A szeptember 12-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Először a következő kérdést vizsgáltuk:

Legyen egy urnában 70 piros és 30 fehér golyó. Húzzuk ki a golyókat visszatevés nélkül.

a.) Mi a valószínűsége annak, hogy az első kihúzott golyó színe piros, a másodiké pedig fehér?

b.) Mi a valószínűsége annak, hogy a 13. kihúzott golyó színe piros, a 29. kihúzott golyó színe pedig fehér?

Számunkra a feladat b.) része volt érdekes. Megtárgyaltuk, hogy az a.) és b.) kérdésre ugyanaz a válasz. Ezen állítás bizonyítása és megértése érdekében megfogalmaztuk a feladatot formálisan egy (Ω, A, P) valószínűségi mező bevezetésével.

A következő modellt definiáltuk: Tekintsük az összes ω = (F, P, F, F, …) száz hosszúságú 30 F (fehér) és 70 P (piros) jelből álló sorozatot. Legyen Ω az összes ilyen ω sorozatól álló halmaz, A a (mérhető) halmazok rendszere (σ-algebrája) Ω összes részhalmaza, azaz minden lehetséges fent definiált ω (elemi eseményekből) álló halmaz.

Legyen minden ω elemi esemény valószínűsége \frac{1}{\binom{100}{30}}. Egy A halmaz valószínűsége pedig

az A halmaz által tartalmazott elemi események valószínűségének összege. Ebben a modellben az a.) feladat valószínűsége azon A esemény valószínűsége, mely azokat az ω sorozatokat tartalmazza, melyek első eleme P második eleme pedig F. A b.) feladatban annak a B eseménynek a valószínűségét vizsgáljuk, melyek olyan ω sorozatokat tekint, melyek 13. jele P 29. jele pedig F. Beláttuk természetes megfeleltetéssel, hogy P (A) = P (B).

Valójában a fenti tárgyalás nem teljesen kielégítő. Látnunk kell ugyanis, hogy nincs jelentősége annak, hogy a minket érdeklő valószínűségeket milyen a feltételeket kielégítő modellben tekintjük. Ezért érdemes a fenti gondolatmenetet úgy módosítani, hogy az érvelés ne függjön attól, hogy milyen modellt tekintünk.

Legyen adva egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, mely tartalmazza az összes olyan eseményt, hogy egy húzássorozat eredménye valamilyen (F, P, F, F, …) száz hosszúságú 30 F (fehér) és 70 P (piros) jelből álló sorozat. (Nem tesszük fel, hogy ezek az események

elemi események.) Minden ilyen esemény valószínűsége legyen \frac{1}{\binom{100}{30}}. Vegyük észre,

hogy ilyen módon a valószínűségi mező egy particióját kapjuk. (Diszjunkt eseményeket definiáltunk, melyek összvalószínűsége 1.) Definiáljuk a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér. (Azaz, ha az előbb definiált partició olyan sorozatot tartalmaz, melynek j-ik jele P illetve F.) Ekkor a minket érdeklő kérdés a P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 0) (a.) feladat), illetve a P (ξ_{13} = 1, ξ_{29} = 0) valószínűség (b.) feladat) kiszámítása.

Be lehet látni, hogy a fenti jelölésekkel

P (ξ_{1} = ε_{1}, ξ_{2} = ε_{2}, …, ξ_{100} = ε_{100}) = P (ξ_{π(1)} = ε_{1}, ξ_{π(2)} = ε_{2}, …, ξ_{π(100)} = ε_{100}),

ahol (π(1), … π(100)) az (1, …, 100) számok tetszőleges permutációja, ε_{j}, 1 ≤ j ≤ 100 vagy nullla vagy egy. Ez az azonosság lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy az a) és b) feladatban szereplő valószínűségek megegyeznek.

Házi feladat

Ha a ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) egész értékű valószínűségi változók teljesítik a

P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2}, …, ξ_{n} = k_{n}) = P (ξ_{π(1)} = k_{1}, ξ_{π(2)} = k_{2}, …, ξ_{π(n)} = k_{n}),

azonosságot az 1, 2, …, n számok tetszőleges (π(1), … π(n)) permutációjára és minden k_{1}, …, k_{n} egész számra, akkor

P (ξ_{i} = k_{1}) = P (ξ_{1} = k_{1}), P (ξ_{i} = k_{1}, ξ_{j} = k_{2}) = P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2})

mainden 1 ≤ i, j ≤ n és k_{1} és k_{2} egész számra.

További a gyakorlaton tárgyalt feladatok:

1.) Feldobunk egy szabályos pénzdarabot 100-szor egymás után. Számítsuk ki a fej-

dobások számának várható értékét és szórásnégyzetét. 2.) Feldobunk egy szabályos dobókockát 100-szor egymás után. Tekintsük a dobások

eredményeinek összegét. Számítsuk ki ennek az összegnek

a.) Várható értékét, b.) Szórásnégyzetét.

Idézzük fel először a várható érték és szóráanégyzet definicióját és néhány fontos velük kapcsolatos eredményt.

Várható érték és szórásnégyzet definiciója. Legyen ξ diszkrét érékű valószínűségi változó, mely megszámlálható sok x_{1}, x_{2}, … értéket vesz fel, P (ξ = x_{k}) = p_{k}, k =

1, 2, …, akkor a ξ valószínűségi változó várható értéke Eξ = ∑_{k=1}^{∞} p_{k}x_{k}, szórásnégyzete

pedig Var ξ = E(ξ − Eξ)^{2} = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}.

Tétel. E(aξ + b) = aEξ + b, Var (aξ + b) = a^{2}Var ξ minden valós a és b számra.

Tétel. Ha ξ diszkrét értékű valószínűségi változó, P (ξ = x_{k}) = p_{k}, k = 1, 2, …, f(x)

valamilyen függvény, akkor Ef(ξ) = ∑_{k=1}^{∞} p_{k}f(x_{k}).

Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, akkor E(ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n}) = Eξ_{1} + ⋯ + Eξ_{n}.

Megjegyzés; Ez az eredmény tetszőleges valószínűségi változókra igaz. Nem követeltük meg például azt, hogy az összeadandók függetlenek legyenek.

Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, akkor Var (ξ_{1}+⋯+ξ_{n}) = Var ξ_{1}+ ⋯ + Var ξ_{n}.

Az 1. és 2. feladat jobb megértése érdekében definiáljunk egy valószínűségi mezőt és rajta valószínűségi változókat, melyek segítségével ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.

1. A feladat megoldása: A fejdobások száma 0 és í00 között van. Annak valószínűsége,

hogy k fejdobás következik be, 0 ≤ k ≤ 100, p_{k} = \binom{100}{k}2^{−100}. Ezért a dobások

számának várható értéke Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100}, ahol ξ jelőli a fejdobások számát

megadó valószínűségi változót. Továbbá Eξ^{2} = ∑_{k=0}^{100} k^{2}\binom{100}{k}2^{−100}, a szórásnégyzet

pedig Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}. Ezeket az összegeket közvetlenül kiszámíthatjuk.

Valóban, k\binom{100}{k} = 100\binom{99}{k − 1}, Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100} = 50 ∑_{k=0}^{99} k\binom{99}{k}2^{−99} =

50 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^{99} = 50. Továbbá, k^{2}\binom{100}{k} = [k(k−1)+k]\binom{100}{k} = 100·99·\binom{98}{k − 2}+

100 · \binom{100}{99}, Eξ^{2} = \frac{1}{4} · 100 · 99 · ∑_{k=0}^{98} \binom{98}{k} + \frac{1}{2} · 100 · ∑_{k=0}^{99} \binom{99}{k} = 25 · 99 + 50,

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ^{2}) = 25.

Valójában a vizsgált várható értéket és szórásnégyzetet egyszeűbben is kiszámíthatjuk. Vezessük be a ξ_{j} valósz1nűségi változókat, ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a fejdobások száma

ξ = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}, Eξ = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j}, Var ξ = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j}. Mivel Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4},

1 ≤ j ≤ 100, ezért Eξ = \frac{1}{2} · 100 = 50, Var ξ = \frac{1}{4} · 100 = 25.

A második feladat hasonlóan tárgyalható. Ekkor annak valószínűségét, hogy a dobások üsszegének értéke egy adott szám rendkívül fáradságos lenne kiszámolni. Viszont a második módszer egyszerűen alkalmazható ebben az esetben is. Legyenek η_{1},…, η_{100} független valószínűségi változók, melyekre P (η_{j} = k) = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 100,

1 ≤ k ≤ 6. Ekkor a kiszámítandó várható érték és szórásnégyzet E ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Eη_{j},

Var ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Var η_{j}. (A második reláció felhasználja a tekintett valószínűségi válto-

zók függetlenségét.) Eη_{j} = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = 3.5, Eη_{j}^{2} = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}, Var η_{j} = \frac{35}{12}, Eξ = 350, Var ξ = \frac{3500}{12}.

Házi feladat Egy szabályos pénzdarabot feldobunk százszor egymás után. Tekintsük a fejdobások számńak a harmadik hatványát, és számítsuk ki annak várható értékét.

3.) Legyen egy urnában 70 piros és 30 fehér golyó. Húzzuk ki a golyókat visszatevés nélkül. Számítsuk ki az első 10 húzásban kihízott piros golyók számának a.) Várható értékét, b.) Szórásnégyzetét. (Ez utóbbi feladatot a következő gyakorlaton tárgyaltuk.)

Az első két feladathoz hasonlóan tárgyalható a harmadik feladat. Ekkor megfelelő modellben a vizsgált feladat az E ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} és Var ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} kiszámítása, ahol ξ_{j} = 1, ha a

j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér. Ekkor E ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} =

∑_{j=1}^{20} Eξ_{j}. A szórásnégyzet kiszámítása kissé bonyolultabb, mert a tekintett valószínűségi változók nem függetlenek. Ezért meg kell értenünk, hogyan kell kiszámítani valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetét az általános esetben.