 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 31-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \medskip
 
\medskip\noindent
{\bf Feladatok:}
\medskip
El\H{o}sz\"or felid\'ezz\"uk a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Rendezett minta definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok valamilyen $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"oggv\'ennyel.
Rendezz\"uk ezeket a (v\'eletlen) sz\'amokat $\xi^*_1\le
\xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$ monoton n\"ovekv\H{o} sorrendbe. Ekkor a
$\xi^*_1\le \xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$ sorozatot $n$ elem\H{u} $G(x)$
eloszls\'u rendezett mint\'anak nevezz\"uk.}\medskip
\item{1.} Legyen $\xi^*_1\le \xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$  $n$ elem\H{u}
rendezett mint olyan $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, melynek
l\'etezik $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ekkor e rendezett
mint\'anak l\'etezik ($n$-dimenzi\'os) $h(x_1,\dots,x_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es $h(x_1,\dots,x_n)=n!\prodd_{k=1}^n
g(x_k)$, ha $x_1\le x_2\le \cdots\le x_n$, \'es
$h(x_1,\dots,x_n)=0$, ha ez a felt\'etel nem teljes\"ul.
\item{2.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\lambda>0$ param\'eterrel, $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n$.
Legyen $U_1(x)\le \cdots\le U_{n-1}(x)$ $n-1$ f\"uggetlen a $[0,x]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-b\'ol vett rendezett minta. Ekkor $P(S_1<u_1,\dots,
S_{n-1}<u_{n-1}|S_n=x)=P(U_1<u_1,\cdots, U_{n-1}<u_{n-1})$ minden
$u_1,\dots, u_n$ sz\'amra. Ez az eredm\'eny \'ugy is
interpret\'alhat\'o, hogy az $(S_1,\dots,S_{n-1})$ vektor felt\'eteles
eloszl\'asa felt\'eve, hogy $S_n=x$ egy a $[0,x]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u rendezett mint\'aval egyezik meg.
\item{2a.} Az el\H{o}z\H{o} jel\"ol\'esekkel, a
$\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots, \dfrac{S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor f\"uggetlen
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-t\'ol, \'es e
vektor elemei a $[0,1]$ intervallumban f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
\'all\'o rendezett mint\'at alkotnak.
\item{3.} Legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\dots\le \xi^*_{n-1}\le
\xi_n^*$ valamilyen $[a,b]$ intervallumban f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. L\'assuk be, hogy a
$\xi_2^*\le\dots\le \xi^*_{n-1}$ sorozat
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy $\xi_1^*=x$, $\xi_n^*=y$
megegyezik $n-2$ az $[x,y]$ intervallumban vett f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol k\'epzett
rendezett minta eloszl\'as\'aval.
\item{4.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen norm\'alis
elosz\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazzal a
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es sz\'or\'asn\'egyzettel. Ekkor a $\bar
\xi=\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'es a $\(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar \xi\)$  v\'eletlen vektor
f\"uggetlen. Tov\'abb\'a, a v\'eletlen vektor eloszl\'asa nem f\"ugg a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l.
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen norm\'alis
elosz\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazzal a
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es sz\'or\'asn\'egyzettel. Ekkor az
$s=\sqrt{\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi^2_k}$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'es a $\left\{\dfrac{\xi_1}s,\dots,\dfrac{\xi_n}s\right\}$
v\'eletlen vektor f\"uggetlen, tov\'abb\'a a v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egg\"omb fel\"ulet\'en.
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy ezeket a feladatokat megoldjuk el\H{o}sz\"or
\'erts\"uk meg, hogy egy  (s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
transzform\'altj\'anak a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
hogyan tudjuk kisz\'amolni, illetve hogyan sz\'ol az az
integr\'altranszform\'aci\'os k\'eplet, amelyik egy ilyen sz\'amol\'as
alapj\'at k\'epezi. Az eredm\'eny megfogalmaz\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or
felid\'ezz\"uk egy s\'{\i}ma transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a
definici\'oj\'at. \medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak s\'{\i}ma
transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba. E  transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$
Jakobi\'anja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\dfrac {\partial
T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),  \quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.
 
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki.)} \medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet.} {\it
Legyen adva az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak egy
s\'{\i}ma $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Legyen tov\'abb\'a adva a $B$ tartom\'anyon egy
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny. Ezen $f(y_1,\dots,y_n)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott \H{o}sk\'ep\'en azt az $A$ tartom\'anyon
\'ertelmezett $g(x_1,\dots,x_n)=\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk az $A$ tartom\'anyon, melyre
$$
g(x_1,\dots,x_n)=f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
$$
minden $(x_1,\dots,x_n)\in A$ pontban. Ekkor
$$
\align
&\int _{B} f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_{A}\dfrac {\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)}
{\summ \Sb \text{olyan } (z_1,\dots,z_n)\in A \text{ pontok}\\
\text{melyekre }T_k(z_1,\dots,z_n)=T_k(x_1,\dots,x_n)\\
k=1,\dots,n\endSb\dfrac1{\Cal J(\bold T(z_1,\dots,z_k))}} \bold
\,dx_1\dots\,dx_n.
\endalign
$$
}\medskip
\item{} {\it Az 1. feladat megold\'asa:}\/ Legyen $B$ az
$A=\{(x_1,\dots,x_n)\:-\infty< x_1< x_2\le \cdots< x_n<\infty\}$
halmaz tetsz\H{o}leges, (m\'erhet\H{o}) r\'eszhalmaza az
$n$-dimenzi\'os t\'erben. Ekkor $P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in A)=n!
P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)$, mert $P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)=
P((\xi_{\pi(1)},\dots,\xi_{\pi(n)})\in A)$ az $\{1,\dots,n\}$
sz\'amok tetsz\H{o}leges $\pi$ permut\'aci\'oj\'ara, \'es
k\"ul\"onb\"oz\H{o} permut\'aci\'okra diszjunkt esem\'enyeket
tekintett\"unk. Innen,
$$
P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in B)=\int_B n!g(x_1)\cdots
g(x_n)\,dx_1\dots, dx_n,
$$
ha $B\subset A$, \'es $P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in B)=0$, ha
$B\cap A=\emptyset$. Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
 
\item{} {\it A 2. feladat megold\'asa:}\/ Sz\'amoljuk ki az
$(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)=\int_B \lambda^n
e^{-\lambda(y_1+\cdots+y_n)}\,dy_1\,\dots\,dy_n,
$$
ahol $B=B(u_1,\dots,u_n)=\{(y_1,\dots,y_n)\:
y_j\ge0,y_1+y_2+\cdots+y_j<u_j,\;j=1,\dots,n\}$.
 
\item{} \'Irjuk \'at a fenti integr\'alt az $x_j=y_1+\cdots+y_j$,
$j=1,2,\dots, n$ transzform\'aci\'oval. E transzform\'aci\'o
invert\'alhat\'o. Jacobi\'anja 1, a $B$ halmazt az $\{0\le x_j<u_j,\;
j=1,\dots,n\}$ halmazba k\'epezi, ez\'ert
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=\int_{\{0\le x_1\le x_2<\cdots\le x_n,\;
x_j<u_j,\; j=1,\dots,n\}} \lambda^n
e^{-\lambda x_n}\,dx_1\,\dots\,dx_n,
$$
ahonnan az $(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n}$, ha $0\le x_1\le x_2\le
\cdots\le x_n$, \'es $f(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent. Innen az $S_n$
s\H{u}r\'os\'egf\"uggv\'enye
$$
f_n(x_n)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots \,dx_{n-1}=\dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}
e^{-\lambda x_n},
$$
ha $x_n\ge 0$. Megt\'argyaltuk, hogy a $P(S_1<u_1, S_{n-1}<u+n|S_n=x)$
felt\'eteles eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$\dfrac{f(x_1,\dots, x_{n-1},x)}{f_n(x)}$ f\"uggv\'eny, ahol az $f$
az $(S_1,\dots,S_n)$ v\'eletlen vektor, az $f_n$ f\"uggv\'eny pedig az
$S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez jelen
esetben a $h(x_1,\dots,x_{n-1})=\dfrac{(n-1)!}{x^{n-1}}$, ha $\le x_1\le
x_2\le\cdots \le x_{n-1}\le x$, \'es $h(x_1,\dots,x_{n-1})=0$
egy\'ebk\'ent, \'es ez $n-1$ f\"uggetlen \'es a $[0,x]$ intevallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\(\dfrac {S_1}{S_n},\dots,\dfrac
{S_{n-1}}{S_n},S_n\)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
az $(S_1,\dots, S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
ismeret\'eben.
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =P(S_1<S_n u_1,\dots, S_{n-1}<S_nu_{n-1},S_n<x)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le y_j< u_j y_n,\, j=1,\dots,n,\, 0\le y_n<x\}}
f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots dy_n.
\endalign
$$
V\'egezz\"uk el az $x_j=y_jy_n$, $j=1,2,\dots,n-1$ \'es $x_n=y_n$
helyettes\'{\i}t\'esket. E transzform\'aci\'o Jacobi\'anja
$x_n^{n-1}$, \'es
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le x_j< u_j,\, j=1,\dots,n,\, 0\le x_n<x\}}
x_n^{n-1}f\(\frac{x_1}{x_n},\dots,\frac{x_{n_1}}{x_n},x_n\)\,dx_1\dots
dx_n. \endalign
$$
Innen a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x_1,\dots,
x_{n-1},x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n} x^{n-1}_n$, ha $0\le x_1<x_1<le
x_{n-1}\le 1$, \'es $x_n\ge 0$. Ez azt jelenti, hogy
$f(x_1,\dots, x_{n-1},x_n)=g(x_1,\dots,x_{n-1}) h(x_n)$, ahol
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=(n-1)!$, ha $0\le x_1\le\cdots\le x_{n-1}$,
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=0$, egy\'ebk\'ent,
$g(x_n)=\dfrac{x_n^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x_n}$, ha $x_n\ge 0$,
$g(x_n)=0$, ha $x_n<0$. Ez azt jelenti, hogy az $\(\dfrac
{S_1}{S_n},\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor \'es $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, a
tekintett vektor eloszl\'asa megegyezik $n-1$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett mint eloszl\'as\'aval, az
$S_n$ vektor eloszl\'asa pedig $n$ f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'asa.
 
\item{} {\it A 3. feladat megold\'asa:}\/ A $\xi_1^*\le
\xi_2^*\le\dots\le \xi^*_{n-1}\le \xi_n^*$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$$
g(x_1,\dots,x_n)=\cases
\dfrac {n!}{(b-a)^n}&\text{ha } a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b \\
0 & \text{egy\'ebk\'ent}  \endcases
$$
f\"uggv\'eny.
\item{} Innen, \'es az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton t\'argyalt
eredm\'enyek alapj\'an a $(\xi_2^*,\dots, \xi^*_{n-1})$ v\'eletlen
vektor felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, felt\'eve a
$\xi_1^*=x$, $\xi_n^*=y$, $a<x<y<b$, felt\'etelt, a
$\dfrac{g(x,x_2,\dots,x_{n-1},y)}{f(x,y)}$ f\"uggv\'eny, ahol
$f(x,y)=n(n-1)\dfrac{(y-x)^{n-2}}{(b-a)^n}$, $a<x<y<b$ f\"uggv\'eny a
$(\xi_1^*,\xi^*_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez viszont
megegyezik $n-2$ f\"uggetlen, az $[x,y]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'as\'aval. \medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{}  Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egy $[a,b]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk a $\xi_1^*=\minn_{1\le j\le n}\xi_j$
\'es $\xi_n^*=\maxx_{1\le j\le n}\xi_j$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat. Bizony\'{\i}tsuk
be, hogy a $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak van
s\"u\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az az
$f(x,y)=n(n-1)\dfrac{(y-x)^{n-2}}{(b-a)^n}$ f\"uggv\'eny, ha
$a<x<y<b$, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
\medskip
A m\'asodik feladatban szerepl\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bel\'athatjuk a k\"ovetkez\H{o} ered\-m\'enyt: Legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ egy $n$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor
$f(x_1,\dots,x_n)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)$  ennek olyan
$\eta_k=T_k(\xi_1,\dots,\xi_n)$, $k=1,\dots,n$, transzform\'altja,
melyre az $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $k=1,dots,n$, f\"uggv\'enyek
s\'{\i}m\'ak, \'es a $\bold T=(T_1,\dots, T_n)$ transzform\'aci\'o az
$R^n$ t\'erb\H{o}l az $R^n$ t\'er egy tartom\'any\'aba
invert\'alhat\'o, azaz a
$$
\bold T(x_1,\dots, x_n)=(y_1,\dots,y_n)
$$
egyenletnek legfeljebb egy megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)$
pontra. Ekkor az el\H{o}bb defini\'alt $(\eta_1,\dots,\eta_n)$
v\'eletlen vektornak van $g(y_1,\dots,y_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
$$
g(y_1,\dots,y_n)=\dfrac{f(x_1,\dots,x_n)}{\Cal
J(\bold T(x_1,\dots,x_n))}, \quad\text{ha } (y_1,\dots,y_n)=\bold
T(x_1,\dots,x_n),
$$
(\'es $g(y_1,\dots,y_n)=0$, ha a fenti egyenletnek nincs megold\'asa.)
 
Val\'oban, jel\H{o}lje, $\bold S$ a $\bold T$ transzform\'aci\'o
inverz\'et, \'es $I(C)$ egy $C\subset R^n$ halmaz
indiktorf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $\Cal J(\bold
S(x_1,\dots,x_n))=\dfrac1{\Cal J(\bold T(y_1,\dots,y_n))}$, ha
$x_k=\bold T_k(y_1,\dots,y_n)$, $1\le k\le n$, \'es
$$
\align
&P((\eta_1,\dots,\eta_n)\in B)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in \bold S(B))\\
&\qquad=\int f(y_1,\dots,y_n)I(\{(y_1,\dots,y_n)\;
\in \bold S(B)\})\,dy_1\dots\,dy_n\\
&\qquad=\int f(\bold S(x_1,\dots,x_n))I((x_1,\dots,x_n)\in B)
\Cal J\(\bold S(x_1,\dots,x_n)\)\,dx_1\dots dx_n\\
&\qquad=\int_{B}\frac{f(\bold S(x_1,\dots,x_n))}{\Cal J(\bold
T([\bold S(x_1,\dots,x_n]))}\,dx_1\dots\,dx_n=\int_B
g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n
\endalign
$$
minden m\'erhet\H{o} $B\in R^n$ halmazra, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as.
 
A fenti eredm\'enyt lehet \'altal\'anos\'{\i}tani arra az esetre,
amikor a $\bold T$ transzform\'aci\'o nem invert\'alhat\'o, de ezzel a
k\'erd\'essel nem foglalkozunk.
\medskip
\item{} {\it A 4. feladat egy lehets\'eges megold\'asa:}\/ Vezess\"uk
be az $\eta_k=\xi_k-\bar\xi$ jel\"ol\'est, $k=1,\dots,n$. Ekkor
$\eta_n=-\summ_{k=1}^{n-1}\eta_k$, ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$(\eta_1,\dots,\eta_{n-1},\bar\xi)$ vektor utols\'o koordin\'at\'aja
f\"uggetlen az els\H{o} $n-1$ koordin\'at\'at\'ol. Ezt megmutatjuk, ha
ennek a vektornak megadjuk a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, \'es
azt megfelel\H{o} alakban \'{\i}rjuk fel. A
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az
el\H{o}z\H{o} megjegyz\'es alapj\'an.
 
\item{} Defini\'aljuk a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$,
$T_k(x_1,\dots,x_n)=x_k-\dfrac1n\summ_{j=1}^nx_j$, $1\le k\le n-1$,
$T_n(x_1,\dots,x_n)=\dfrac1n\summ_{j=1}^nx_j$, lek\'epez\'est az $R^n$
t\'eren. Ekkor $(\eta_1,\dots,\eta_{n-1},\bar\xi)=\bold
T(\xi_1,\dots,\xi_n)$. A $\bold T$ lek\'epez\'es line\'aris, ez\'ert
Jacobian-ja konstans. (Ezt a konstanst ki tudn\'ank sz\'amolni, de erre
nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.) Ha $\bold
T(x_1,\dots,x_n)=(y_1,\dots,y_n)$, akkor
$x_k=y_k+y_n$, $1\le k\le n-1$, $x_n=y_n-\summ_{j=1}^{n-1}y_j$. Innen
k\"ovetkezik, hogy amennyiben a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x_1,\dots,x_n)$, akkor
az $(\eta_1,\dots,\eta_{n-1},\bar\xi)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
g(y_1,\dots,y_n)=\const f\(y_1+y_n,\dots, y_{n-1}+y_n,
y_n-\summ_{j=1}^{n-1}y_j\)
$$
alkalmas konstans szorz\'oval.
 
\item{}  Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $g(y_1,\dots,y_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt abban az esetben, ha
$f(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, azaz,
$f(x_1,\dots,x_n)=\const\exp\left\{-\dfrac12\(\summ_{k=1}^n
x_k^2\)\right\}$. (Az \'altal\'anos eset hasonl\'oan t\'argyalhat\'o.)
$$
\align
g(y_1,\dots,y_n)&=\const\exp\left\{-\dfrac12\(\summ_{k=1}^{n-1}
(y_k^2+y_n)+ \(y_n-\summ_{j=1}^{n-1}y_j\)^2 \)\right\} \\
&=\const\exp\left\{-\frac12ny_n^2\right\}
\exp\left\{-\frac12\(\sum_{j=1}^{n-1}y_j^2+\(\sum_{j=1}^{n-1}
y_j\)^2\)\right\}.
\endalign
$$
Innen k\"uvetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\item{} {\it Az 5. feladat megold\'asa:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ vektor $f(x_1,\dots,x_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, csak az $(x_1,\dots,x_n)$ vektor
hossz\'at\'ol f\"ugg, azaz $f(x_1,\dots,x_n)=F(r)$,
$r=\sqrt{\summ_{k=1}^nx^2_k}$, alkalmas $F(r)$ f\"uggv\'ennyel.
Tekints\"unk egy az $n$-dimenzi\'os egys\'egg\"omb hat\'ar\'an
egyenletes eloszl\'as\'u $(U_1,\dots U_n)$ v\'eletlen vektort, azaz
legyen $\summ_{k=1}^n U_k^2=1$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}\'eseggel, \'es
legyen az $(U_1,\dots U_n)$ eloszl\'asa invari\'ans az $n$-dimenzi\'os
t\'er minden forgat\'asa eset\'en. Legyen $V$ az $(U_1,\dots U_n)$
vektort\'ol f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, \'es $(Z_1,\dots,Z_n)=(U_1V,\dots,U_nV)$. Ekkor a
$(Z_1,\dots,Z_n)$ vektor eloszl\'asa megegyezik az $\xi_1,\dots,\xi_n$
vektor eloszl\'as\'aval. Tov\'abb\'a, az
$S=\sqrt{\summ_{j=1}^nZ_j^2}=V$ \'es $\(\dfrac {Z_1}S,\dots,\dfrac
{Z_n}S\)=(U_1,\dots,U_n)$ vektorok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es az
ut\'obbi vektor az egys\'egg\"umb hat\'ar\'an egyenletes eloszl\'as\'u.
Mivel e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa
megegyezik az $s$ \'es $\dfrac{\xi_1}s,\dots,\dfrac{\xi_n}s$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'aval,
innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
 
 \bye
 
 
 
