\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 17-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \medskip
 
 
\noindent
{\bf Felt\'eteles eloszl\'asok} \medskip
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi felt\'etelek mellett is
defini\'alj\'ak, de az \'{\i}gy defini\'alt fogalmak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legnehezebb fogalmai
k\"oz\'e tartoznak. Ahhoz, hogy e fo\-gal\-ma\-kat jobban
meg\'erts\"uk, pr\'o\-b\'al\-juk el\H{o}sz\"or meg\'erteni azt, hogy
milyen szeml\'eletes k\'epet akarunk ennek a definici\'onak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazni. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk
a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at.
 
Van t\'{\i}z darab l\'amp\'ank, ezek \'elettartama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, (exponenci\'alis el\-osz\-l\'as\-sal \'es) 25 \'ora
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Egy foglalatba betessz\"uk az els\H{o}
l\'amp\'at, hogy bevil\'ag\'{\i}tson egy termet. Ha a l\'ampa
ki\'egett azonnal kicser\'elj\"uk a k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara.
Els\H{o} k\'erd\'es: Mit v\'arunk v\'arunk, mennyi ideig elegend\H{o}
a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttesen a terem bevil\'ag\'{\i}t\'as\'ahoz? A
term\'eszetes v\'alasz az, hogy ez a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes
\'elettartam\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $10\times$25=250
\'ora. A m\'asodik k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Meg\-fi\-gyel\-j\"uk,
hogy me\-lyik id\H{o}\-pont\-ban cser\'elj\"uk ki a m\'asodik
l\'amp\'at. Mit v\'arunk ennek az inform\'aci\'onak az ismeret\'eben a
t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara? Ha ez a csere 48 \'ora
22 perc m\'ulva t\"ort\'enik meg, akkor a term\'eszetes becsl\'es a 10
l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara 48 \'ora 22 perc plusz $8\times25$
\'ora, azaz 248 \'ora 22 perc. Ha ez a csere 51 \'ora 19 perc m\'ulva
t\"ort\'enik, akkor hasonl\'oan azt v\'arjuk, hogy ez az id\H{o}tartam
251 \'ora 19 perc.
 
A fenti p\'elda nem \"onmaga miatt \'erdekes sz\'amunkra, hanem
az\'ert, mert r\'amutat arra, hogy term\'eszetes felvetni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Adva egy esem\'eny vagy egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, akkor \'erdekelhet
minket ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege vagy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak v\'arhat\'o
\'ert\'eke. El\H{o}fordulhat, hogy m\'as esem\'enyekenek
be\-k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'et vagy be nem k\"ovetkez\'es\'et
m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felvett \'ert\'ek\'et
meg tudjuk figyelni, \'es ezen plusz inform\'aci\'o ismeret\'eben
akarjuk megbecs\"ulni a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ekkor term\'eszetes olyan
becsl\'est adni, amelyik ezeket a plusz inform\'aci\'okat is
figyelembe veszi. Az el\H{o}z\H{o} paragrafusban is ilyen k\'erd\'est
fogalmaztunk meg. Ott meg akartuk becs\"ulni t\'{\i}z
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et azon felt\'etel mellett, hogy az els\H{o}
k\'et v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az \'ert\'eke ismert. Ennek a
k\'erd\'esnek a term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa vezet a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek fogalm\'ahoz.
 
Az el\H{o}z\H{o} p\'elda azt sugallja, hogy egy $A$ halmaz felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et felt\'eve bizonyos $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ek\'et \'ugy \'erdemes
defini\'alni, mint a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok alkalmas (Borel) m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny\'et, azaz
$P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=f_A(x_1,\dots,x_k)$, ahol
$f_A(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, \'es azt m\'eri mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} az $A$ esem\'eny felt\'eve, hogy $\xi_1=x_1,\dots,
\xi_k=x_k$. Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget implicit m\'odon tudjuk
defini\'alni. Azt v\'arjuk, hogy
$$
\align
&P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k] \cap A\)\\
&\qquad =P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k]) f_A(x_1,\dots,x_k\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag azonban semmitmond\'o, mert az azonoss\'ag mindk\'et
oldala nulla. Vi\-szont ez egy tartalmas \'all\'{\i}t\'ass\'a v\'alik,
ha ezt az azonoss\'agot kiintegr\'aljuk. Ez azt su\-gall\-ja, hogy
teljes\"ulnie kell a
$$
\align
&P\(A\cap \{(\xi_1,\dots,\xi_k)\in B\}\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) P\(\xi_1\in [x_1,x_1+dx_1],\dots,\xi_k\in
[x_k,x_k+dx_k]\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) F(\,dx_1,\dots,\,dx_k) \tag$*$
\endalign
$$
azonoss\'agnak, ahol $B$ az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges (Borel) m\'erhet\H{o} halmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$
pedig a $k$-dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az anal\'{\i}zis egyik fontos
eredm\'eny\'eb\H{o}l, a Radon--Nikodym t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy l\'etezik olyan $f_A(\cdot,\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'eny mely
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot minden m\'erhet\H{o} $B$ halmazra,
\'es ezek az azonoss\'agok l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozz\'ak ezt az $f_A$ felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enyt. Annak \'erdek\'eben,
hogy meg\'erts\"uk a l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}en kit\'etel
\'ertelm\'et jegyezz\"uk meg, hogy ha egy $f_A$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agok rendszer\'et, akkor
meg\-v\'al\-toz\-tat\-va ezt az $f_A$ f\"uggv\'enyt egy a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F$ eloszl\'asa \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott m\'ert\'ek szerint
null m\'ert\'ek\H{u} halmazon, akkor olyan \'uj f\"uggv\'enyt kapunk,
mely szint\'en teljes\'{\i}ti a fenti egyenletrendszert. Az, hogy a
$(*)$ azonoss\'agot minden $B$ halmazra teljes\'{\i}t\H{o} $f_A$
f\"uggv\'eny l\'enyeg\'eben  egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva
azt jelenti, hogy ha k\'et $f_A$ \'es $\bar f_A$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot a $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'er minden $B$ Borel m\'erhet\H{o} halmaz\'ara, akkor
$f_A(x_1,\dots,x_k)=\bar f_A(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor $F$ eloszl\'asa szerint
meghat\'arozott m\'ert\'ek szerint majdnem minden $(x_1,\dots,x_k)$
pontban.
 
Hasonl\'o gondolatmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk meg egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $E|\eta|<\infty$, \
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'at felt\'eve a
$\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k$ felt\'eteleket. Ezt az
$$
\aligned
E\eta(\oo) I\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}\)&
=\int_{\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}}
\eta(\oo)\,dP(\oo)\\
&=\int_A g_\eta(x_1,\dots,x_k) F(dx_1,\dots,dx_k)
\endaligned  \tag $**$
$$
rel\'aci\'ok defini\'alj\'ak, ahol $I(B)$ jel\"oli egy
$B\subset\Omega$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et, $A$ a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'er tetsz\H{o}leges Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye. Azt, hogy ilyen
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, \'es ez a
$g_\eta$ f\"uggv\'eny az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott m\'ert\'ek szerint egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg van hat\'arozva szint\'en a
Radon--Nikodym t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'athatjuk be.
 
Miel\H{o}tt megt\'argyaln\'ank a fent eml\'{\i}tett Radon--Nikodym
t\'etelt, megfogalmazzuk a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at n\'emileg \'altal\'anosabb
esetben. El\H{o}\-for\-dul\-hat ugyanis, hogy az el\H{o}zetes
inform\'aci\'oink, melyek alapj\'an egy halmaz
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re vagy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'ere becsl\'est
akarunk adni nem t\"om\"or\'{\i}thet\H{o} v\'eges sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o megfigyelt \'ert\'ek\'ebe.
Ahhoz, hogy a felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at term\'eszetes m\'odon
meg tudjuk fogalmazni ebben az \'altal\'anosabb esetben is,
el\H{o}sz\"or azt kell tiszt\'aznunk, hogy mit jelent az \'altal\'anos
esetben az, hogy bizonyos megfigyelt esem\'enyek f\"uggv\'eny\'ek\'ent
akarunk valamit megbecs\"ulni.
 
Ha meg tudunk figyelni megsz\'aml\'alhat\'o sok esem\'enyt, akkor meg
tudjuk figyelni ezek uni\'oj\'at, metszet\'et, illetve mindegyik
esem\'eny komplementer\'et. Ez azt jelenti, hogy a megfigyelhet\H{o}
esem\'enyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ez\'ert az \'altal\'anos
k\'erd\'es \'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy adva egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n egy $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra \'es egy $A$ esem\'eny vagy egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E|\eta|<\infty$, akkor
defini\'aljuk a $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget illetve $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at. Az, hogy a $\Cal F$ $\sigma$ algebra
ismeret\'eben akarjuk megbecs\"ulni az $A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et illetve $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et a $P(\A|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban
azt jelenti, hogy
\medskip
\item{i.)} A $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{i$'$).} Az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\medskip
Az $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'at a $(*)$ k\'eplethez vezet\H{o} \'ervel\'eshez
hasonl\'oan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon pr\'ob\'aljuk defini\'alni a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. \medskip
\item{ii.)} $P(A\cap B)=\dsize \int_B P(A|\Cal F)(\oo)\,dP(\oo)$
minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\item{ii.$'$)} $\dsize \int_B \eta(\oo)\,dP(\oo)=\int_B E(\eta|\Cal
F)(\oo)\,dP(\oo)$ minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}nek egy $\Cal
F\subset \Cal A$  r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja. Legyen tov\'abb\'a
adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny vagy egy $\eta(\oo)$,
$E|\eta(\oo)|<\infty$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ezen a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ esem\'eny $P(A|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o mely
teljes\'{\i}ti az i.) \'es ii.) tulajdons\'agokat. Az $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mely
teljes\'{\i}ti az i.$'$) \'es ii$'$.) tulajdons\'agokat.}\medskip
Tiszt\'azni kell, hogy a fenti definici\'o t\'enyleg meghat\'arozza
a $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\xi|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ez az
al\'abb megfogalmazand\'o Radon--Nikodym t\'etel k\"ovetkezm\'enye.
Ezenk\'{\i}v\"ul meg k\'{\i}v\'anjuk \'erteni az \'altal\'anos
eset\-ben definini\'alt $P(A|\Cal F)$ illetve $E(\eta|\Cal F)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek kapcsolat\'at az el\H{o}z\H{o}leg speci\'alis esetben
defini\'alt $P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ \'es
$E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ kifejez\'esekkel.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy a Radon--Nikodym t\'etelt megfogalmazhassuk
el\H{o}bb be kell vezetni a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent {\bf Definici\'o: Egy el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut
folytonoss\'aga egy m\'ert\'ek szerint.} {\it Legyen $\mu$
v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek \'es $\nu$ v\'eges
($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy $\Omega$ t\'eren
\'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Azt mondjuk, hogy
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint, ha minden olyan $C\in\Cal F$ halmazra, melyre $\mu(C)=0$, a
$\nu(C)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}
\medskip\noindent
{\bf Radon--Nikodym t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er, rajta
egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ (v\'eges) m\'ert\'ek \'es $\nu$ (v\'eges)
el\H{o}jeles m\'ert\'ek. Tegy\"uk fel, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Akkor
l\'etezik olyan az $\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} $f(\oo)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$, \'es $\int_C
f(\oo)\,d\mu(\oo)<\infty$ minden $C\in \Cal F$ halmazra. Tov\'abb\'a
ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} a k\"ovetkez\H{o}
\'ertelemben. Ha k\'et $f_1(\oo)$ \'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti rel\'aci\'ot minden
$C\in \Cal F$ halmazra, akkor $f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Radon--Nikodym t\'etel tipikus existencia
t\'etel. Az \'altal\'anos esetben nem ad m\'odszert arra, hogyan lehet
a keresett $f(\oo)$ Radon--Nikodym deriv\'altat effektive kisz\'amolni.
Ez a probl\'ema a felt\'eteles eloszl\'as \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek fogalm\'aban is megjelenik, \'es ez teszi a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at neh\'ezz\'e \'es
n\'epszer\H{u}tlenn\'e. Szerencs\'ere a legfontosabb statisztikai
probl\'em\'akban, ahol ez el\H{o}ker\"ul effekt\'{\i}v m\'odon tudunk
vele sz\'amolni.
 
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy az a kit\'etel, hogy a Radon--Nikodym t\'etelben
meghat\'arozott $f(\oo)$ f\"uggv\'eny csak $\mu$ majdnem minden\"utt
van meghat\'arozva term\'eszetes. Ha egy $f(\oo)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a Radon--Nikodym t\'etelt, \'es a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
null m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatjuk ezt a f\"uggv\'enyt,
akkor ez a megv\'altoztatott f\"uggv\'eny is teljes\'{\i}ti a
Radon--Nikodym t\'etelben megk\"ovetelt tulajdons\'agokat.
 
A Radon--Nikodym t\'etelb\H{o}l egyszer\H{u}en k\"o\-vet\-ke\-zik a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'e\-te\-z\'e\-se. Val\'oban, ha adva van
egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra valamint egy $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E|\xi|<\infty$, akkor
alkalmazzuk a Radon--Nikodym t\'etelt a k\"ovetkez\H{o} v\'alaszt\'assal:
Legyen a $\mu$ m\'ert\'ek a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
pontosabban annak megszor\'{\i}t\'asa az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara,
\'es defini\'aljuk a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an a k\"ovetkez\H{o} formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$\nu(F)=\int_F\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $F\in \Cal F$ halmazra. Ekkor
a Radon--Nikodym t\'etelt alkalmazhatjuk a $\mu$ m\'ert\'ekre \'es a
$\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekre, mert a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek szerint. E t\'etel szerint
l\'etezik olyan {\it $f(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny,}\/
melyre $\nu(F)=\int_F f(\oo)\mu(\,d\oo)$ minden $F\in\Cal F$ halmazra.
Ez pedig azt jelenti, hogy a Radon--Nikodym t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
konstru\'alt $f(\oo)$ f\"uggv\'eny az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.
 
A $g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket hasonl\'oan defini\'alhatjuk csak ekkor m\'as
$\mu$ m\'ert\'ekkel \'es $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekkel dolgozunk.
Ekkor mind a $\mu$ m\'ert\'eket mind a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket
az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er Borel m\'erhet\H{o} halmazain
defini\'aljuk. A $\mu$ m\'ert\'ek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa az $R^k$ t\'er $B\in\Cal B$ Borel m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmazain, azaz $\mu(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)$, $B\in \Cal
B$, \'es $\nu(B)=\int_{\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
B\}}\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. A Radon--Nikodym
t\'etel alapj\'an l\'etezik olyan $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren, melyre
$\nu(B)=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)$. Ekkor be
lehet l\'atni, hogy ez a $g_\eta$ f\"uggv\'eny a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek.
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'aval nem kell
k\"ul\"on foglalkoznunk, mert a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges m\'er\-he\-t\H{o} $A$ halmazra \'es
annak $I_A(\oo)$ indik\'ator f\"uggv\'eny\'ere $P(A|\Cal F)(\oo)=
E(I_A(\oo)|\Cal F)(\oo)$ \'es $P(A|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)
=E(\chi_A(\oo)|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$. A
to\-v\'a\-bbi\-ak\-ban  egyr\'eszt meg k\'{\i}v\'anjuk t\'argyalni az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekek k\"oz\"otti kapcsolatot abban az
esetben, ha $\Cal F=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_k)$, a $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, azaz az a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, melyben az
\"osszes $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Ezenk\'{\i}v\"ul felsoroljuk a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb tulajdons\'agait, \'es
azt, hogy hogyan lehet sz\'amolni a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ez az\'ert is fontos, mivel a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket csak implicit m\'odon (a Radon--Nikodym t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) tudjuk defini\'alni. Ez a f\H{o} oka annak, hogy
csak nehezebben tudunk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolni.
 
Az els\H{o} k\'erd\'es meg\'ert\'es\'ehez sz\"uks\'eg\"unk van a
k\"ovetkez\H{o} (nem trivi\'alis) m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-leti
eredm\'enyre. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  mez\H{o}, azon $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\Cal F$ a
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. Egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
m\'erhet\H{o} erre az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, ha l\'etezik a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'erben olyan Borel m\'erhet\H{o}
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\eta(\oo)=f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$. }\medskip
(Megjegyezz\"uk, hogy a t\'etelben tekintett $f(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny nincs egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozva.)
 
Legyen $\Cal F$ egy $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, \'es $\eta(\oo)$, $E|\eta|<\infty$
tetsz\H{o}leges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az el\H{o}z\H{o} t\'etel
alapj\'an fel\'{\i}rhat\'o $E(\eta(\oo)|\Cal
F)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$  alakban, ahol
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ekkor
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni integr\'altranszform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a ii$'$.) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a
$(**)$ rel\'aci\'o, ha a ii$'$.) rel\'aci\'oban
$B=\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}$ halmazt v\'alasztunk.
Hasonl\'oan be lehet l\'atni, hogy ha
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$,
akkor $E(\eta|\Cal F)(\oo)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$.
Ehhez, azt kell \'eszrevenni, hogy az el\H{o}bb kimondott t\'etel
alapj\'an egy $B\in \Cal F$ halmazra l\'etezik olyan $A$ Borel
m\'erhet\H{o} halmaz az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'eren, melyre
$B=\{\oo\:\(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)\)\in A\}$. Ezut\'an be lehet
l\'atni az integr\'altranszform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
a $(**)$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a ii$'$.) rel\'aci\'ob\'ol.
\medskip
Felsoroljuk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb
tulajdons\'agait. Ezek bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at, ami viszonylag
egyszer\H{u} elhagyjuk. Ez val\'osz\'{\i}n\H{u}leg szerepelt az
el\H{o}ad\'ason. R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Az al\'abbi
tulajdons\'agokban szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok ezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
\'ertelmezve. \medskip
\item{1.} Ha $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$, $\Cal F\subset
A$ tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebra, akkor
$$
E\(\left.\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k\right|\Cal F\)(\oo)
=\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)
\quad\text{majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
$$
\item{2.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal G\subset \Cal F\subset\Cal A$
tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebr\'ak, akkor $E\(E(\xi|\Cal F)|\Cal
G\)(\oo)=E(\xi|\Cal G)(\oo)$ majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
Speci\'alisan $E\(E\xi|\Cal F\)=E\xi$.
\item{3.} Ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(a\le \xi\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amokkal, $\Cal
F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, akkor $a\le E(\xi|\Cal F)(\oo)\le b$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
\item {4.} $E(\xi|\Cal A)(\oo)=\xi(\oo)$. Ha $\Cal A_0$ jel\"oli a
trivi\'alis $\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az $\Omega$ \'es
$\emptyset$ \"ures halmazb\'ol \'all, akkor $E(\xi|\Cal A_0)(\oo)=E\xi$.
\item{5.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, azaz ha tetsz\H{o}leges $F\in \Cal F$ \'es a
sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$
halmazokra, $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\cap F)= P(\{\oo\:\xi(\oo) \in
B\})P(F)$, akkor $E(\xi|\Cal F)(\oo)=E\xi$.
\item{6.} Ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$, $\Cal F\subset \Cal
A$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, azaz tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel
m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$  halmazra, $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\in \Cal
F$, akkor $E(\xi\eta|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
\medskip
A fenti \'all\'{\i}t\'asok egyik \'erdekes k\"ovetkezm\'enye a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'ag. Tekints\"unk egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor a
$$
\xi(\oo)=E(\xi|\Cal F)(\oo)+\(\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\)
$$
felbont\'as olyan, hogy az \"osszegben szerepl\H{o} k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egym\'asra mer\H{o}leges az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek (Hilbert) ter\'eben, azaz
$$
E(\xi|\Cal F)(\oo)\(\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\)=0.
$$
Ebb\H{o}l a t\'enyb\H{o}l, illetve a Hilbert terek n\'eh\'any
(egyszer\H{u}) alapvet\H{o} tulajdons\'aga se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
l\'athat\'o, hogy \medskip
\item{7.} $E\[\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\]^2=\inff\Sb \eta\; \Cal F
\text{ m\'erhet\H{o}} \\ \text{val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, }
E\eta^2<\infty \endSb E(\xi(\oo)-\eta(\oo))^2$.
\medskip
A hetedik pontban megfogalmazott tulajdons\'ag fontos mind a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban mind a
statisztik\'aban. \'Ugy lehet interpret\'alni, hogy az $E(\xi|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb k\"ozel\'{\i}t\'ese
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval (az
$L_2(\Omega,\Cal A,P)$ t\'erben). \medskip
\medskip
\centerline {$*$ $*$ $*$ Ez a r\'esz egyel\H{o}re elhagyhat\'o. $*$ $*$
$*$}
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'etelnek a bizony\'{\i}t\'as\'at is elhagyjuk.
Ennek a bizony\'{\i}t\'asa nehezebb, mint a fent felsorolt
tulajdons\'agok bizony\'{\i}t\'asa. Ez az eredm\'eny n\'eh\'any
finomabb vizsg\'alatban nagyon hasznos. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles regul\'aris eloszl\'as
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ egy
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $\Cal F\subset \Cal A$
$\sigma$-algebra. Jel\"olje $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebr\'at az
$R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren. A
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ v\'eletlen vektornak l\'etezik az
$\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asa, azaz meg lehet adni egy olyan $F(B,\oo)$, $F(B,\oo)\:
\Cal B\times \Omega\to R^1$, f\"uggv\'enyt, melyre \medskip
\item{i.)} $F(B,\cdot)$  minden $B\in\Cal B$ halmazra $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{ii.)} $F(\cdot,\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ pontra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz $F(R^k,\oo)=1$,
$0\le F(B,\oo)\le 1$ minden $B\in \Cal B$ halmazra,
$F\(\bigcupp_{k=1}^\infty B_k,\oo\)=\summ_{k=1}^\infty F(B_k,\oo)$
minden diszjunkt $B_k\in\Cal B$, $k=1,2,\dots$, hal\-ma\-zok\-b\'ol
\'all\'o rendszerre.
\item{iii.)} $F(B,\oo)=P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal
F\)(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy az
$F(B,\oo)$ f\"uggv\'eny tekinthet\H{o} mint a csak majdnem minden
$\oo\in \Omega$ pontban meghat\'arozott
$P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oja.} \medskip
 
Megjegyezz\"uk, hogy az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asa nem
trivi\'alis, nem elegend\H{o} puszt\'an a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'at kihaszn\'alni,
hanem a bizony\'{\i}t\'asban fontos szerepe van az euklideszi t\'er
sz\'ep topol\'ogiai tulajdons\'againak is. A f\H{o} probl\'ema az, hogy
b\'ar a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek 1.) pontban megfogalmazott
tulajdons\'aga alapj\'an a ii.) pontban megk\"ovetelt
$\sigma$-additivit\'as \'erv\'enyes r\"ogz\'{\i}tett diszjunkt
$B_n\in\Cal B$, $n=1,2,\dots$, halmazokra majdnem minden $\oo\in\Omega$
pontban ahhoz, hogy a ii.) pontban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast
bel\'assuk sz\"uks\'eg\"unk van kontinum sok ilyen felt\'etelt
biztos\'{\i}tani (majdnem) minden $\oo\in\Omega$ pontban.
Ez viszont sokkal er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'as mint az 1.) pontban
megfogalmazott tulajdons\'ag.
 
Egy v\'eletlen vektor f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
ki lehet sz\'amolni mint  ennek a f\"uggv\'enynek a v\'eletlen vektor
eloszl\'asa szerinti  integr\'alt. A regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o t\'etel az\'ert hasznos, mert lehet\H{o}v\'e
teszi ennek az eredm\'enynek a ter\-m\'e\-sze\-tes
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'ami\'{\i}t\'as\'ar\'ol. Ez a
tartalma a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} t\'etelnek, melyet itt nem
bizony\'{\i}tunk, b\'ar a bizony\'{\i}t\'as, amelyik standard m\'odon
el\-v\'e\-gez\-he\-t\H{o} nem t\'ul neh\'ez. Ebben az eredm\'enyben
nagyon fontos az, hogy a regul\'aris felt\'eteles eloszl\'as minden
$\oo\in\Omega$ pont eset\'en m\'ert\'ek, ez\'ert minden $\oo\in\Omega$
pontban defini\'alhatunk az $F(\cdot,\oo)$ regul\'aris eloszl\'as
szerinti Lebesgue integr\'alokat. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
$\sigma$-algebra, azon egy $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, egy
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os \'es
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $l$-dimenzi\'os v\'eletlen v\'eletlen
vektor. Legyen tov\'abb\'a az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor
$\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es jel\"olje $F(B,\oo)$, $B\subset R^k$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, $\oo\in\Omega$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az
$\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. Legyen $h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$
egy $k+l$ v\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, melyre
$E|h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|<\infty$.
Az $E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo)$
fel\-t\'e\-te\-les v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'am\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo) \\
&\qquad=\[\int h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l) F(dx_1,\dots,dx_k,\oo)\]
_{y_1=\eta_1(\oo),\dots,y_l=\eta_l(\oo)} .
\endalign
$$
}\medskip
 \centerline {$*$ $*$ $*$}
\medskip
A matematikai statisztik\'aban bizonyos vizsg\'alatokban sz\"uks\'eg
van felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sok\-kal val\'o sz\'amol\'asra. Az itt
felmer\"ul\H{o} k\'erd\'esek azonban egyszer\H{u}bbek. Olyan tipus\'u
k\'er\-d\'e\-sek mer\"ulnek fel, melyekben adott egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ v\'eletlen vektor,
melynek l\'etezik $f(x_1,\dots,x_{k+l})$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ki akarjuk sz\'am\'{\i}tani a
$$
(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})
$$
v\'eletlen vektor egy $h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$
f\"uggv\'eny\'enek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'etelek mellett. Ez
az\'ert egyszer\H{u}bb az el\H{o}z\H{o}leg vizsg\'alt
k\'erd\'esekn\'el, mert ebben az esetben a felmer\"ul\H{o} felt\'eteles
eloszl\'asokat explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}thatjuk. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy ebben az esetben a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye felt\'eve a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'eteleket
$$
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})=
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})},
$$
ahol
$$
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})=\int
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1,\dots\,dx_k,
$$
azaz a $(\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez azt jelenti, hogy tetsz\H{o}leges
Borel m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P&\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}|\xi_{k+1}(\oo)=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}(\oo)=x_{k+l}\)\\
&\qquad=\int_A f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
Illetve a $(*)$ formula alapj\'an azt kell ellen\H{o}rizni, hogy minden
$A\subset R^k$ \'es $B\in R^l$ Borel m\'erhet\H{o} halmazp\'arra
$$
\align
&P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\)\\
&\quad=\int\limits_B\[\int\limits_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots dx_{k+l}.
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag viszont \'erv\'enyes, mert
$$
\align
&\int_B\[\int_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad =\int_{A\times B}
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\,dx_1\dots\,dx_k\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad=P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\).
\endalign
$$
Be lehet l\'atni, hogy egy $h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})$
f\"uggv\'enyre
$$
\align
&h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})|\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,
\xi_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})}\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
 
Ennek a formul\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at, mely \'ugy
t\"ort\'enhet, hogy azt el\H{o}bb a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb alak\'u
$h$ f\"uggv\'enyekre majd alkalmas hat\'ar\'atmenettel \'altal\'anos
f\"uggv\'enyekre bizony\'{\i}tjuk, el\-hagy\-juk. A fent t\'argyalt
formul\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani n\'eh\'any
\'erdekes formul\'at a fel\-t\'e\-te\-les eloszl\'asokra, ezt azonban
id\H{o}hi\'any miatt nem tessz\"uk.
 
 \bye
