Az október 31-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Feladatok:

Először felidézzük a következő definiciót.

Rendezett minta definiciója. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független egyforma eloszlású valószínűségi változók valamilyen G(·) eloszlásföggvénnyel. Rendezzük ezeket a (véletlen) számokat ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} monoton növekvő sorrendbe. Ekkor a ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} sorozatot n elemű G(x) eloszlsú rendezett mintának nevezzük.

1. Legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} n elemű rendezett mint olyan G(·) eloszlásfüggvénnyel, melynek létezik g(·) sűrűségfüggvénye. Ekkor e rendezett mintának létezik (n-

dimenziós) h(x_{1}, …, x_{n}) sűrűségfüggvénye, és h(x_{1}, …, x_{n}) = n! ∏_{k=1}^{n} g(x_{k}), ha x_{1} ≤

x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n}, és h(x_{1}, …, x_{n}) = 0, ha ez a feltétel nem teljesül.

2. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ > 0

paraméterrel, S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, 1 ≤ k ≤ n. Legyen U_{1}(x) ≤ ⋯ ≤ U_{n−1}(x) n −

1 független a [0, x] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból vett rendezett minta. Ekkor P (S_{1} < u_{1}, …, S_{n−1} < u_{n−1}|S_{n} = x) = P (U_{1} < u_{1}, ⋯, U_{n−1} < u_{n−1}) minden u_{1}, …, u_{n} számra. Ez az eredmény úgy is interpretálható, hogy az (S_{1}, …, S_{n−1}) vektor feltételes eloszlása feltéve, hogy S_{n} = x egy a [0, x] intervallumban egyenletes eloszlású rendezett mintával egyezik meg.

2a. Az előző jelölésekkel, a (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} ) vektor független az S_{n} valószínűségi vál-

tozótól, és e vektor elemei a [0, 1] intervallumban független, egyenletes eloszlású valószínűségi változókból álló rendezett mintát alkotnak.

3. Legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n−1}^{∗} ≤ ξ_{n}^{∗} valamilyen [a, b] intervallumban független, egyenletes eloszlású valószínűségi változókból készített rendezett minta. Lássuk be, hogy a ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n−1}^{∗} sorozat feltételes eloszlása feltéve, hogy ξ_{1}^{∗} = x, ξ_{n}^{∗} = y megegyezik n − 2 az [x, y] intervallumban vett független, egyenletes eloszlású valószínűségi változóból képzett rendezett minta eloszlásával.

4. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független normális eloszású valószínűségi változók ugyanazzal a

várható értékkel és szórásnégyzettel. Ekkor a ξ̄ = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, valószínűségi változó és

a (ξ_{1} − ξ̄, …, ξ_{n} − ξ̄) véletlen vektor független. Továbbá, a véletlen vektor eloszlása nem függ a valószínűségi változók várható értékétől.

5. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független normális eloszású valószínűségi változók ugyanazzal a

várható értékkel és szórásnégyzettel. Ekkor az s = \sqrt{\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}^{2}}, valószínűségi változó és a \{\frac{ξ_{1}}{s} , …, \frac{ξ_{n}}{s} \} véletlen vektor független, továbbá a véletlen vektor egyenletes

eloszlású az egységgömb felületén.

Annak érdekében, hogy ezeket a feladatokat megoldjuk először értsük meg, hogy egy (sűrűségfüggvénnyel rendelkező) valószínűségi vektor transzformáltjának a sűrűségfüggvényét hogyan tudjuk kiszámolni, illetve hogyan szól az az integráltranszformációs képlet, amelyik egy ilyen számolás alapját képezi. Az eredmény megfogalmazásához először felidézzük egy síma transzformáció Jacobian-jának a definicióját.

Jacobian definiciója. Legyen y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, az n-dimenziós tér egy tartományának síma transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik tartományába. E transzformáció J (T(x_{1}, …, x_{n})) Jakobiánja egy (x_{1}, …, x_{n}) pontban a

(\frac{∂T_{k}(x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{l}}) , 1 ≤ l, k ≤ n,

n × n-es (az (x_{1}, …, x_{n}) pontban vett derivált) mátrix determinánsának az abszolut értéke.

(A Jacobian szemléletes tartalma: Ez adja meg, hogy az (x_{1}, …, x_{n}) pont kis környezetének a térfogatát a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció hányszorosára nagyítja ki.)

Integráltranszformációról szóló képlet. Legyen adva az n-dimenziós tér egy A tartományának egy síma y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik B tartományába. Legyen továbbá adva a B tartományon egy f(y_{1}, …, y_{n}) függvény. Ezen f(y_{1}, …, y_{n}) függvénynek a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció által meghatározott ősképén azt az A tartományon értelmezett g(x_{1}, …, x_{n}) = T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n}) függvényt értjük az A tartományon, melyre

g(x_{1}, …, x_{n}) = f(T_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, T_{n}(x_{1}, …, x_{n}))

minden (x_{1}, …, x_{n}) ∈ A pontban. Ekkor

∫_{B} f(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}

= ∫_{A} \frac{T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n})}{∑_{olyan (z_{1},...,z_{n})∈A pontok melyekre T_{k}(z_{1},...,z_{n})=T_{k}(x_{1},...,x_{n}) k=1,...,n} \frac{1}{J (T(z_{1}, …, z_{k}))}} dx_{1} … dx_{n}.

Az 1. feladat megoldása: Legyen B az A = {(x_{1}, …, x_{n}): − ∞ < x_{1} < x_{2} ≤ ⋯ < x_{n} < ∞} halmaz tetszőleges, (mérhető) részhalmaza az n-dimenziós térben. Ekkor P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ A) = n!P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ A), mert P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ A) = P ((ξ_{π(1)}, …, ξ_{π(n)}) ∈ A) az {1, …, n} számok tetszőleges π permutációjára, és különböző permutációkra diszjunkt eseményeket tekintettünk. Innen,

P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ B) = ∫_{B} n!g(x_{1}) ⋯ g(x_{n}) dx_{1} …, dx_{n},

ha B ⊂ A, és P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ B) = 0, ha B ∩ A = ∅. Innen következik az állítás. A 2. feladat megoldása: Számoljuk ki az (S_{1}, …, S_{n}) vektor sűrűségfüggvényét.

P (S_{1} < u_{1}, …, S_{n} < u_{n}) = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ B) = ∫_{B} λ^{n}e^{−λ(y_{1}+···+y_{n})} dy_{1} … dy_{n},

ahol B = B(u_{1}, …, u_{n}) = {(y_{1}, …, y_{n}): y_{j} ≥ 0, y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{j} < u_{j}, j = 1, …, n}. Írjuk át a fenti integrált az x_{j} = y_{1} + ⋯ + y_{j}, j = 1, 2, …, n transzformációval. E transzformáció invertálható. Jacobiánja 1, a B halmazt az {0 ≤ x_{j} < u_{j}, j = 1, …, n} halmazba képezi, ezért

P (S_{1} < u_{1}, …, S_{n} < u_{n}) = ∫_{{0≤x_{1}≤x_{2}<···≤x_{n}, x_{j}<u_{j}, j=1,...,n}} λ^{n}e^{−λx_{n}} dx_{1} … dx_{n},

ahonnan az (S_{1}, …, S_{n}) vektor sűrűségfüggvénye f(x_{1}, …, x_{n}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}, ha 0 ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n}, és f(x_{1}, …, x_{n}) = 0 egyébként. Innen az S_{n} sűróségfüggvénye

f_{n}(x_{n}) = ∫_{−∞}^{∞} ⋯ ∫_{−∞}^{∞} f(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n−1} = \frac{λ^{n}}{(n − 1)!}x^{n−1}e^{−λx_{n}},

ha x_{n} ≥ 0. Megtárgyaltuk, hogy a P (S_{1} < u_{1}, S_{n−1} < u + n|S_{n} = x) feltételes

eloszlás sűrűségfüggvénye az \frac{f(x_{1}, …, x_{n−1}, x)}{f_{n}(x)} függvény, ahol az f az (S_{1}, …, S_{n})

véletlen vektor, az f_{n} függvény pedig az S_{n} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye.

Ez jelen esetben a h(x_{1}, …, x_{n−1}) = \frac{(n − 1)!}{x^{n−1}}, ha ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n−1} ≤ x, és

h(x_{1}, …, x_{n−1}) = 0 egyébként, és ez n−1 független és a [0, x] intevallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta sűrűségfüggvénye.

Számítsuk ki az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} , S_{n}) vektor sűrűségfüggvényét az (S_{1}, …, S_{n}) vek-

tor sűrűségfüggvényének ismeretében.

P (\frac{S_{1}}{S_{n}} < u_{1}, …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} < u_{n−1}, S_{n} < x)

= P (S_{1} < S_{n}u_{1}, …, S_{n−1} < S_{n}u_{n−1}, S_{n} < x)

= ∫_{{0≤y_{j}<u_{j}y_{n}, j=1,...,n, 0≤y_{n}<x}} f(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}.

Végezzük el az x_{j} = y_{j}y_{n}, j = 1, 2, …, n − 1 és x_{n} = y_{n} helyettesítésket. E transzformáció Jacobiánja x_{n}^{n−1}, és

P (\frac{S_{1}}{S_{n}} < u_{1}, …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} < u_{n−1}, S_{n} < x)

= ∫_{\{0≤x_{j}<u_{j}, j=1,...,n, 0≤x_{n}<x\}} x_{n}^{n−1}f (\frac{x_{1}}{x_{n}} , …, \frac{x_{n_{1}}}{x_{n}} , x_{n}) dx_{1} … dx_{n}.

Innen a keresett sűrűségfüggvény f(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}x_{n}^{n−1}, ha 0 ≤ x_{1} < x_{1} < lex_{n−1} ≤ 1, és x_{n} ≥ 0. Ez azt jelenti, hogy f(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = g(x_{1}, …, x_{n−1})h(x_{n}), ahol g(x_{1}, …, x_{n−1}) = (n − 1)!, ha 0 ≤ x_{1} ≤ ⋯ ≤ x_{n−1},

g(x_{1}, …, x_{n−1}) = 0, egyébként, g(x_{n}) = \frac{x_{n}^{n−1}}{(n − 1)!}e^{−λx_{n}}, ha x_{n} ≥ 0, g(x_{n}) = 0, ha

x_{n} < 0. Ez azt jelenti, hogy az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} ) vektor és S_{n} valószínűségi változók

függetlenek, a tekintett vektor eloszlása megegyezik n − 1 független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett mint eloszlásával, az S_{n} vektor eloszlása pedig n független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó összegének az eloszlása. A 3. feladat megoldása: A ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n−1}^{∗} ≤ ξ_{n}^{∗} vektor sűrűségfüggvénye a

g(x_{1}, …, x_{n}) = \{ \begin{matrix}\frac{n!}{(b − a)^{n}} & ha a < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} < b \\ 0 & egyébként \end{matrix}

függvény. Innen, és az előző gyakorlaton tárgyalt eredmények alapján a (ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n−1}^{∗}) véletlen vektor feltételes sűrűségfüggvénye, feltéve a ξ_{1}^{∗} = x, ξ_{n}^{∗} = y, a < x < y < b,

feltételt, a \frac{g(x, x_{2}, …, x_{n−1}, y)}{f(x, y)} függvény, ahol f(x, y) = n(n − 1)\frac{(y − x)^{n−2}}{(b − a)^{n}}, a <

x < y < b függvény a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) vektor sűrűségfüggvénye. Ez viszont megegyezik n−2 független, az [x, y] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta eloszlásával.

Házi feladat: Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egy [a, b] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók, és definiáljuk a ξ_{1}^{∗} = min_{1≤j≤n} ξ_{j} és ξ_{n}^{∗} = max_{1≤j≤n} ξ_{j} valószínűségi

változókat. Bizonyítsuk be, hogy a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) valószínűségi vektornak van sürűség-

függvénye, és az az f(x, y) = n(n − 1)\frac{(y − x)^{n−2}}{(b − a)^{n}} függvény, ha a < x < y < b, és

f(x, y) = 0 egyébként.

A második feladatban szereplő érvelés segítségével beláthatjuk a következő eredményt: Legyen (ξ_{1}, …, ξ_{n}) egy n-dimenziós véletlen vektor f(x_{1}, …, x_{n}) sűrűségfüggvénnyel, η = (η_{1}, …, η_{n}) ennek olyan η_{k} = T_{k}(ξ_{1}, …, ξ_{n}), k = 1, …, n, transzformáltja, melyre az y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), k = 1, dots, n, függvények símák, és a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció az R^{n} térből az R^{n} tér egy tartományába invertálható, azaz a

T(x_{1}, …, x_{n}) = (y_{1}, …, y_{n})

egyenletnek legfeljebb egy megoldása van minden (y_{1}, …, y_{n}) pontra. Ekkor az előbb definiált (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektornak van g(y_{1}, …, y_{n}) sűrűségfüggvénye, és

g(y_{1}, …, y_{n}) = \frac{f(x_{1}, …, x_{n})}{J (T(x_{1}, …, x_{n}))}, ha (y_{1}, …, y_{n}) = T(x_{1}, …, x_{n}),

(és g(y_{1}, …, y_{n}) = 0, ha a fenti egyenletnek nincs megoldása.)

Valóban, jelőlje, S a T transzformáció inverzét, és I(C) egy C ⊂ R^{n} halmaz indik-

torfüggvényét. Ekkor J (S(x_{1}, …, x_{n})) = \frac{1}{J (T(y_{1}, …, y_{n}))}, ha x_{k} = T_{k}(y_{1}, …, y_{n}),

1 ≤ k ≤ n, és

P ((η_{1}, …, η_{n}) ∈ B) = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ S(B))

= ∫ f(y_{1}, …, y_{n})I({(y_{1}, …, y_{n}) ∈ S(B)}) dy_{1} … dy_{n}

= ∫ f(S(x_{1}, …, x_{n}))I((x_{1}, …, x_{n}) ∈ B)J (S(x_{1}, …, x_{n})) dx_{1} … dx_{n}

= ∫_{B} \frac{f(S(x_{1}, …, x_{n}))}{J (T([S(x_{1}, …, x_{n}]))} dx_{1} … dx_{n} = ∫_{B} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n}

minden mérhető B ∈ R^{n} halmazra, ahonnan következik az állítás.

A fenti eredményt lehet általánosítani arra az esetre, amikor a T transzformáció nem invertálható, de ezzel a kérdéssel nem foglalkozunk.

A 4. feladat egy lehetséges megoldása: Vezessük be az η_{k} = ξ_{k} − ξ̄ jelölést, k =

1, …, n. Ekkor η_{n} = − ∑_{k=1}^{n−1} η_{k}, ezért elég megmutatni, hogy az (η_{1}, …, η_{n−1}, ξ̄)

vektor utolsó koordinátája független az első n−1 koordinátától. Ezt megmutatjuk, ha ennek a vektornak megadjuk a sűrűségfüggvényét, és azt megfelelő alakban írjuk fel. A sűrűségfüggvényt ki tudjuk számítani az előző megjegyzés alapján.

Definiáljuk a T = (T_{1}, …, T_{n}), T_{k}(x_{1}, …, x_{n}) = x_{k} − \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} x_{j}, 1 ≤ k ≤ n − 1,

T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} x_{j}, leképezést az R^{n} téren. Ekkor (η_{1}, …, η_{n−1}, ξ̄) =

T(ξ_{1}, …, ξ_{n}). A T leképezés lineáris, ezért Jacobian-ja konstans. (Ezt a konstanst ki tudnánk számolni, de erre nem lesz szükségünk.) Ha T(x_{1}, …, x_{n}) =

(y_{1}, …, y_{n}), akkor x_{k} = y_{k} +y_{n}, 1 ≤ k ≤ n−1, x_{n} = y_{n} − ∑_{j=1}^{n−1} y_{j}. Innen következik,

hogy amennyiben a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) vektor sűrűségfüggvénye f(x_{1}, …, x_{n}), akkor az (η_{1}, …, η_{n−1}, ξ̄) sűrűségfüggvénye

g(y_{1}, …, y_{n}) = const. f (y_{1} + y_{n}, …, y_{n−1} + y_{n}, y_{n} − ∑_{j=1}^{n−1} y_{j})

alkalmas konstans szorzóval. Számítsuk ki a g(y_{1}, …, y_{n}) sűrűségfüggvényt abban az esetben, ha f(x_{1}, …, x_{n}) független, standard normális eloszlású valószínűségi változókból álló vektor sűrű-

ségfüggvénye, azaz, f(x_{1}, …, x_{n}) = const. exp \{−\frac{1}{2} ( ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{2})\}. (Az általános eset

hasonlóan tárgyalható.)

g(y_{1}, …, y_{n}) = const. exp \{−\frac{1}{2} (∑_{k=1}^{n−1}(y_{k}^{2} + y_{n}) + (y_{n} − ∑_{j=1}^{n−1} y_{j})^{2})\}

= const. exp \{−\frac{1}{2}ny_{n}^{2}\} exp \{−\frac{1}{2} (∑_{j=1}^{n−1} y_{j}^{2} + (∑_{j=1}^{n−1} y_{j})^{2})\} .

Innen küvetkezik az állítás. Az 5. feladat megoldása: Vegyük észre, hogy a ξ_{1}, …, ξ_{n} vektor f(x_{1}, …, x_{n}) sűrűségfüggvénye, csak az (x_{1}, …, x_{n}) vektor hosszától függ, azaz f(x_{1}, …, x_{n}) =

F (r), r = \sqrt{∑_{k=1}^{n} x_{k}^{2}}, alkalmas F (r) függvénnyel. Tekintsünk egy az n-dimenziós

egységgömb határán egyenletes eloszlású (U_{1}, … U_{n}) véletlen vektort, azaz legyen

∑_{k=1}^{n} U_{k}^{2} = 1 egy valószínűéseggel, és legyen az (U_{1}, … U_{n}) eloszlása invariáns az n-

dimenziós tér minden forgatása esetén. Legyen V az (U_{1}, … U_{n}) vektortól független F (x) eloszlású valószínűségi változó, és (Z_{1}, …, Z_{n}) = (U_{1}V, …, U_{n}V). Ekkor a (Z_{1}, …, Z_{n}) vektor eloszlása megegyezik az ξ_{1}, …, ξ_{n} vektor eloszlásával. Továbbá,

az S = \sqrt{∑_{j=1}^{n} Z_{j}^{2}} = V és (\frac{Z_{1}}{S} , …, \frac{Z_{n}}{S} ) = (U_{1}, …, U_{n}) vektorok függetlenek, és az

utóbbi vektor az egységgümb határán egyenletes eloszlású. Mivel e valószínűségi

változók együttes eloszlása megegyezik az s és \frac{ξ_{1}}{s} , …, \frac{ξ_{n}}{s} valószínűségi változók együttes eloszlásával, innen következik a feladat állítása.