden lehets\'eges fent defini\'alt
$\omega$ (elemi esem\'enyekb\H{o}l) \'all\'o halmaz. Legyen minden
$\omega$ elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Egy $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig az $A$ halmaz \'altal tartalmazott elemi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek \"osszege. Ebben a modellben az a.)
feladat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azon $A$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely azokat az $\omega$ sorozatokat
tartalmazza, melyek els\H{o} eleme $P$ m\'asodik eleme pedig $F$.
A b.) feladatban annak a $B$ esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk, melyek olyan $\omega$
sorozatokat tekint, melyek 13. jele $P$ 29. jele pedig $F$. Bel\'attuk
term\'eszetes megfeleltet\'essel, hogy $P(A)=P(B)$.
 
Val\'oj\'aban a fenti t\'argyal\'as nem teljesen
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}. L\'atnunk kell ugyanis, hogy nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket milyen a felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modellben tekintj\"uk. Ez\'ert \'erdemes a fenti
gondolatmenetet \'ugy m\'odos\'{\i}tani, hogy az \'ervel\'es ne
f\"uggj\"on att\'ol, hogy milyen modellt tekint\"unk.
 
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, mely tartalmazza az \"osszes olyan esem\'enyt, hogy egy
h\'uz\'assorozat eredm\'enye valamilyen $(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az
hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es 70 $P$ (piros) jelb\H{o}l
\'all\'o sorozat. (Nem tessz\"uk fel, hogy ezek az esem\'enyek elemi
esem\'enyek.) Minden ilyen esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
legyen $\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy ilyen
m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oj\'at
kapjuk. (Disz\-junkt esem\'enyeket defini\'altunk, melyek
\"osszval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 1.) Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. (Azaz, ha az el\H{o}bb
defini\'alt partici\'o olyan sorozatot tartalmaz, melynek $j$-ik jele
$P$ illetve $F$.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es a
$P(\xi_1=1,\xi_2=0)$ (a.) feladat), illetve a
$P(\xi_{13}=1,\xi_{29}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (b.) feladat)
kisz\'am\'{\i}t\'asa.
 
Be lehet l\'atni, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$$
P(\xi_1=\e_1,\xi_2=\e_2,\dots,\xi_{100}=\e_{100})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\xi_{\pi(2)}=\e_2,\dots,\xi_{\pi(100)}=\e_{100}),
$$
ahol $(\pi(1),\dots\pi(100))$ az $(1,\dots,100)$ sz\'amok
tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oja, $\e_j$, $1\le j\le100$ vagy nullla
vagy egy. Ez az azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e teszi annak
bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy az a) \'es b) feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\xi_{\pi(2)}=k_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n),
$$
azonoss\'agot az $1,2,\dots,n$ sz\'amok tetsz\H{o}leges
$(\pi(1),\dots\pi(n))$ permut\'aci\'oj\'ara \'es minden $k_1,\dots,k_n$
eg\'esz sz\'amra, akkor
$$
P(\xi_i=k_1)=P(\xi_1=k_1),\quad
P(\xi_i=k_1,\xi_j=k_2)=P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2)
$$
mainden $1\le i,j\le n$ \'es $k_1$ \'es $k_2$ eg\'esz sz\'amra.
\medskip \noindent
Tov\'abbi a gyakorlaton t\'argyalt feladatok: \medskip
 
\item{1.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
Id\'ezz\"uk fel el\H{o}sz\"or a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'aan\'egyzet definici\'oj\'at \'es n\'eh\'any fontos vel\"uk
kapcsolatos eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf V\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi$ diszkr\'et \'er\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, mely megsz\'aml\'alhat\'o
sok $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, akkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $E\xi=\summ_{k=1}^\infty p_kx_k$,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig $\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2$.}
\medskip \noindent
{\bf T\'etel.} {\it $E(a\xi+b)=aE\xi+b$, $\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi$
minden val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, $f(x)$ valamilyen f\"uggv\'eny, akkor
$Ef(\xi)=\summ_{k=1}^\infty p_kf(x_k)$.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$E(\xi_1+\cdots+\xi_n)=E\xi_1+\cdots+E\xi_n$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es;}\/ Ez az eredm\'eny tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra igaz. Nem k\"ovetelt\"uk meg
p\'eld\'aul azt, hogy az \"osszeadand\'ok f\"uggetlenek legyenek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\Var(\xi_1+\cdots+\xi_n)=\Var\xi_1+\cdots+\Var\xi_n$.}
\medskip
Az 1. \'es 2. feladat jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
defini\'aljunk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.
\medskip
\item{1.} {\it A feladat megold\'asa:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
\'{\i}00 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=\dfrac14\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
\dfrac12\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egysze\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz1n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
 
A m\'asodik feladat hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Ekkor annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a dob\'asok \"usszeg\'enek
\'ert\'eke egy adott sz\'am rendk\'{\i}v\"ul f\'arads\'agos
lenne kisz\'amolni. Vi\-szont a m\'asodik m\'odszer egyszer\H{u}en
alkalmazhat\'o ebben az esetben is.
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\vfill\eject
 
{\it H\'azi feladat}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a fejdob\'asok sz\'am\'nak a harmadik hatv\'any\'at,
\'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. \medskip
\medskip
\item{3.)} Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzuk ki a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az els\H{o} 10 h\'uz\'asban kih\'{\i}zott piros goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et. (Ez ut\'obbi feladatot
a k\"ovetkez\H{o} gyakorlaton t\'argyaltuk.) \medskip
 
Az els\H{o} k\'et feladathoz hasonl\'oan t\'argyalhat\'o a harmadik
feladat. Ekkor megfelel\H{o} modellben a vizsg\'alt feladat az
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ \'es $\Var\summ_{j=1}^{20}\xi_j$
kisz\'am\'{\i}t\'asa, ahol $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'am\'{\i}t\'asa kiss\'e bonyolultabb, mert a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg
kell \'erten\"unk, hogyan kell kisz\'am\'{\i}tani
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos esetben.
 
\bye
