Kitűzött feladatok

1. Legyen ξ_{1} és ξ_{2} független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ_{1} és ξ_{2} sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 1 egyébként. Számítsuk ki ξ_{1} + ξ_{2} sűrűségfüggvényét. (Kitűzve szeptember 5-én.)

2. Ha a ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n}) egész értékű valószínűségi változók teljesítik a

P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2}, …, ξ_{n} = k_{n}) = P (ξ_{π(1)} = k_{1}, ξ_{π(2)} = k_{2}, …, ξ_{π(n)} = k_{n}),

azonosságot az 1, 2, …, n számok tetszőleges (π(1), … π(n)) permutációjára és minden k_{1}, …, k_{n} egész számra, akkor

P (ξ_{i} = k_{1}) = P (ξ_{1} = k_{1}), P (ξ_{i} = k_{1}, ξ_{j} = k_{2}) = P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2})

mainden 1 ≤ i, j ≤ n és k_{1} és k_{2} egész számra. (Kitűzve szeptember 12-én.)

3. Egy szabályos pénzdarabot feldobunk százszor egymás után. Tekintsük a fejdobások számńak a harmadik hatványát, és számítsuk ki annak várható értékét. (Kitűzve szeptember 12-én.)

4. Egy urnában húsz piros és harminc fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy amikor kihúzunk egy golyót akkor azt visszadobjuk és vele együtt bedobunk az urnába egy vele azonos színű golyót. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete? Segítség: Lássuk be, hogy annak valószínűsége, hogy a j-ik húzásban piros golyót húzunk megegyezik annak valószínűségével, hogy az első húzásban piros golyót húzunk. Annak valószínűsége, hogy az i-ik és j-ik húzásban piros golyót húzunk, i ≠ j, megegyezik annak valószínűségével, hogy az első és második húzásban piros golyót húzunk. (Kitűzve szeptember 19-én.)

5. Ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor Eξ^{2k} = 1 · 3 ⋯ (2k − 1). (Kitűzve szeptember 26-án.)

6. Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét. (Kitűzve október 3-án.)

7. Egy F (x) eloszlásfüggvény φ(t) = ∫ e^{itx} dF (x) karakterisztikus függvénye, −∞ < t < ∞, folytonos, sőt egyenletesen folytonos függvény a számegyenesen. (Kitűzve október 10-én.)

8. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egy [a, b] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók, és definiáljuk a ξ_{1}^{∗} = min_{1≤j≤n} ξ_{j} és ξ_{n}^{∗} = max_{1≤j≤n} ξ_{j} valószínűségi

változókat. Bizonyítsuk be, hogy a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) valószínűségi vektornak van sürűség-

függvénye, és az az f(x, y) = n(n − 1)\frac{(y − x)^{n−2}}{(b − a)^{n}} függvény, ha a < x < y < b, és

f(x, y) = 0 egyébként. (Kitűzve október 31-én.)

9. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a

A ^{∗} jelzésű feladatok nem kötelezőek. belőlük készített rendezett minta. Számítsuk ki ξ_{n}^{∗} várható értékét és szórásnégyzetét. (Kitűzve november 7-én.)

10. Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik. (Kitűzve november 7-én.)

11^{∗}. Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata, akkor és csak akkor konvergál egy valószínűséggel egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az η_{n} = sup_{k≥n} |ξ_{k} −ξ| valószínűségi

változók sorozata sztochasztikusan konvergál nullához, azaz minden ε > 0 számra

P ( lim_{n→∞} sup_{k≥n} |ξ_{k} − ξ| > ε) = 0. (Kitűzve november 14-én.)

12^{∗}. A ξ valószínűségi változónak akkor és csak akkor létezik véges második momen-

tuma, ha ∑_{n=1}^{∞} nP (|ξ| > n) < ∞. Általánosabban E|ξ|^{k} < ∞ valamilyen k =

1, 2, …, számra akkor és csak akkor, ha ∑_{n=1}^{∞} n^{k−1}P (|ξ| > n) < ∞. (Kitűzve

november 14-én.) 13^{∗}. Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók soro-

zata, az f(x) = \frac{C}{x^{2} log |x|}, ha |x| > 2. f(x) = 0, ha |x| ≤ 2, képlettel megadott

sűrűségfüggvénnyel. (∫_{|x|>2} \frac{C dx}{x^{2} log |x|} = 1.) Definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{m} ξ_{k}, n =

1, 2, …, részletösszegeket. Lássuk be, hogy az \frac{S_{n}}{n} átlagok sztochasztikusan tar-

tanak nullához, azaz minden ε > 0 számra P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) → 0, ha n → ∞.

Segítség: Legyen ξ̄_{k} = ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| ≤ a_{n}), ¯ ξ̄_{k} = ¯ ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| > a_{n}), és S̄_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ̄_{k}, ¯ S̄_{n} = ∑_{k=1}^{n} ¯ ξ̄_{k}. Ekkor P (|S_{n}| > εn) ≤ P (|S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) + P (|¯S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) ≤

\frac{Var S̄_{n}}{\frac{ε^{2}}{4} n^{2}} + nP ( ¯ξ̄_{1} ≠ 0). Adjunk az a_{n} konstans alkalmas megválasztásával (például

a_{n} = n) jó becslést a P (|S_{n}| > nε) valószínűségre. (Kitűzve november 14-én.)