\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1.5pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 10-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
Ki tudjuk sz\'amolni tetsz\H{o}leges f\"uggetlen {\it eg\'esz
\'ert\'ek\H{u}}\/ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek az eloszl\'as\'at az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak a
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. E sz\'a\-mo\-l\'as
megfogalmaz\'as\'an\'anak \'erdek\'eben vezett\'ek be diszkr\'et
eloszl\'asok konvoluci\'oj\'anak a fogalm\'at. \medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'asok konvoluci\'oj\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen $\Cal P=p(k)$ \'es $\Cal Q=q(k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
k\'et eloszl\'as az eg\'esz sz\'amokon, azaz teljes\"uljenek a
$p(k)\ge0$, $q(k)\ge0$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p(k)=1$, $\summ_{k=-\infty}^\infty q(k)=1$
felt\'etelek. Ekkor e k\'et eloszl\'as konvoluci\'oja a
$$
\Cal P*\Cal Q(k)=\sum_{j=-\infty}^\infty p(j)q(k-j), \qquad
k=0,\pm1,\pm2,\dots
$$
eloszl\'as.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et diszkr\'et eg\'esz
\'ert\'ekeket felvev\H{o} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\Cal P$ \'es $\Cal Q$ eloszl\'assal akkor $\xi+\eta$
eloszl\'asa a $\Cal P*\Cal Q$ eloszl\'as.} \medskip
\item{1.} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\item{2.} Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.\medskip\noindent
{\bf Poisson mez\H{o} konstrukci\'oja.}
\medskip\noindent
{\bf Poisson mez\H{o} definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $(X,\Cal
A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er. Azt mondjuk, hogy az
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\cdot,$  kijel\"olt pontok rendszere Poisson
mez\H{o} az $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'eren $\mu$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel, ha v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek\H{u} $A$
halmazba egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges sok kijel\"olt pont
esik, \'es a pontok eloszl\'asa Poisson eloszl\'as\'u $\mu(A)$
param\'eterrel, tov\'abb\'a diszjunkt v\'eges m\'ert\'ek\H{u}
$A_1\in \Cal A$,\dots, $A_k\in \Cal A$ halmazokba es\H{o} pontok
sz\'ama f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/  Az is lehets\'eges, hogy a kijel\"olt pontok
sz\'ama v\'eges, \'es az is hogy v\'egtelen. Egy pontot t\"obbsz\"ur\"os  multiplicit\'assal
is ki lehet jel\"olni.
\medskip
\item{3.}  Mutassuk meg, a 2. feladat eredm\'eny\'enek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'er, $\mu$
v\'eges m\'ert\'ek a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, azaz
$\mu(X)<\infty$, akkor l\'etezik az $(X,\Cal A)$
t\'eren $\mu$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson mez\H{o}.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ V\'alasszunk ki v\'eletlen sz\'am\'u
pontot $\mu(X)$ param\'eter\H{u} Poisson el\-osz\-l\'as\-sal, ezeket
pedig dobjuk le az $(X,\Cal A)$ t\'erre egym\'ast\'ol \'es a pontok
sz\'am\'at\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy egy pont
$\dfrac{\mu(A)}{\mu(X)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel essen egy
$A\subset X$ m\'erhet\H{o} halmazba. Az el\H{o}z\H{o} feladat
eredm\'enye alapj\'an ez Poisson folyamat.
\item{4.}  Ha $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'er, $\mu$ rajta
$\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek, azaz l\'eteznek olyan (diszjunkt)
$B_1,B_2\dots$, m\'erhet\H{o} halmazok, melyekre $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n=X$, \'es $\mu(B_n)<\infty$, akkor l\'etezik az $(X,\Cal A)$ t\'eren
$\mu$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson mez\H{o}.
\item{} {\it Indokl\'as:}\/ Legyenek $B_1,B_2\dots$, diszjunkt,
m\'erhet\H{o} halmazok, melyekre $\bigcupp_{n=1}^\infty B_n=X$, \'es
$\mu(B_n)<\infty$, $n=1,2,\dots$. Konstru\'aljunk az $(X,\Cal A,\mu)$
t\'er megszor\'{\i}t\'asain minde mindegyik $B_n$ halmazra Poisson
mez\H{o}t $\mu$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel {\it egy\-m\'as\-t\'ol
f\"ug\-get\-le\-n\"ul}.\/ Ezek egyes\'{\i}t\'ese teljes\'{\i}ti a
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokat.
\item{5.)} Minden $x>0$-ra
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x),
$$
ahol $\Phi(x)$ \'es $\varphi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'as \'es
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
hogy
$$
\align
\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du&=\frac1x e^{-x^2/2}-
\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du\\
&=\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du.
\endalign
$$
Ezen k\'et azonoss\'ag alapj\'an
$\dsize \int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du<\frac1x e^{-x^2/2}$, \'es
$$
\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du>
\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2},
$$
ahonnan k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
 
\medskip\noindent
{\it  A sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kapcsolat.}
\bigskip
 
T\'argyaljuk a sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia
kapcsolat\'at. Egyszer\H{u} p\'elda mutatja, hogy lehets\'eges az,
hogy $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat eloszl\'asban konverg\'al, de
sztochasztikusan nem. Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, nem
elfajul\'o eloszl\'assal, akkor ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak, de sztochasztikusan nem.
Bel\'atjuk, hogy ha val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta sztochasztikusan konverg\'al, akkor eloszl\'asban is
konverg\'al.
 
Tegy\"uk fel, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata sztochasztikusan konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, \'es jel\"olje
$F(u)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at.
Legyen $x$ pont az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
Ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am, melyre
$F(x)-\frac\e2<F(x-\delta)\le F(x)\le F(x+\delta)<F(x)+\frac\e2$, \'es
$n_0=n_0(\e,\delta)$ k\"usz\"obindex, melyre
$P(|\xi_n-\xi|>\delta)<\frac\e2$, ha $n\ge n_0$. Ekkor $P(\xi_n<x)\le
P(\xi<x+\delta)+P(|\xi_n-\xi|>\delta)\le F(x+\delta)+\frac\e2\le
F(x)+\e$. Hasonl\'oan mutathat\'o meg, hogy $P(\xi_n>x)\le
P(\xi>x-\delta)+\frac\e2\le 1-F(x)-\e$, azaz $P(\xi_n<x)>F(x)-\e$.
Mivel ezek az \'all\'{\i}t\'asok minden $\e>0$ \'es $n\ge n_0$ sz\'amra
igazak valamilyen $n=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex-szel, innen k\"ovetkezik
az \'all\'{\i}t\'as.
 
B\'ar az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'ab\'ol nem k\"ovetkezik
a sztochasztikus konvergencia, igaz a k\"ovetkez\H{o} gyeng\'ebb
\'all\'{\i}t\'as: Ha a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $a$ pontba koncentr\'alt eloszl\'ashoz valamilyen $-\infty<a<\infty$
sz\'ammal, azaz konverg\'alnak ahhoz az $F(u)=F_a(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, melyre $F(u)=0$, ha $u\le a$, \'es $F(u)=1$,
ha $u>a$, akkor a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak a $\xi(\oo)\equiv a$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Val\'oban, ekkor
$P(|\xi_n-a|<\e)=F_n(a+\e)-F_n(a-\e+0)
=1+(F_n(a+\e)-F(a+\e))-(F_n(a-\e+0)-F(a-\e+0))$, ahol $F_n(u)$,
$n=1,2,\dots$, a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $G(u+0)=\limm_{\e\:\e>0,\e\to0}G(u+\e)$ egy
$G(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre, \'es $F(u)=F_a(u)$ az el\H{o}bb
defini\'alt eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ekkor $\limm_{n\to\infty}
(F_n(a+\e)-F(a+\e))=0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}(F_n(a-\e+0)-F(a-\e+0))=0$
az eloszl\'asban val\'o konvergencia miatt, ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-a|<\e)$, azaz teljes\"ul a sztochasztikus
konvergencia is.
\medskip\noindent
{\it Mi\'ert csak a hat\'areloszl\'as folytonoss\'agi pontjaiban
k\"ovetelt\"uk meg a konvergenci\'at az eloszl\'asban val\'o
konvergencia definici\'oj\'aban?} \medskip
Amikor eloszl\'asf\"uggv\'enyeket vizsg\'alunk, akkor sokszor
\'erdemes az eloszl\'asf\"uggv\'eny helyett az \'altaluk
meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
tekinteni. Azaz, adva va\-la\-mi\-lyen $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, defini\'aljuk azt a $\mu=\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
a sz\'am\-egye\-ne\-sen, melyre $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$. A
m\'ert\'ekelm\'elet eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
l\'etezik ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, \'es azt
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket szeml\'eletesen \'ugy
k\'epzelhetj\"uk el, mint egy t\"omegeloszl\'ast a sz\'amegyenesen,
melyre a teljes sz\'amegyenes t\"omege (s\'ulya) 1, \'es a
sz\'amegyenes egy r\'eszhalmaz\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
megegyezik a halmaz s\'uly\'aval. Az, hogy $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata konverg\'al valamely
$F$ eloszl\'ashoz val\'oj\'aban azt jelenti, hogy az \'altaluk
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok
konverg\'alnak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at: Legyen $a_n$
olyan monoton n\"oveked\H{o} sz\'am\-so\-ro\-zat, melyre
$\limm_{n\to\infty}a_n=a$ valamely $-\infty<a<\infty$ sz\'amra. Legyen
$\mu_n$ az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
mely az $a_n$ pontba van koncentr\'alva, $n=1,2,\dots$, azaz
$\mu_n(B)=1$, ha $a_n\in B$, \'es $\mu_n(B)=0$, ha $a_n\notin B$ a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara.
Hasonl\'oan, legyen $\mu$ az $a$ pontba koncentr\'alt m\'ert\'ek.
Term\'eszetes  azt v\'arni, hogy ha alkalmasan defini\'altuk az
eloszl\'asban val\'o konvergencia fogalm\'at, akkor
a $\mu_n$ eloszl\'asok konverg\'alnak a $\mu$ m\'ert\'ekhez. A $\mu_n$
m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny, azaz egy
olyan $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az
eloszl\'asf\"uggv\'enye, melyre $P(\xi_n=a_n)=1$, az az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, melyre $F_n(u)=0$, ha $u\le a_n$, \'es
$F_n(u)=1$, ha $u>a_n$. Hasonl\'oan, a $\mu$ m\'ert\'ek \'altal
meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny az az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
melyre $F(u)=0$, ha $u\le a$, \'es $F(u)=1$, ha $u>a$. K\"onny\H{u}
ellen\H{o}rizni, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ minden $u\neq a$
sz\'amra ebben a p\'eld\'aban, de ez a rel\'aci\'o az $u=a$ sz\'amra
nem teljes\"ul. Teh\'at a $\mu_n$ m\'ert\'ekek eloszl\'asban
konverg\'alnak ebben a p\'eld\'aban, de ehhez
sz\"uks\'eges volt az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban azt a megszor\'{\i}t\'ast tenni, hogy csak
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi
pontjaiban k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
 
A $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden pontban folytonos, ez\'ert
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'aban nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia csak
az eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjaiban
k\"o\-ve\-te\-l\"unk meg konvergenci\'at. Viszont olyan
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben, melyben a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-nak van szakad\'asi pontja (p\'eld\'aul a
Poisson eloszl\'as vagy b\'armely diszkr\'et eloszl\'as ilyen)
ez a megszor\'{\i}t\'as l\'enyeges. Kimondunk bizony\'{\i}t\'as
n\'elk\"ul egy eredm\'enyt, mely ekvivalens felt\'etelt ad arra, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata eloszl\'asban konverg\'aljon egy
hat\'areloszl\'ashoz. Ennek az eredm\'enynek fontos szerepe van a
karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer alkalmaz\'as\'aban is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u).
$$
}\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asban val\'o konvergencia \'es
hat\'areloszl\'ast\'etelek.} \medskip
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy  mivel az $ f_t(x)=e^{itx}$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyek folytonosak \'es korl\'atosak, ez\'ert az
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a fenti T\'etel-ben kimondott jellemz\'ese
alap\-j\'an eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$, minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
Felmer\"ul a k\'erd\'es: Igaz-e ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa is, azaz, ha tudjuk, hogy a $\varphi_n(t)=\e^{itx}
F_n(dx)\to\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$, ha $n\to\infty$ rel\'aci\'o
teljes\"ul egy $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatra valamint egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyre, akkor k\"ovetkezik-e ebb\H{o}l az, hogy az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez? Az el\H{o}z\H{o} formul\'aban
bevezetett $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ f\"uggv\'enyt nevezz\"uk
az $F$ eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
fontoss\'ag\'u eredm\'enye szerint a v\'alasz erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o}. Jegyezz\"uk meg, hogy ezen \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges egy olyan jelleg\H{u} eredm\'eny,
mely azt mondja ki, hogy az $e(t)=e^{itx}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyek
az \"osszes folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o
halmaznak el\'eg nagy r\'eszhalmaza. Ugyanis, ha
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\dsize \int \summ_{k=1}^p c_k e^{it_kx}F_n(\,dx)
=\int \summ_{k=1}^p c_ke^{t_kx}F(\,dx)$ rel\'aci\'o minden
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora is, s\H{o}t b\'{\i}zonyos
limeszel\'essel eljutunk tov\'abbi olyan $g(\cdot)$  f\"uggv\'enyekhez,
melyekre $\limm_{n\to\infty}\int g(x)F_n(\,dx)=\int g(x)F(\,dx)$. De
eljutunk-e \'{\i}gy minden folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyhez.
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik m\'ely eredm\'enye
szerint igen. (Egy lehets\'eges eredm\'eny, melyet felhaszn\'alhatunk a
bizony\'{\i}t\'asban Weierstrass m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os
t\'etele, mely szerint minden $2\pi$ szerint periodikus folytonos
f\"uggv\'eny tet\-sz\H{o}\-le\-ges pontoss\'aggal egyenletesen
k\"ozel\'{\i}thet\H{o} trigonometrikus po\-li\-no\-mok\-kal.)
Val\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}bb
jelzett klasszikus eredm\'enye egy m\'eg tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as.
Ugyanis a r\'eszletesebb vizsg\'alatokban gyakran tal\'alkozunk a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel: Tud\-juk, hogy a $\varphi_n(t)=\int
e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek konverg\'alnak
valamely $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez, de nem tudjuk ab ovo, hogy a
$\varphi(t)$ f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o-e, mint egy alkalmas
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye. Az al\'abb
megfogalmazott {\it fundament\'alis jelent\H{o}s\'eg\H{u}}\/ eredm\'eny
az ilyen esetek vizsg\'alat\'at is le\-he\-t\H{o}\-v\'e teszi.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, $F_n$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
$\varphi_n(t)=Ee^{it\xi_n}=\int e^{itx}F_n(dx)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'ennyel. Ha a $\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra konverg\'alnak egy $\varphi(t)$
f\"ugg\-v\'eny\-hez, mely az orig\'oban folytonos f\"uggv\'eny, akkor
ez a $\varphi(t)$ limeszf\"uggv\'eny is karakterisztikus f\"uggv\'eny,
azaz l\'etezik olyan (egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott) $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, melyre $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$.
Tov\'abb\'a, az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n$ eloszl\'asok, $n=1,2,\dots$,
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz, akkor
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra a $\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(dx)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi(t)=\int
e^{itx}F(dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyhez, ha $t\to\infty$.
Tov\'abb\'a ez a konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.} \medskip\noindent
Tal\'an \'erdemes lett volna ennek az eredm\'enynek a megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt kimondani a k\"ovetkez\H{o} t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz annak
$\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye.}
\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa h\'azi feladat.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{}  Egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(t)=\int
e^{itx}\,dF(x)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye, $-\infty<t<\infty$,
folytonos, s\H{o}t egyenletesen folytonos f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen. \medskip
 
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges az, hogy $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'anak a
karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy az orig\'oban nem folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak. Ebben az esetben az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban egy
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ez a p\'elda megmutatja, hogy a fent
kimondott t\'etelben az a megk\"ot\'es, hogy a $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek $\varphi(\cdot)$ hat\'arf\"uggv\'enye
az orig\'oban folytonos f\"uggv\'eny, nem elhagyhat\'o felt\'etel.
 
Legyen az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny a $[-n,n]$ intervallumben
egyenletes eloszl\'as, azaz legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_n(x)=\dfrac1{2n}$, \'es $f_n(x)=0$, ha $|x|>n$. Ekkor ezek az $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban nem
konverg\'alnak egy hat\'areloszl\'ashoz, mert az \'altaluk
meghat\'arozott t\"omegeloszl\'as ``kifolyik a v\'egtelenben." A
karakterisztikus f\"uggv\'enyek a $\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(dx)
=\dsize\int_{-n}^n\frac{e^{itx}}{2n}\,dx=\frac{e^{itn}-e^{-itn}}{2int}$
f\"uggv\'enyek, $t\neq0$, $\varphi_n(0)=1$, $n=1,2,\dots$. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$.
 
A karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'asik folytonos tulajdons\'aga, mely
hasznoss\'a teszi hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban az, hogy
f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a karakterisztikus f\"uggv\'enye megegyezik az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek szorzat\'aval. K\'epletben kifejezve: Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok. Ekkor
$$
Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}=E\(e^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots
e^{it\xi_n}\)=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}.
$$
Tov\'abb\'a, ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye a $\varphi(t)=Ee^{itX}$ f\"uggv\'eny,
akkor az $AX+B$ karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\psi(t)=Ee^{it(AX+B)}=e^{itB}Ee^{i(At)\xi}=e^{itB}\varphi(At).
$$
E k\'et k\'eplet felhaszn\'al\'as\'aval kifejezhetj\"uk f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et az
egyes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy ilyen formula valamint az Alapt\'etelnek
nevezett ered\-m\'eny lehet\H{o}v\'e teszi
azt, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire sz\'ol\'o
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-le\-ket bizony\'{\i}tsunk.
 
 
\bye
