\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A november 21-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\item{1.} Egy \'allamban, (nevezz\"uk az egyszer\H{u}s\'eg
kedv\'e\'ert Florid\'anak,) 5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt k\'et
p\'art (h\'{\i}vjuk ezeket mondjuk republik\'anus \'es demokrata
p\'artnak) jel\"oltje k\"oz\"ott. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-laszt\-j\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et jel\"olt \'altal
\"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a
h\'aromsz\'azat.
\item{} Az egyik jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u
$\frac12\cdot5~000~000$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\frac14\cdot
5~000~000$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a k\'et jel\"oltre adott szavazatok  k\"ul\"onbs\'ege kisebb mint
300 megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az egyik
jel\"oltre adott szavazatok sz\'ama a szavazatok v\'ar\-ha\-t\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l kevesebb mint 150-nel t\'er el, ez pedig
k\"or\"ulbel\"ul, $\Phi\(\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)
=2\Phi\(\dfrac{6\sqrt5}{100}\)-1\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megjegyezni, hogy igaz a
centr\'alis hat\'areloszl\'as t\'etel k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} lok\'alis
v\'altozata is a binomi\'alis eloszl\'asra. Ha $\xi$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es
$p$ param\'eterekkel, akkor $\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eke $mn=np$,
sz\'or\'asn\'egyzete $n\sigma^2=np(1-p)$, \'es
$P(\xi=k)=P\(\dfrac{\xi-nm}{\sqrt n\sigma}=\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)\sim \dfrac1{\sqrt n\sigma} \varphi\(\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)=\dfrac1{\sqrt{2\pi
n}\sigma}\exp\(\dfrac{(k-nm)^2}{2n\sigma^2}\)$, ahol
 $\varphi(x)=\dfrac1{2\pi}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Az el\H{o}bb tekintett
esetben $n=5~000~000$, $p=\frac12$, $-150\le k\le 150$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket kell kisz\'am\'{\i}tani, \'es
$k$-ra \"osszegezni. Ebben az esetben a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt a nulla k\"ozel\'eben kell venn\"unk,
\'es a k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}\'esegre j\'o becs\'es
$\dfrac1{\frac12\sqrt {2\pi \cdot5000000}}\cdot300
\sim\dfrac6{10\sqrt{10\pi}}\sim\dfrac1{10}$. \medskip\noindent
\item{}{\it 2. Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban az els\H{o} feladatban
t\'argyalt modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban vannak
csoportok, melyeknek azonos a v\'elem\'eny\"uk. Tegy\"uk fel, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
f\"uggetlen, de az egyes csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
megegyezik. K\'erd\'es: Hogyan befoly\'asolja ez a t\'eny annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy rendk\'{\i}v\"ul szoros
v\'alaszt\'asi eredm\'eny sz\"ulessen? Be fogjuk l\'atni, hogy
e t\'eny figyelembev\'etele cs\"okkenti a szoros v\'alaszt\'asi eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
\item{} A fenti k\'erd\'es azzal f\"ugg \"ossze, hogy ha
k\"ul\"onb\"oz\H{o} embereknek azonos a v\'e\-le\-m\'e\-ny\"uk, akkor
az egyik jel\"oltre leadott (v\'eletlen, k\"ozel norm\'alis
eloszl\'as\'u) sz\'am\'anak a sz\'or\'asa n\H{o} vagy cs\"okken. A
feladatot \'ugy is reprezent\'alhatjuk, hogy egyes csoportokb\'ol
kijel\"ol\"unk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a
csoport tagjainak a sz\'ama, a t\"obbi ember nem szavaz. Az, hogy
ebben az esetben nem v\'altozik az egyik jel\"oltre leadott szavazatok
v\'arhat\'o \'ert\'eke, de n\"ovekszik annak sz\'or\'asa,
k\"ovetkezik az al\'abbi feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l.
\item{2.} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
melyeknek nem ismerj\"uk a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. L\'assuk be,
hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok tetsz\H{o}leges
s\'ulyozott \'atlaga, azaz a $T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}$, $\summ_{k=1}^n
a_k\neq0$ a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek torz\'{\i}tatlan becsl\'ese, melynek
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te akkor a legkisebb, ha
$a_1=a_2=\cdots=a_n$.
\item{} {\it Megold\'as:} $E\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}=\dfrac{\summ_{k=1}^n a_kE\xi_1}
{\summ_{k=1}^n a_k}=E\xi_1$, \'es ez jelenti azt, hogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ek torz\'{\i}tatlan becsl\'es\'et \'{\i}rtuk fel. M\'asr\'eszt
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2E\xi_1}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)^2}
\Var\xi_1.
$$
Ez\'ert, ha $a_1=a_2=\cdots=a_n$, akkor
$\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}
=\dfrac{\Var\xi_1}n$. M\'asr\'eszt,  az \'ugynevezett
Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n a_k^2\le\dfrac1n
\(\summ_{k=1}^n a_k\)^2$, ahonnan
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}\le\dfrac{\Var\xi_1}n
$$
az \'altal\'anos esetben.
\item{3.} L\'attuk kor\'abban, hogy ha egy a
$[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
akarjuk becs\"ulni \'ugy, hogy a legnagyobb \'es legkisebb megfigyelt
mintaelem \'atlag\'at vessz\"uk, akkor kisebb sz\'or\'as\'u
torz\'{\i}tatlan becsl\'est kapunk a v\'arhat\'o \'ert\'ekre mint az
\"osszes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'atlaga. Mi\'ert nem
mond ellent ez az eredm\'eny a el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek.
\item{4.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk fel el\H{o}sz\"or \'altal\'anosan
$\xi-\eta$ $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ha $\xi$ $f(x)$
\'es $\eta$ $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkezik. Ekkor
$\xi-\eta=\xi+(-\eta)$, $-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g^-(x)=g(-x)$, ez\'ert $\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
h(x)=\int f(y)g^-(x-y)\,dy=\int f(y)g(y-x)\,dy.
$$
Eset\"unkben $f(x)=g(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f(x)=g(x)=0$, ha $x\le 0$. Ez\'ert
$$
f(y)g(y-x)=\left\{
\aligned
&\lambda^2 e^{-\lambda(2y-x)}\quad \text{ ha } y\ge0,\text{ \'es }
y\ge x\\
&0\quad \text{ ha } y<0,\text{ vagy } y<x
\endaligned. \right.
$$
Innen $x\ge0$ eset\'eben $h(x)=\dsize\int_x^\infty \lambda^2
e^{-\lambda(2y-x)}\,dy=\frac\lambda2e^{-x}$, $x<0$ eset\'eben
$h(x)=\dsize\int_0^\infty \lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}\,dy
=\frac\lambda2e^{x}$. E k\'et eredm\'enyt \'ugyis \"osszefoglalhatjuk,
hogy $\xi-\eta$ $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\dfrac
\lambda2 e^{-\lambda|x|}$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
 
 
 
 
 
 \bye
