\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A november 14-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
{\it Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}, sztochasztikus
\'es eloszl\'asban val\'o konvergencia, \'es e k\'et
fogalom k\"oz\"otti kapcsolat.}\medskip\noindent
Az el\H{o}bb felsorolt konvergenciafogalmak a legfontosabbak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban. Ez\'ert id\'ezz\"uk
fel e fogalmak definici\'oit, \'es besz\'elj\"uk meg azok
kapcsolat\'at, legfontosabb tulajdonds\'agait. Megjegyezz\"uk, hogy
az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'at majdnem
minden\"utt val\'o a sztochasztikus konvergenci\'at pedig
m\'ert\'ekben val\'o konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)
 
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(u)$ sorozata akkor \'es csak akkor
konverg\'al egy $F(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata, melyekre $\xi_n$ eloszl\'asa $F_n(u)$ eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. M\'as szavakkal
ez azt jelenti, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
}\medskip\noindent
A tov\'abbiakban t\'argyalni fogjuk
 
\item{a.)} A k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvegenciafogalmak k\"oz\"otti
kapcsolatot.
\item{b.)} Az eloszl\'asban val\'o konvergencia pontosabb tartalm\'at.
K\"ul\"on t\'argyaljuk azt, hogy mi\'ert csak az $F(\cdot)$
hat\'areloszl\'as folytonoss\'agi pontjaiban k\"ovetelj\"uk meg a
$P(\xi_n<u)\to F(u)$ konvergenci\'at.
\medskip\noindent
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
A sztochasztikus \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia kapcsolat\'at
t\'argyaltuk az okt\'ober 10-i gyakorlaton. Most t\'argyaljuk az egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es sztochasztikus konvergencia
kapcsolat\'at.
 
Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$ halmazokra,
(azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=1$. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{\oo\:|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
\medskip Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, melyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=0$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'oszz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?
 
Ez a megjegyz\'es azt mutatja, hogy ha a $P(|\xi_n-\xi|>\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg minden r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra
olyan kicsi, hogy nemcsak null\'ahoz tart, hanem  az ezekb\H{o}l a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekb\H{o}l, $n=1,2,\dots$, k\'esz\'{\i}tett
\"osszeg konvergens, akkor a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel konverg\'alnak a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Viszont lehets\'eges,
hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tart null\'ahoz,
noha a $P(|\xi_n|>\frac12)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek lassan
tartanak null\'ahoz. P\'elda: Legyen $(\Omega,\Cal A,P)=([0,1],
\Cal B, \lambda)$, ahol $\Cal A$, a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$ intervallumon, \'es $\lambda$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a $\xi_n(x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen:
$\xi_n(x)=1$, ha $0\le x\le\frac1n$, \'es $\xi_n(x)=0$, ha
$\frac1n<x\le1$. Ekkor $\limm_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0<x\le1$ eset\'eben. Viszont $\summ_{n=1}^\infty
P(\xi_n>\frac12)=\summ_{n=1}^\infty\frac1n=\infty$. S\H{o}t a fenti
p\'eld\'at tudjuk \'eles\'{\i}teni. Hasonl\'o p\'eld\'at kapunk, ha
a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ugy
defini\'aljuk, mint a $[0,\e_n]$ intervallum
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et, ahol $\e_n$, $n=1,2,\dots$,
tetsz\H{o}leges null\'ahoz tart\'o sorozat.
 
A fenti p\'elda mutatja, hogy a Borel--Cantelli lemm\'aban a
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$ felt\'etel nem elegend\H{o} ahhoz,
hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezz\'ek be. Az ok a tekintett p\'eld\'aban az, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A_n$ esem\'enyek majdnem ugyanazt a halmazt
fedik le, \'{\i}gy lehetnek olyan $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyek,
melyekre azon $n$ indexek, melyekre $\oo\in A_n$ s\H{u}r\H{u}en
vannak, m\'{\i}g m\'as $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyeket ritk\'an
fednek le az $A_n$ esem\'enyek. Megjegyzem, hogy az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlens\'ege a Borel--Cantelli lemm\'aban arra szolg\'al, hogy
\'erv\'enyes legyen egyfajta nagy sz\'amok t\"orv\'enye, az $A_n$
halmazok egyenletesen fedj\'ek le az $\Omega$ halmazt.
 
L\'attuk, hogy lehets\'eges az, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan kon\-ver\-g\'al\-nak, de egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es,
lehets\'eges-e az, hogy f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozok r\'eszlet\"osszegei
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, de nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. A v\'alasz
igen, de ennek bizony\'{\i}t\'asa j\'oval nehezebb, mint az eddig
t\'argyalt \'all\'{\i}t\'asok\'e. Az \'altal\'anos elm\'eletben meg
tudj\'ak adni mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, \'es ezek \"osszehasonl\'{\i}t\'asa seg\'{\i}t a
feladat megold\'as\'aban. B\'ar bizonyos fontos r\'eszletek
bizony\'{\i}t\'as\'at nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladatnak fogunk
tekinteni, meg fogunk adni egy p\'eld\'at arra, mely olyan
p\'eld\'at mutat, amelyikben a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et
teljes\'{\i}ti, de a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et nem.
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et $F(u)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et pedig (amennyiben ez l\'etezik)
$f(u)$. Legyen $g(u)$ m\'erhet\H{o}  f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen,
melyre $g(\xi)$ integr\'alhat\'o, azaz $E|g(\xi)|<\infty$. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)\,dF(u)
\qquad \(=\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du\).
$$
Tov\'abb\'a az $E|g(\xi)|<\infty$ \'all\'{\i}t\'as akkor \'es csak
akkor \'erv\'enyes, ha $\int|g(u)|\,dF(u)<\infty$. A z\'ar\'ojelben
megfogalmazott rel\'aci\'o akkor \'erv\'enyes, ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o el\-osz\-l\'a\-s\'a\-nak
l\'e\-te\-zik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Speci\'alisan,
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty u\,dF(u)=\int_{-\infty}^\infty uf(u)\,du.
$$
}\medskip
L\'assuk be ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt, hogy
$E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha $\summ_{n=0}^\infty
P(|\xi|>n)<\infty$.
 
$E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha $\int|u|\,dF(u)<\infty$,
\'es ez akkor \'es csak akkor teljes\"ul, ha $\summ_{n=0}^\infty
nP(n< |\xi|\le n+1)<\infty$. (Mi\'ert?) Ezt az \"osszeget \'atrendezve
$$
\align
\summ_{n=0}^\infty nP(n< |\xi|\le n+1))
&=\summ_{n=0}^\infty n\(P(|\xi|>n)-P(|\xi|>n+1)\) \\
&=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)[n-(n-1)]
=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\medskip H\'azi feladat. (Nem k\"otelez\H{o})
\item{} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es
csak akkor l\'etezik v\'eges m\'asodik momentuma, ha
$\summ_{n=1}^\infty nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban
$E|\xi|^k<\infty$ valamilyen $k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor
\'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
\medskip
Bel\'atjuk az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny \'es a Borel--Cantelli lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata olyan, hogy $E|\xi_1|=\infty$, akkor
az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
divergens, ahol $S_n=\summ_{k=1}^n \xi_k$. Teh\'at ebben az
esetben nem teljes\"ul a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben $E|\xi_1|=\infty$, akkor
$\summ_{n=0}^\infty P(|\xi_n|>n)=\summ
_{n=0}^\infty P(|\xi_1|>n)=\infty$, az $\{\oo\: |\xi_n(\oo)|>n\}$
esem\'enyek f\"uggetlenek, ez\'ert a Borel-Cantelli lemma szerint
majdnem minden $\oo\in\Omega$ eset\'en  $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen
sok $n$ indexre.
 
Ha $\oo\in\Omega$ olyan pont, melyben az $\dfrac{S_n(\oo)}n$,
$n=1,2,\dots$,  sorozat konvergens, akkor ebben az $\oo$ pontban
$\supp_{1\le n<\infty}\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|<K(\oo)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n\)=0$.
Vi\-szont, $\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n
=\dfrac{\xi_{n+1}(\oo)}{n+1}+\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}$, \'es
$\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}\to0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$|\xi_{n+1}(\oo)|<n+1$ minden $n\ge n_0(\oo)$ sz\'amra alkalmas
$n_0(\oo)$ k\"usz\"obindex-szel, ha az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat
konverg\'al. Ez vi\-szont csak nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}
$\oo\in\Omega$ halmazra \'erv\'enyes. Megjegyezz\"uk bizony\'{\i}t\'as
n\'elk\"ul, hogy \'erv\'enyes ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa is, nevezetesen a k\"ovetkez\H{o} t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, \'es defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az $\dfrac{S_n(\oo)}n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor konverg\'al
pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $E|\xi_1|<\infty$.
Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}
\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye:}
\medskip
L\'attuk, hogy az hogy $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata sztochasztikusan egy (determinisztikus) $a$ konstanshoz tart
ekvivalens azzal, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban tart a sz\'amegyenes $a$ pontj\'aba
koncentr\'alt m\'ert\'ekhez. Ez pedig az Alapt\'etel szerint  azzal
ekvivalens, hogy ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\psi_n(t)=Ee^{itX_n}$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei az $a$ pontba
koncentr\'alt m\'ert\'ek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez,
azaz az $e^{ita}$ f\"uggv\'enyhez tartanak.
 
Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, jel\"olje ezek
r\'eszlet\"osszegeit, \'es $\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ a $\xi_1$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. E sorozat akkor \'es csak akkor
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, azaz az
$\dfrac{S_n}n$ \'atlagok akkor \'es csak akkor tartanak
sztochasztikusan egy $-\infty<a<\infty$ sz\'amhoz, ha teljes\"ul az
$\limm_{n\to\infty}\varphi\(\dfrac tn\)=e^{ita}$ minden $t$ sz\'amra.
N\'emi sz\'amol\'assal bel\'athat\'o, hogy ez ekvivalens azzal, hogy
a karakterisztikus f\"uggv\'eny a null\'aban deriv\'alhat\'o, \'es ez
a differenci\'alh\'anyados $\varphi'(0)=ia$. Ez az eredm\'eny azonban
nem teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o}, ugyanis \'altal\'aban nem a
karakterisztikus f\"uggv\'enyt, hanem az eloszl\'asf\"uggv\'enyt
ismerj\"uk. Ez\'ert hasznosabb a k\"ovetkez\H{o} a Fourier
transzorm\'aci\'o tulajdons\'again alapul\'o t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
$F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata.
Ez akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor
\'es csak akkor konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ami ekvivalens azzal, hogy a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ karakterikus f\"uggv\'eny
deriv\'alhat\'o az orig\'oban, \'es $\varphi'(0)=ia$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
\medskip}
 Ez az eredm\'eny \'es a m\'ult alkalommal t\'argyalt eredm\'eny a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l lehet\H{o}s\'eget ad
olyan p\'elda konstru\'al\'as\'ara, mely teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. Val\'oban, legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata melyeknek l\'etezik $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyet a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet ad
meg.  $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le
2$, a $C$ konstanst pedig \'ugy v\'alasztjuk, hogy $\int f(x)\,dx=1$.
Ekkor $E|\xi_1|=\int |x|f(x)\,dx=\infty$, (Mi\'ert?) ez\'ert nem
teljes\"ul a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. Az el\H{o}bb
kimondott, de nem bizony\'{\i}tott t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
ez a sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.
De ezt az \'all\'{\i}t\'ast be lehet l\'atni k\"ozvetlen\"ul is.
Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} (nem k\"otelez\H{o}) h\'azi
feladat.
\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok sztochasztikusan tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$
sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+  P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP(\bar{\bar \xi_1}\neq0)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
 
 
 
 \bye
