 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf A november 7-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \medskip
 
\medskip\noindent
{\bf Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban, \'es
legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. \H{O}rizz\"uk meg csak a $\xi_1^*$,
\'es $\xi_n^*$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es ha
$\xi_1^*=x$, $\xi_n^*=y$ akkor k\'esz\'{\i}ts\"unk el egy az $[x,y]$
intervallumban $n-2$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal meghat\'arozott
$\eta_2^*\le\eta_3^*\le\cdots\le\eta_{n-1}$ rendezett mint\'at.
L\'assuk be az okt\'ober 31-i gyakorlat harmadik feladat\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $\xi^*_1\le \eta^*_2\le\cdots\le
\eta^*_{n-1}\le\xi^*_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szint\'en egy rendezett mint\'at alkotnak az $[a,b]$
intervallumban.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $\eta_j^*$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'ahoz nem volt sz\"uks\'eg\"unk az $[a,b]$
intervallum v\'egpontjainak az ismeret\'ere. A matematikai
statisztik\'aban ez a tulajdons\'ag valamint a feladat
\'all\'{\i}t\'asa felel meg annak a t\'enynek, hogy amennyiben az
$[a,b]$ intervallum v\'egpontjait akarjuk becs\"ulni az $\xi_1^*\le
\xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ rendezett minta seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
akkor a $\xi_1^*$ \'es $\xi_n^*$ ad meg minden \'ert\'ekes
inform\'aci\'ot, ezt fejezik ki \'ugy, hogy $\xi_1^*$ \'es $\xi_n^*$
el\'egs\'eges statisztik\'at ad.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg azt bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o}) $A\in R^2$ \'es $B\in R^{n-2}$ halmazra
$$
P\((\xi_1^*,\xi_2^*)\in A,\,(\xi_2^*,\dots,\xi_{n-1}^*)\in B\)=
P\((\xi_1^*,\xi_2^*)\in A,\,(\eta_2^*,\dots,\eta_{n-1}^*)\in B\)
$$
Viszont a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja alapj\'an
$$
\align
&P\((\xi_1^*,\xi_2^*)\in A,\,(\xi_2^*,\dots,\xi_{n-1}^*)\in B\) \\
&\qquad=\int P\((\xi_2^*,\dots,\xi_{n-1}^*)\in
B|\xi_1^*=x,\xi_n^*=y\)f(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
ahol $f(\cdot,\cdot)$ a $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. M\'asr\'eszt
$$
P\((\xi_1^*,\xi_2^*)\in A,\,(\eta_2^*,\dots,\eta_{n-1}^*)\in B\)=
\int P_{x,y}\(\eta_2^*,\dots,\eta_{n-1}^*)\in B\)f(x,y)\,dx\,dy,
$$
ahol $P_{x,y}\((\eta_2^*,\dots,\eta_{n-1}^*)\in B\)$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $n-2$ az $[x,y]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'altal
meghat\'arozott rendezett minta beleesik a $B$ halmazba. Viszont az
id\'ezett feladat eredm\'enye szerint
$$
P_{x,y}\((\eta_2^*,\dots,\eta_{n-1}^*)\in B\)
=P\((\xi_2^*,\dots,\xi_{n-1}^*)\in B|\xi_1^*=x,\xi_n^*=y\),
$$
\'es innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{2.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban, \'es
legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Mutassuk meg, hogy
$E\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\vartheta+\dfrac12$,
$\Var\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\dfrac1{2(n+1)(n+2)}$.
\item{} {\it Megold\'as:} A $\xi^*_1-\vartheta-\frac12$ \'es
$\vartheta+\frac12-\xi^*_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asa, ez\'ert v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik. Ez\'ert
$E\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\vartheta+\dfrac12$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'amol\'asakor feltehetj\"uk, hogy $\vartheta=-\frac12$. Ekkor a
$(\xi_1^*,\xi_n^*)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha $-\frac12\le x\le y\le\frac12$,
$f(x,y)=0$
egy\'ebk\'ent, \'es a $\Var\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\dsize\int
\(\dfrac{x+y}2\)^2f(x,y)\,dx\,dy$ integr\'alt kell kisz\'amolnunk.
\item{} Alkalmazzuk a $v=x+y$, $u=y-x$ (line\'aris transzform\'aci\'ot
ennek az integr\'alnak a kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al. A
transzform\'aci\'o Jacobianja 2, \'es az $(u,v)$ s\'{\i}kon a
k\"ovetkez\H{o} integr\'alt kell kisz\'am\'{\i}tani.
$$
\align
\Var\frac{\xi_1^*+\xi^*_n}2&=\int_B\dfrac{n(n+1)}8
v^2u^{n-2}\,du\,dv=\int_0^1\dfrac{n(n+1)}8u^{n-2}
\(\int_{u-1}^{1-u}v^2\,dv\)\,du\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\int_0^1u^{n-2}(1-u)^3\,du,
\endalign
$$
ahol  a $B$ halmaz az $(0,1)$, $(0,-1)$ \'es $(1,0)$ cs\'ucsok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og. Innen
$$
\align
\Var\frac{\xi_1^*+\xi^*_n}2
&=\frac{n(n-1)}{12}\[\frac1{n-1}
-\frac3n+\frac3{n+1}-\frac1{n+2}\]\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\(\frac3{(n-1)(n+2)}-\frac3{n(n+1)}\)\\
&=\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{4(n+1)(n+2)}=\frac1{2(n+1)(n+2)}.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban,
\'es legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_n^*$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
 
\medskip\noindent
{\it A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel t\'argyal\'asa.}\medskip
Meg lehet adnia az el\'egs\'eges s\H{o}t alkalmas megfogalmaz\'asban
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et annak, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ulj\"on. Ez a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny: \medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyen $\xi_k$,
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
sorozata, melyre $E\xi_k=0$, $\sigma_k^2=E\xi_k^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, \'es az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$,
sorozat teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ felt\'etelt.
Ha ezenk\'{\i}v\"ul a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat teljes\'{\i}ti
a k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett Lindeberg felt\'etelt, mely azt
k\"oveteli meg, hogy minden $\e>0$ sz\'amra teljes\"ulj\"on a
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})=0.
$$
rel\'aci\'o, akkor az $\dfrac{S_n}{s_n}$ sorozat, ahol
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ eloszl\'asban konverg\'al a standard
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en.}\medskip
\medskip
Igaz a fenti \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa is: Ha a fenti
jel\"ol\'eseket haszn\'alva a $\xi_k$, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozatra
$s_n^2\to\infty$, $\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\sigma_k^2}{s^2_n}\to0$,
ha $n\to\infty$, \'es az $\dfrac{S_n}{s_n}$ sorozat
eloszl\'asban konverg\'al a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en, akkor ez a
sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy ebben a megford\'{\i}t\'asban nem csak azt
k\"ovetelt\"uk meg, hogy a hat\'areloszl\'ast\'etel norm\'alis legyen,
hanem azt is, hogy a ``helyes sz\'or\'assal" rendelkezzen. A
$\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\sigma_k^2}{s^2_n}\to0$, ha $n\to\infty$,
felt\'etel megk\"ovetel\'ese term\'eszetes. Egyr\'eszt, ez azt
fejezi ki szeml\'eletesen, hogy az egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa
elhanyagolhat\'o, azaz a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sok kis
eredm\'eny \"osszhat\'asak\'ent \'all el\H{o}, m\'asr\'eszt e
felt\'etelnek teljes\"ulnie kell, mert k\"ovetkezm\'enye a Lindeberg
felt\'etelnek. Val\'oban, tetsz\H{o}leges $\e>0$ \'es
$1\le k\le n$ sz\'amokra
$$
\align
\frac{\sigma_k^2}{s_n^2}&=\frac{E\xi_k^2}{s_n^2}=
\frac{E(\xi_k^2I(|\xi_k|\le\e s_n)}{s_n^2}+
\frac{E(\xi_k^2I(|\xi_k>\e s_n)}{s_n^2}\\
&\le \e^2+\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})\le 2\e^2,
\endalign
$$
ha $n\ge n_0(\e)$.
 
K\'et term\'eszetes k\'erd\'es:
\item{a.)} Tudunk-e p\'eld\'at adni arra, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel nem teljes\"ul, \'es mi van az ilyen
p\'eld\'ak h\'atter\'eben?
\item{b.)} Milyen egyszer\H{u}en ellen\H{o}rizhet\H{o}, hasznos
felt\'eteleket tudunk adni arra, hogy a Lindeberg felt\'etel, ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ulj\"on?
\medskip
\item{a.)} Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_k=k)=P(\xi_k=-k)=\dfrac1{2k^2}$, $P(\xi_k=0)=1-\dfrac1{k^2}$.
Ekkor $E\xi_k=0$, $E\xi_k^2=1$, $s_n^2=n$. Viszont a Borel--Cantelli
lemma alapj\'an,  mivel $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq0)<\infty$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok  $k$ indexre teljes\"ul
az, hogy $\xi_k(\oo)\neq0$, ez\'ert $\supp_{1\le n<\infty}
|S_n(\oo)|<\infty$, \'es $\dfrac{S_n(\oo)}{s_n}\to0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Lehet rafin\'altabb p\'eld\'akat is
konstru\'alni. (P\'eld\'aul tekinthetj\"uk f\"uggetlen $\eta_k$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'at,
melyekre $\eta_{2k}=\xi_k$, \'es az $\eta_{2k-1}$, $k=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden egy\'eb
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok.
Ekkor a $\dfrac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^n\xi_k$ v\'eletlen \"osszegek
eloszl\'asban tartanak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u, \'es
$\frac12$, azaz a v\'artn\'al kisebb sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-hoz.) De
minden ellenp\'elda h\'atter\'eben az van, hogy bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel rendk\'{\i}v\"ul nagy \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ezek a rendk\'{\i}v\"uli \'ert\'ekek csak nagyon kis
m\'ert\'ekben befoly\'asolj\'ak a normaliz\'alt \"osszeg
eloszl\'as\'at, de nagyon befoly\'asolj\'ak az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
\item{b.)} A k\"ovetkez\H{o} c\'elunk az, hogy a Lindeberg
felt\'etelre, teh\'at a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-re j\'ol ellen\H{o}r\'{\i}zhet\H{o}
\'es el\'eg \'altal\'anos felt\'etelt adjunk. Ennek \'erdek\'eban a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast
fogjuk felid\'ezni.
\medskip\noindent
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol $s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$.
Ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, ha a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agok egyike teljes\"ul.
\item{a.)} $E|\xi_k|^{2+\alpha}<\infty$, minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra
valamilyen $\alpha>0$ konstanssal, \'es $\limm_{n\to\infty}\dfrac
{\(\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{2+\alpha}\)^{2/(2+\alpha)}}{s_n^2}=0$.
Speci\'alisan, ez a felt\'etel teljes\"ul akkor, ha $E\xi_k^2\ge K$
valamilyen $K>0$ sz\'ammal minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes az $E\limm_{k\to\infty}k^{-\alpha/2}
E|\xi_k|^{2+\alpha}=0$ rel\'aci\'o.
\item{b.)} A f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak.
(Teh\'at f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata is teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt,
ez\'ert a r\'ajuk vonatkoz\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
speci\'alis esete a cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel Lindeberg
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkez\H{o} alakj\'anak.)
\medskip\noindent
 
\medskip\noindent
\item{3.} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000 egym\'as
ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $\le
j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le 10~000$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o}k,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kell becsl\'et adnunk. A Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{100^2}=\dfrac14$, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{200^2}=\dfrac1{16}$ fels\H{o} becsl\'est adja.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
 
\medskip
\item{4.} Sz\'amoljuk ki egy $(1,p)$ param\'eter\H{u} $\xi$
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
(Azaz $P(\xi=k)=(1-p) p^{k-1}$, $k=1,2,\dots$).
\medskip \item{} Ha $\xi$ $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k(1-p) p^{k-1} \qquad
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2(1-p) p^{k-1}
$$
Ezen \"osszegek egyik lehets\'eges kisz\'amol\'asa:
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\dfrac 1{1-x}$, ha $|x|<1$. K\'et egym\'as
ut\'ani deriv\'al\'assal kapjuk, hogy $\summ_{k=1}^\infty
kx^{k-1}=\dfrac 1{(1-x)^2}$ \'es $\summ_{k=2}^\infty
k(k-1)x^{k-2}=\dfrac 2{(1-x)^3}$. Innen $\summ_{k=1}^\infty
kp^{k-1}=\dfrac 1{(1-p)^2}$, $\summ_{k=1}^\infty k^2 p^{k-1}=
\summ_{k=1}^\infty k p^{k-1}+p\summ_{k=2}^\infty k(k-1) p^{k-2}=
\dfrac 1{(1-p)^2}+\dfrac {2p}{(1-p)^3}$, \'es $E\xi=\dfrac 1{1-p}$,
$E\xi^2=\dfrac 1{1-p}+\dfrac {2p}{(1-p)^2}$. Ez\'ert
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac p{(1-p)^2}$.
\item{5.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\frac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\medskip
 
\item{} Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1200$
$p=\frac13$ param\'eterekkel, \'es egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz azt,
hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel.
Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara egy bonyolult
\"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'enak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el
hasznosabb becsl\'est tudunk kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'o pontoss\'aggal kisz\'am\'{\i}tja a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
 
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$  a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac13$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 4. feladatban),
hogy $E\xi_j=\dfrac1{1-p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
p{(1-p)^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
 
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=2$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 2 $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5, $1\le j\le 2700$. Ekkor minket a
$P\(420<\summ_{j=1}^{2700}\xi_j<720\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'erdekel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
\'es alkalmazzuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
 
 
\item{6.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\medskip
\item{} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa \'el\'ettartam\'at, $1\le
j\le100$. Ekkor a $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adnunk, ahol az
\"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
 
 
 
 \bye
 
 
 
