A november 21-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

1. Egy államban, (nevezzük az egyszerűség kedvéért Floridának,) 5 000 000 választó választ két párt (hívjuk ezeket mondjuk republikánus és demokrata pártnak) jelöltje között. Tegyük fel, hogy a választók egymástól függetlenül \frac{1}{2} valószínűséggel választják valamelyik párt jelöltjét. Mi annak a valószínűsége, hogy a két jelölt által összegyüjtött szavazatok különbsége nem haladja meg a háromszázat. Az egyik jelöltre leadott szavazatok száma közelítőleg normális eloszlású \frac{1}{2} ·5 000 000 várható értékkel és \frac{1}{4} · 5 000 000 szórásnégyzettel. Annak a valószínűsége, hogy a két jelöltre adott szavazatok különbsége kisebb mint 300 megegyezik annak a valószínűségével, hogy az egyik jelöltre adott szavazatok száma a szavazatok várha-

tó értékétől kevesebb mint 150-nel tér el, ez pedig körülbelül, Φ (\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}})−

Φ (−\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}}) = 2Φ (\frac{6\sqrt{5}}{100}) − 1 ∼ 2Φ(0.124) − 1 ∼ 0.1.

Megjegyzés: Érdemes megjegyezni, hogy igaz a centrális határeloszlás tétel következő lokális változata is a binomiális eloszlásra. Ha ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel, akkor ξ várható értéke mn = np,

szórásnégyzete nσ^{2} = np(1 − p), és P (ξ = k) = P (\frac{ξ − nm}{\sqrt{n}σ} = \frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) ∼

\frac{1}{\sqrt{n}σ} φ (\frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) = \frac{1}{\sqrt{2πn}σ} exp (\frac{(k − nm)^{2}}{2nσ^{2}} ), ahol φ(x) = \frac{1}{2π} e^{−x^{2}/2}, a stan-

dard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Az előbb tekintett esetben n = 5 000 000, p = \frac{1}{2}, −150 ≤ k ≤ 150, valószínűségeket kell kiszámítani, és k-ra összegezni. Ebben az esetben a normális sűrűségfüggvényt a nulla közelében kell vennünk, és

a kívánt valószínűésegre jó becsés \frac{1}{\sqrt[\frac{1}{2}]{2π · 5000000}} · 300 ∼ \frac{6}{10\sqrt{10π}} ∼ \frac{1}{10}.

2. Megjegyzés: Valójában az első feladatban tárgyalt modell némileg irreális. Általában vannak csoportok, melyeknek azonos a véleményük. Tegyük fel, hogy a különböző csoportokban levő emberek véleménye független, de az egyes csoportokban levő emberek véleménye megegyezik. Kérdés: Hogyan befolyásolja ez a tény annak valószínűségét, hogy rendkívül szoros választási eredmény szülessen? Be fogjuk látni, hogy e tény figyelembevétele csökkenti a szoros választási eredmény valószínűségét. A fenti kérdés azzal függ össze, hogy ha különböző embereknek azonos a véleményük, akkor az egyik jelöltre leadott (véletlen, közel normális eloszlású) számának a szórása nő vagy csökken. A feladatot úgy is reprezentálhatjuk, hogy egyes csoportokból kijelölünk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a csoport tagjainak a száma, a többi ember nem szavaz. Az, hogy ebben az esetben nem változik az egyik jelöltre leadott szavazatok várható értéke, de növekszik annak szórása, következik az alábbi feladat eredményéből.

2. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, melyeknek nem ismerjük a várható értékét. Lássuk be, hogy e valószínűségi válto-

zók tetszőleges súlyozott átlaga, azaz a T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}}, ∑_{k=1}^{n} a_{k} ≠ 0 a ξ_{1}

valószínűségi változó várható értékének torzítatlan becslése, melynek szórásnégyzete akkor a legkisebb, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}.

Megoldás: E \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}Eξ_{1}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = Eξ_{1}, és ez jelenti azt, hogy a várható érték

torzítatlan becslését írtuk fel. Másrészt

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}Eξ_{1}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}} Var ξ_{1}.

Ezért, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}, akkor Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{Var ξ_{1}}{n}. Másrészt, az

úgynevezett Schwarz egyenlőtlenség alapján ∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ≤ \frac{1}{n} ( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}, ahonnan

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} ≤ \frac{Var ξ_{1}}{n}

az általános esetben.

3. Láttuk korábban, hogy ha egy a [ϑ, ϑ + 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értékét akarjuk becsülni úgy, hogy a legnagyobb és legkisebb megfigyelt mintaelem átlagát vesszük, akkor kisebb szórású torzítatlan becslést kapunk a várható értékre mint az összes valószínűségi változó átlaga. Miért nem mond ellent ez az eredmény a előző feladat eredményének.

4. Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét. Megoldás: Írjuk fel először általánosan ξ −η h(x) sűrűségfüggvényét, ha ξ f(x) és η g(x) sűrűségfüggvénnyel rendelkezik. Ekkor ξ −η = ξ +(−η), −η sűrűségfüggvénye g^{−}(x) = g(−x), ezért ξ − η sűrűségfüggvénye

h(x) = ∫ f(y)g^{−}(x − y) dy = ∫ f(y)g(y − x) dy.

Esetünkben f(x) = g(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = g(x) = 0, ha x ≤ 0. Ezért

f(y)g(y − x) = \{ \begin{matrix}λ^{2}e^{−λ(2y−x)} ha y ≥ 0, és y ≥ x \\ 0 ha y < 0, vagy y < x \end{matrix}.

Innen x ≥ 0 esetében h(x) = ∫_{x}^{∞} λ^{2}e^{−λ(2y−x)} dy = \frac{λ}{2}e^{−x}, x < 0 esetében h(x) =

∫_{0}^{∞} λ^{2}e^{−λ(2y−x)} dy = \frac{λ}{2}e^{x}. E két eredményt úgyis összefoglalhatjuk, hogy ξ − η

h(x) sűrűségfüggvénye h(x) = \frac{λ}{2}e^{−λ|x|} minden −∞ < x < ∞ számra.