\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\nopagenumbers
 
\noindent
{\bf Kit\H{u}z\"ott feladatok}
\plainfootnote{} {A ${}^*$ jelz\'es\H{u} feladatok nem
k\"otelez\H{o}ek.}
 
 
\item{1.} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es
$f(x)=1$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\quad (Kit\H{u}zve  szeptember 5-\'en.)
\item{2.} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\xi_{\pi(2)}=k_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n),
$$
azonoss\'agot az $1,2,\dots,n$ sz\'amok tetsz\H{o}leges
$(\pi(1),\dots\pi(n))$ permut\'aci\'oj\'ara \'es minden $k_1,\dots,k_n$
eg\'esz sz\'amra, akkor
$$
P(\xi_i=k_1)=P(\xi_1=k_1),\quad
P(\xi_i=k_1,\xi_j=k_2)=P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2)
$$
mainden $1\le i,j\le n$ \'es $k_1$ \'es $k_2$ eg\'esz sz\'amra.
\quad (Kit\H{u}zve  szeptember 12-\'en.)
\item{3.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a fejdob\'asok sz\'am\'nak a harmadik hatv\'any\'at,
\'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\quad (Kit\H{u}zve  szeptember 12-\'en.)
\item{4.} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk
egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk \'es vele egy\"utt bedobunk az
urn\'aba egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az
els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-ik \'es $j$-ik h\'uz\'asban
piros goly\'ot h\'uzunk, $i\neq j$, megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
\quad (Kit\H{u}zve  szeptember 19-\'en.)
\item{5.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots
(2k-1)$.
\quad (Kit\H{u}zve  szeptember 26-\'an.)
\item{6.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\quad (Kit\H{u}zve  okt\'ober 3-\'an.)
\item{7.}  Egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(t)=\int
e^{itx}\,dF(x)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye, $-\infty<t<\infty$,
folytonos, s\H{o}t egyenletesen folytonos f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen.
\quad (Kit\H{u}zve  okt\'ober 10-\'en.)
\item{8.}  Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egy $[a,b]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk a $\xi_1^*=\minn_{1\le j\le n}\xi_j$
\'es $\xi_n^*=\maxx_{1\le j\le n}\xi_j$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat. Bizony\'{\i}tsuk
be, hogy a $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak van
s\"u\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az az
$f(x,y)=n(n-1)\dfrac{(y-x)^{n-2}}{(b-a)^n}$ f\"uggv\'eny, ha
$a<x<y<b$, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
\quad (Kit\H{u}zve  okt\'ober 31-\'en.)
\item{9.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban,
\'es legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_n^*$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\quad (Kit\H{u}zve  november 7-\'en.)
\item{10.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\quad (Kit\H{u}zve november 7-\'en.)
\item{11$^*$.} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\quad (Kit\H{u}zve november 14-\'en.)
\item{12$^*$.} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor
\'es csak akkor l\'etezik v\'eges m\'asodik momentuma, ha
$\summ_{n=1}^\infty nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban
$E|\xi|^k<\infty$ valamilyen $k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor
\'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
\quad (Kit\H{u}zve november 14-\'en.)
\item{13$^*$.}  Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok sztochasztikusan tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$
sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+  P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP(\bar{\bar \xi_1}\neq0)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
\quad (Kit\H{u}zve november 14-\'en.)
 
 
 
\bye
