A november 7-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Feladatok:

1. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a belőlük készített rendezett minta. Őrizzük meg csak a ξ_{1}^{∗}, és ξ_{n}^{∗} valószínűségi változókat, és ha ξ_{1}^{∗} = x, ξ_{n}^{∗} = y akkor készítsünk el egy az [x, y] intervallumban n−2 független, egyforma eloszlású valószínűségi változók által meghatározott η_{2}^{∗} ≤ η_{3}^{∗} ≤ ⋯ ≤ η_{n−1} rendezett mintát. Lássuk be az október 31-i gyakorlat harmadik feladatának segítségével, hogy a ξ_{1}^{∗} ≤ η_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ η_{n−1}^{∗} ≤ ξ_{n}^{∗} valószínűségi változók szintén egy rendezett mintát alkotnak az [a, b] intervallumban. Megjegyzés: Az η_{j}^{∗} valószínűségi változók konstrukciójához nem volt szükségünk az [a, b] intervallum végpontjainak az ismeretére. A matematikai statisztikában ez a tulajdonság valamint a feladat állítása felel meg annak a ténynek, hogy amennyiben az [a, b] intervallum végpontjait akarjuk becsülni az ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} rendezett minta segítségével, akkor a ξ_{1}^{∗} és ξ_{n}^{∗} ad meg minden értékes információt, ezt fejezik ki úgy, hogy ξ_{1}^{∗} és ξ_{n}^{∗} elégséges statisztikát ad. Megoldás: Elég azt belátni, hogy tetszőleges (mérhető) A ∈ R^{2} és B ∈ R^{n−2} halmazra

P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}) ∈ A, (ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n−1}^{∗}) ∈ B) = P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}) ∈ A, (η_{2}^{∗}, …, η_{n−1}^{∗}) ∈ B)

Viszont a feltételes valószínűség definiciója alapján

P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}) ∈ A, (ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n−1}^{∗}) ∈ B)
= ∫ P ((ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n−1}^{∗}) ∈ B|ξ_{1}^{∗} = x, ξ_{n}^{∗} = y) f(x, y) dx dy,

ahol f(·, ·) a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) vektor sűrűségfüggvénye. Másrészt

P ((ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}) ∈ A, (η_{2}^{∗}, …, η_{n−1}^{∗}) ∈ B) = ∫ P_{x,y} (η_{2}^{∗}, …, η_{n−1}^{∗}) ∈ B) f(x, y) dx dy,

ahol P_{x,y} ((η_{2}^{∗}, …, η_{n−1}^{∗}) ∈ B) annak a valószínűsége, hogy n − 2 az [x, y] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó által meghatározott rendezett minta beleesik a B halmazba. Viszont az idézett feladat eredménye szerint

P_{x,y} ((η_{2}^{∗}, …, η_{n−1}^{∗}) ∈ B) = P ((ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n−1}^{∗}) ∈ B|ξ_{1}^{∗} = x, ξ_{n}^{∗} = y) ,

és innen következik a feladat állítása.

2. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a belőlük készített rendezett minta. Mutassuk meg, hogy E \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = ϑ + \frac{1}{2},

Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = \frac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.

Megoldás: A ξ_{1}^{∗} − ϑ − \frac{1}{2} és ϑ + \frac{1}{2} − ξ_{n}^{∗} valószínűségi változók eloszlása, ezért várható

értéke megegyezik. Ezért E \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = ϑ + \frac{1}{2}. A szórásnégyzet kiszámolásakor

feltehetjük, hogy ϑ = −\frac{1}{2}. Ekkor a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) vektor sűrűségfüggvénye, f(x, y) =

n(n − 1)(y − x)^{n−2}, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ y ≤ \frac{1}{2}, f(x, y) = 0 egyébként, és a Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} =

∫ (\frac{x + y}{2} )^{2} f(x, y) dx dy integrált kell kiszámolnunk.

Alkalmazzuk a v = x + y, u = y − x (lineáris transzformációt ennek az integrálnak a kiszámításánál. A transzformáció Jacobianja 2, és az (u, v) síkon a következő integrált kell kiszámítani.

Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = ∫_{B} \frac{n(n + 1)}{8}v^{2}u^{n−2} du dv = ∫_{0}^{1} \frac{n(n + 1)}{8}u^{n−2} (∫_{u−1}^{1−u} v^{2} dv) du

= \frac{n(n − 1)}{12} ∫_{0}^{1} u^{n−2}(1 − u)^{3} du,

ahol a B halmaz az (0, 1), (0, −1) és (1, 0) csúcsok által meghatározott háromszög. Innen

Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = \frac{n(n − 1)}{12} [\frac{1}{n − 1} − \frac{3}{n} + \frac{3}{n + 1} − \frac{1}{n + 2}]

= \frac{n(n − 1)}{12} (\frac{3}{(n − 1)(n + 2)} − \frac{3}{n(n + 1)})

= \frac{n(n + 1) − (n − 1)(n + 2)}{4(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.

Házi feladat Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a belőlük készített rendezett minta. Számítsuk ki ξ_{n}^{∗} várható értékét és szórásnégyzetét.

A centrális határeloszlástétel tárgyalása.

Meg lehet adnia az elégséges sőt alkalmas megfogalmazásban szükséges és elégséges feltételét annak, hogy a centrális határeloszlástétel teljesüljön. Ez a következő eredmény:

Centrális határeloszlástétel. Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független valószínűségi vál-

tozók sorozata, melyre Eξ_{k} = 0, σ_{k}^{2} = Eξ_{k}^{2} < ∞, k = 1, 2, …, és az s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}, n = 1, 2, …, sorozat teljesíti a lim_{n→∞} s_{n}^{2} = ∞ feltételt. Ha ezenkívül a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat teljesíti a következő úgynevezett Lindeberg feltételt, mely azt követeli meg, hogy minden ε > 0 számra teljesüljön a

lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(\{|ξ_{k}| > εs_{n}\}) = 0.

reláció, akkor az \frac{S_{n}}{s_{n}} sorozat, ahol S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} eloszlásban konvergál a standard normális

eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén.

Igaz a fenti állítás megfordítása is: Ha a fenti jelöléseket használva a ξ_{k}, Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = σ_{k}^{2}, k = 1, 2, …, független valószínűségi változókból álló sorozatra s_{n}^{2} → ∞,

sup_{1≤k≤n} \frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} → 0, ha n → ∞, és az \frac{S_{n}}{s_{n}} sorozat eloszlásban konvergál a standard normális

eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén, akkor ez a sorozat teljesíti a Lindeberg feltételt.

Jegyezzük meg, hogy ebben a megfordításban nem csak azt követeltük meg, hogy a határeloszlástétel normális legyen, hanem azt is, hogy a “helyes szórással” rendelkezzen.

A sup_{1≤k≤n} \frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} → 0, ha n → ∞, feltétel megkövetelése természetes. Egyrészt, ez azt fejezi

ki szemléletesen, hogy az egyes összeadandók hatása elhanyagolható, azaz a centrális határeloszlástétel sok kis eredmény összhatásaként áll elő, másrészt e feltételnek teljesülnie kell, mert következménye a Lindeberg feltételnek. Valóban, tetszőleges ε > 0 és 1 ≤ k ≤ n számokra

\frac{σ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} = \frac{Eξ_{k}^{2}}{s_{n}^{2}} = \frac{E(ξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| ≤ εs_{n})}{s_{n}^{2}} + \frac{E(ξ_{k}^{2}I(|ξ_{k} > εs_{n})}{s_{n}^{2}}

≤ ε^{2} + \frac{1}{s_{n}^{2}} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2}I(\{|ξ_{k}| > εs_{n}\}) ≤ 2ε^{2},

ha n ≥ n_{0}(ε).

Két természetes kérdés: a.) Tudunk-e példát adni arra, hogy a centrális határeloszlástétel nem teljesül, és mi

van az ilyen példák hátterében? b.) Milyen egyszerűen ellenőrizhető, hasznos feltételeket tudunk adni arra, hogy a Lin-

deberg feltétel, ezért a centrális határeloszlástétel teljesüljön?

a.) Legyenek ξ_{k}, k = 1, 2, …, független valószínűségi változók, P (ξ_{k} = k) = P (ξ_{k} =

−k) = \frac{1}{2k^{2}} , P (ξ_{k} = 0) = 1 − \frac{1}{k^{2}} . Ekkor Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = 1, s_{n}^{2} = n. Viszont

a Borel–Cantelli lemma alapján, mivel ∑_{k=1}^{∞} P (ξ_{k} ≠ 0) < ∞ egy valószínűséggel

csak véges sok k indexre teljesül az, hogy ξ_{k}(ω) ≠ 0, ezért sup_{1≤n<∞} |S_{n}(ω)| < ∞, és \frac{S_{n}(ω)}{s_{n}} → 0 egy valószínűséggel. Lehet rafináltabb példákat is konstruálni.

(Például tekinthetjük független η_{k}, k = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozatát, melyekre η_{2k} = ξ_{k}, és az η_{2k−1}, k = 1, 2, … valószínűségi változók minden egyéb valószínűségi változótól független standard normális eloszlású valószínűségi válto-

zók. Ekkor a \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} véletlen összegek eloszlásban tartanak egy nulla várható

értékú, és \frac{1}{2}, azaz a vártnál kisebb szórásnégyzetű normális valószínűségi változóhoz.) De minden ellenpélda hátterében az van, hogy bizonyos valószínűségi változók kis valószínűséggel rendkívül nagy értékeket vesznek fel. Ezek a rendkívüli értékek csak nagyon kis mértékben befolyásolják a normalizált összeg eloszlását, de nagyon befolyásolják az összeg szórásnégyzetét.

b.) A következő célunk az, hogy a Lindeberg feltételre, tehát a centrális határeloszlástételre jól ellenőrízhető és elég általános feltételt adjunk. Ennek érdekéban a következő állítást fogjuk felidézni.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószínűségi változók sorozata, melyre Eξ_{n} = 0,

σ_{n}^{2} = Eξ_{n}^{2} < ∞, n = 1, 2, …, lim_{n→∞} s_{n}^{2} = ∞, ahol s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}. Ez a sorozat teljesíti a

Lindeberg feltételt, ha a következő tulajdonságok egyike teljesül.

a.) E|ξ_{k}|^{2+α} < ∞, minden k = 1, 2, … számra valamilyen α > 0 konstanssal, és

lim_{n→∞} \frac{( ∑_{k=1}^{n} E|ξ_{k}|^{2+α})^{2/(2+α)}}{s_{n}^{2}} = 0. Speciálisan, ez a feltétel teljesül akkor, ha Eξ_{k}^{2} ≥

K valamilyen K > 0 számmal minden k = 1, 2, … indexre, és ezenkívül érvényes

az E lim_{k→∞} k^{−α/2}E|ξ_{k}|^{2+α} = 0 reláció.

b.) A független ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók egyforma eloszlásúak. (Tehát független egyforma eloszlású valószűségi változók sorozata is teljesíti a Lindeberg feltételt, ezért a rájuk vonatkozó centrális határeloszlástétel speciális esete a centrális határeloszlástétel Lindeberg feltételből következő alakjának.)

3. Tekintsünk egy szabályos pénzdarab 10 000 egymás utáni (független) feldobásából származó fej-írás sorozatot. Adjunk becslést a Chebishev egyenlőtlenség segítségével annak valószínűségére, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000 számtól legalább 100-zal, illetve legalább 200-zal eltér! Milyen becslést ad ezekre a valószínűségekre a centrális határeloszlástétel?

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, ≤ j ≤ 10 000 valószínűségi változókat, melyekre ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10 000 független valószínűségi változők, Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4},

és a P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 100) és P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 200) valószínűségekre kell

becslét adnunk. A Chebishev egyenlőtlenség az első valószínűségre a \frac{10000 · \frac{1}{4}}{100^{2}} = \frac{1}{4}, a

második valószínűségre pedig a \frac{10000 · \frac{1}{4}}{200^{2}} = \frac{1}{16} felső becslést adja.

A centrális határeloszlástétel szerint P (\frac{∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})}{\sqrt{10000 · \frac{1}{4}}} > u) ∼ 1 − Φ(u). Innen

kapjuk, hogy az első valószínűség kiszámításához az u = ± \frac{100}{\frac{1}{2} ·100} = ±2 értékeket kell tekinteni, és a vizsgált valószínűség közelítőleg (1 − Φ(2)) + Φ(−2) = 2(1 − Φ(2)) ∼ 2(1 − 0.97720) = 0.0456. A második valószínűség hasonlóan körülbelül 2(1 − Φ(4)) ∼ 0, (az első 4 tizedesjegy 0).

4. Számoljuk ki egy (1, p) paraméterű ξ negativ binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét. (Azaz P (ξ = k) = (1 − p)p^{k−1}, k = 1, 2, …).

Ha ξ (1, p) paraméterű negativ binomiális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} k(1 − p)p^{k−1} Eξ^{2} = ∑_{k=1}^{∞} k^{2}(1 − p)p^{k−1}

Ezen összegek egyik lehetséges kiszámolása: ∑_{k=0}^{∞} x^{k} = \frac{1}{1 − x}, ha |x| < 1. Két

egymás utáni deriválással kapjuk, hogy ∑_{k=1}^{∞} kx^{k−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}} és ∑_{k=2}^{∞} k(k−1)x^{k−2} =

\frac{2}{(1 − x)^{3}} . Innen ∑_{k=1}^{∞} kp^{k−1} = \frac{1}{(1 − p)^{2}} , ∑_{k=1}^{∞} k^{2}p^{k−1} = ∑_{k=1}^{∞} kp^{k−1} + p ∑_{k=2}^{∞} k(k −

1)p^{k−2} = \frac{1}{(1 − p)^{2}} + \frac{2p}{(1 − p)^{3}} , és Eξ = \frac{1}{1 − p}, Eξ^{2} = \frac{1}{1 − p} + \frac{2p}{(1 − p)^{2}} . Ezért

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{p}{(1 − p)^{2}} .

5. Vegyünk egy olyan pénzdarabot, mely \frac{2}{3} valószínűséggel esik a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalra. Ezt a pénzdarabot annyiszor dobjuk fel, ameddig megjelenik 1200 fej dobás. Mi annak a valószínűsége, hogy az elvégzett dobások száma 1680 1830 küzé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést.

Az elvégzett dobások száma negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó n = 1200 p = \frac{1}{3} paraméterekkel, és egy ilyen valószínűségi változónak ki lehet számolni a pontos eloszlását, azaz azt, hogy milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel. Elvileg, ez lehetőséget ad a kívánt valószínűség kiszámítására egy bonyolult összeg kiszámításénak a segítségével. Ennél hasznosabb becslést tudunk kapni a következő érvelés segítségével, mely a kívánt valószínűséget jó pontossággal kiszámítja a centrális határeloszlástétel segítségével.

Jelölje ξ_{j}, 2 ≤ j ≤ 1200 a j − 1-ik és j-ik fejdobás közötti dobások számát (a j-ik fejdobást beleszámítjuk a j − 1-iket viszont nem számítjuk bele e dobások közé), és legyen ξ_{1} az első fejdobásig (ezt is beleszámítva) elvégzett dobások száma. Ekkor a

ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, negatív binomiális eloszlásúak n = 1, p = \frac{1}{3} paraméterekkel, és minket a P (1680 < ξ_{1} +⋯+ξ_{1200} < 1830) valószínűség érdekel.

Megmutattuk a 4. feladatban), hogy Eξ_{j} = \frac{1}{1 − p} = \frac{3}{2}, Var ξ_{j} = \frac{p}{(1 − p)^{2}} = \frac{3}{4}.

Ezért a centrális határeloszlástétel alapján η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} jelöléssel minket

a P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) valószínűség érdekel. A centrális határeloszlástétel

alapján P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) ∼ Φ (1) + Φ(4) − 1 ∼ Φ(1).

Házi feladat. Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik. Segítség: Vezessük be a ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2 ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás

eredménye 1, 3 vagy 5, 1 ≤ j ≤ 2700. Ekkor minket a P (420 < ∑_{j=1}^{2700} ξ_{j} < 720)

valószínűség érdekel. Számítsuk ki a ξ_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét, és alkalmazzuk a centrális határeloszlástételt.

6. Legyen birtokunkban 100 lámpa, melyek mindegyike egymástól független időtar-

tamig működik, élettartamuk pedig exponenciális eloszlású λ = \frac{1}{10} paraméterrel. (A lámpák élettartamának exponenciális eloszlása természetes feltételezés.) Egy termet bevilágítunk ezen lámpák valamelyikével, majd amikor az kiégett új lámpát használunk fel. Adjunk jó becslést arra, hogy a lámpák összélettartama legalább 1150 óra.

Jelölje ξ_{j} a j-ik lámpa éléttartamát, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a P (ξ_{1} +⋯+ξ_{100} > 1150) valószínűségre kell jó becslést adnunk, ahol az összegben független exponenciális eloszlású valószínűségi változók szerepelnek λ = \frac{1}{10} paraméterrel. Vezessük be az η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} jelölést.

Kiszámoltuk, hogy jelen esetben Eη = mEξ_{1} = \frac{m}{λ} = 1000, Var η = \frac{m}{λ^{2}} =

10000 (m = 100 és λ = \frac{1}{10} választással). Ezért a centrális határeloszlástétel sze-

rint \frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} = \frac{η − 1000}{100} jó közelítéssel standard normális eloszlású valószínűségi

változó, és P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > 1150) = P (\frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} > 1.5) ∼ 1 − Φ(1.5).