\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A december 5-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
El\H{o}sz\"or megbesz\'elt\"uk a november 28.-i dolgozat feladatainak
a megold\'as\'at. \medskip
\item{1.} Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er, $1\le j\le 10$.
Ekkor minket az $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)$
$\Var\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)$ mennyis\'egek \'erdekelnek.
Tov\'abb\'a, $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$, $1\le j\le10$,
$E\xi^2_j=E\xi_1=\dfrac25$, $\Var\xi_j=\dfrac6{25}$, $1\le j\le10$,
$E\xi_j\xi_k=E\xi_1\xi_2=\dfrac25\dfrac{19}{49}$, ahonnan
$\text{Cov}\,(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=\dfrac25\(\dfrac{19}{49}-\dfrac25\)$, ha $1\le j,k\le 10$, \'es $j\neq
k$. Innen $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=4$, \'es
$\Var\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)
=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+\summ\Sb 1\le j,k\le 10\\j\neq k\endSb
\text{Cov}\,(\xi_j,\xi_k)=\dfrac{12}5+90
\dfrac25\cdot\(\dfrac{19}{49}-\dfrac25\)=\dfrac{12}5-36\dfrac3{245}$.
\item{2.} Ezt a feladatot r\'eszletesen t\'argyaltuk a november 21-i
gyakorlaton.
\item{3.} Ha $\xi$ $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
\item{4.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 1200$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 4,
$\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$, $\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j|}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\medskip
A harmadik feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan lehet t\'argyalni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Ennek fontos szerepe van a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban.
\item{1.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E^{it\xi}$, $-\infty<t<\infty$,
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. (Itt $i=\sqrt{-1}$.) \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A harmadik feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'oan
$$
\align
Ee^{it\xi}&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-t^2/2-(it-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx\\
&=e^{-t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{it-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx= e^{-t^2/2}\int_{-\infty+it}^{\infty+it}
\frac{e^{-x^2/2}} {\sqrt{2\pi}}\,dx.
\endalign
$$
A feladat megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy
$\dsize\int_{-\infty+it}^{\infty+it}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=1$. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz, de a
bizony\'{\i}t\'ashoz sz\"uks\'eg van a komplex f\"uggv\'enytan
n\'eh\'any alapvet\H{o} (nem trivi\'alis) eredm\'eny\'ere.
\item{} Az $f(z)=\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$ f\"uggv\'eny
analitikus az eg\'esz komplex sz\'ams\'{\i}kon. Ez\'ert a komplex
sz\'ams\'{\i}k minden z\'art g\"orb\'ej\'ere
$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0$.
V\'alasszuk a k\"ovetkez\H{o} $\gamma_t$ g\"orb\'eket.
Vegy\"uk el\H{o}sz\"or a $[-T,T]$ v\'{\i}zszintes szakaszt
(pozit\'{\i}v ir\'anyban), majd menj\"unk tov\'abb a $[T,T+it]$
f\"ugg\"oleges szakaszon. Folytassuk az \'utunkat a $[T+it,-T+it]$
v\'{\i}zszintes szakaszon, majd z\'arjuk be a k\"ort a $[-T+it,-T]$
szakaszon. Vegy\"uk \'eszre ezen k\'{\i}v\"ul, hogy  $z=x+iy$ esetben
$|e^z|=e^x|e^{iy}|=e^x$, ahonnan $e^z\to0$, ha
$\text{Re}\,z\to-\infty$. Ezt felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$\oint_{\gamma_t}f(z)\,dz=0$, tov\'abb\'a $t\to\infty$ hat\'ar\'atmenet
eset\'en a f\"ugg\H{o}leges szakaszokon vett
integr\'alokra $\int_{[\pm T,\pm T+it]}f(z)\,dz=0$, ahonnan
$\dsize\int_{-\infty+it}^{\infty+it} \frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=1$.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is
fel\'{\i}rhatjuk: Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, $E\xi_1=M$, $\Var\xi_1
=\sigma^2$. Ekkor $\limm_{n\to\infty}P\(\dfrac{S_n-nM}{\sqrt n}<x\)
=\Phi_\sigma(x)$, ahol $\Phi_\sigma(x)$ egy nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Annak \'erdek\'eben, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'at
megfogalmazzuk sz\"uks\'eg van a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'anak
meg\'ert\'es\'ere.
 
Legyen $\xi^*=\(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(n)}\)^*$ $n$ dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. (A tov\'abbiakban vektoron
oszlopvektort fogunk \'erteni, ezt jel\"oli a ${}^*$ jel. A vektor \'es
m\'atrix m\H{u}veleteket ennek megfelel\H{o}en fogjuk fel\'{\i}rni.)
Ennek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et mint az $n$-dimenzi\'os $E\xi^*=
\(E\xi^{(1)},\dots,E\xi^{(n)}\)^*$ vektort fogjuk defini\'alni. A
sz\'or\'asn\'egyzet $n$-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa pedig a
k\"ovetkez\H{o} $n\times n$-es m\'eret\H{u} \'ugynevezett
kovariancia-m\'atrix. Legyen $\xi^*=\(\xi^{(1)},\cdots,\xi^{(n)}\)^*$
$n$ dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor valamely
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
E v\'eletlen vektor kovariancia-m\'atrixa az az $n\times n$-es m\'atrix,
melynek $i$-ik sor\'anak $j$-ik oszlop\'anban a $\sigma_{i,j}=\Cov\(
\xi^{(i)},\xi^{(j)}\)=E\(\xi^{(i)}-E\xi^{(i)}\)
E\(\xi^{(j)}-E\xi^{(j)}\)=E\xi^{(i)}\xi^{(j)}-E\xi^{(i)}E\xi^{(j)}$,
$1\le j,k\le n$, sz\'am \'all. A tov\'abbiakban fontos lesz
meg\'erteni, milyen m\'atrixok l\'ephetnek fel mint alkalmas v\'eletlen
vektor kovariancia-m\'atrixai. Ennek \'erdek\'eben fel kell
eleven\'{\i}teni bizonyos line\'aris algebrai ismereteket.
 
Legyen adva egy $\xi^*=\(\xi^{(1)},\cdots,\xi^{(n)}\)^*$ $n$
dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor valamely $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es legyen $\eta^*=
\(\eta^{(1)},\dots,\eta^{(n)}\)^*=A\(\xi^{(1)},\cdots,\xi^{(n)}\)^*$
$m$ dimenzi\'os vektor, ahol $A$ $n\times m$ m\'eret\H{u}
(v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) m\'atrix. Ekkor az $\eta^*$
m\'atrix v\'arhat\'o \'ert\'eke $E\eta^*=AE\xi^*$, \'es $\eta^*$
kovariancia-m\'atrixa pedig az $A\Sigma A^*$ m\'atrix.
\medskip H\'azi feladat:
\item{} Ha $\xi^*=\(\xi^{(1)},\cdots,\xi^{(n)}\)^*$ $n$ dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor $M^*$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\Sigma$ kovariancia-m\'atrix-szal, $\eta^*=
\(\eta^{(1)},\dots,\eta^{(n)}\)^*=A\(\xi^{(1)},\cdots,\xi^{(n)}\)^*$,
ahol $A$ $n\times m$ m\'eret\H{u} (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o})
m\'atrix, akkor $\eta^*$ v\'arhat\'o \'ert\'eke $AM$,
kovariancia-m\'atrixa pedig $A\Sigma A^*$.
 
Adva egy $\xi^*=\(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(n)}\)^*$ v\'eletlen vektor
$\Sigma$ $n\times n$ m\'eret\H{u} kovariancia m\'atrixa
bevezethetj\"uk az $n$-dimenzii\'os t\'eren az $x \Sigma y^*$
biline\'aris f\"uggv\'enyt \'es $x\Sigma x^*$ kvadratikus form\'at,
ahol $x=(x_1,\dots,x_n)$, $y=(y_1,\dots,y_n)$ az $n$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges vektorai. E definici\'onak a k\"ovetkez\H{o}
szeml\'eletes tartalma van: R\"ogz\'{\i}tett $x=(x_1,\dots,x_n)$, \'es
$y=(y_1,\dots,y_n)$ $n$-dimenzi\'os vektorokra vezess\"uk be az $\eta=
x_1\xi^{(1)}+\cdots+x_n\xi^{(n)}$ \'es $\eta=
y_1\xi^{(1)}+\cdots+y_n\xi^{(n)}$ v\'eletlen vektorokat. Ekkor  $\Var
\eta=x\Sigma x^*$, $\Cov(\eta,\zeta)=x\Sigma y^*$. Speci\'alisan,
$x\Sigma x^*\ge0$ az $n$-dimenzi\'os t\'er minden $x$ vektor\'ara.
Ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul a $\sigma_{j,k}=\sigma_{k,j}$
\"osszef\"ugg\'es is.
 
Az al\'abbi t\'enyeket a line\'aris algebra nyelv\'en a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp mondj\'ak el. Az $n$-dimenzi\'os t\'er
$n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'er, azaz olyan $n$-dimenzi\'os line\'aris
t\'er, melyben l\'etezik skal\'arszorz\'as, (ha $x=(x_1,\dots,x_n)$,
\'es $y=(y_1,\dots,y_n)$ az $n$-dimenzi\'os t\'er elemei, akkor
$(x,y)=\summ_{k=1}^n x_ky_k$. Ez a skal\'arszorzat lehet\H{o}v\'e
teszi, hogy defini\'aljuk egy vektor hossz\'at ($|x|^2=(x,x)$) \'es
k\'et nem z\'er\'o vektor sz\"og\'et ($\cos
(x,y)=\dfrac{(x,y)}{|x|\,|y|}$) a term\'eszetes m\'odon.
 
Ezeket a fogalmakat be lehet vezetni tetsz\H{o}leges (absztrakt)
Euklideszi t\'erben, \'es ezt \'erdemes megtenni. Ugyancsak
defini\'alhatjuk Euklideszi terekben a biline\'aris f\"uggv\'eny \'es
kvadratikus forma fogalm\'at. Ezt tessz\"uk az al\'abbiakban.
 
Tekints\"unk egy $X$ (v\'eges dimenzi\'os) Euklides-i teret, azaz $X$
line\'aris t\'er, melyen l\'etezik skal\'arszorzat. Az, hogy $X$
line\'aris t\'er azt jelenti, hogy ha $x\in X$, $y\in X$ $X$-beli elemek
(melyeket az irodalomban vektornak neveznek) \'es $\alpha$, $\beta$
val\'os sz\'amok, akkor $\alpha x+\beta y\in X$ is teljes\"ulnek,
tov\'abb\'a teljes\"ulnek bizonyos algebrai azonoss\'agok: ($x+y=y+x$,
$x+(y+z)=(x+y)+z$, l\'etezik $0\in X$, (null elem), melyre $x+0=x$,
minden $x$ pontnak l\'etezik $-x$ inverze, melyre $x+(-x)=0$,
$(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$, $(\alpha(\beta x)=(\alpha\beta) x$,
$0x=0$, azaz, ha egy vektort beszorzunk a nulla sz\'ammal akkor a nulla
vektort kapjuk.) Valamely $x_1,\dots,x_k\in X$ vektorokat line\'arisan
f\"uggetlennek nevezz\"uk, ha a $\summ_{j=1}^k \alpha_jx_j=0$ csak
trivi\'alis m\'odon lehets\'eges, azaz csak akkor, ha minden
$\alpha_j\in R$ egy\"utthat\'ora $\alpha_j=0$. Azt mondjuk, hogy az
$x_1,\dots,x_k$ vektorok gener\'atorrendszert alkotnak, ha minden $y\in
X$ el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $y=\summ_{j=1}^k \alpha_k x_k$ alakban. Ha
$x_1,\dots,x_k$ vektorok egyszerre alkotnak gener\'atorrendszert \'es
f\"uggetlen rendszert, akkor ezt b\'azisnak h\'{\i}vj\'ak. Az
\'altal\'anos eredm\'enyek szerint egyr\'eszt minden vektor
egy\'ertelm\H{u}en kifejezhet\H{o}ek, mint egy b\'azis elemeinek
line\'aris line\'aris kombin\'aci\'oja. Egy line\'aris t\'ernek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} b\'azisai adhat\'ok meg, de ezek elemsz\'ama minden
b\'azisra ugyanaz. Ezt a sz\'amot nevezik a line\'aris t\'er
dimenzi\'oj\'anak.
 
A line\'aris algebra egyik fontos fogalma a line\'aris
transzform\'aci\'o fogalma. Egy $A\:X\to X$ lek\'epez\'est a
line\'aris transzform\'aci\'onak nevez\"unk, ha miden $x\in X$,
$y\in X$ vektorra $\alpha$ \'es $\beta$ (komplex) sz\'amokra $(\alpha
x+\beta y)A=\alpha(x A)+\beta (y A)$. (Az irodalomban nem egys\'eges
a jel\"ol\'esrendszer, van ahol $x A$-t \'es van ahol $A x$-et
\'{\i}rnak.) K\'et line\'aris transzform\'aci\'o szorzat\'an a
transzform\'aci\'ok egym\'as ut\'ani alkalmaz\'as\'at \'ertj\"uk.
Ha r\"ogz\'{\i}t\"unk egy b\'azist egy $k$-dimenzi\'os line\'aris
t\'erben, akkor minden $x\in X$ vektort term\'eszetes m\'odon
azonos\'{\i}thatunk egy sz\'am-$k$-assal, ha a vektort fel\'{\i}rjuk,
mint a b\'azisbeli elemek (egy\'ertelm\H{u}) line\'aris
kombin\'aci\'oj\'at, \'es a vektort azonos\'{\i}tjuk az ebben a
reprezent\'aci\'oban szerepl\H{o} egy\"utthat\'okkal. Ugyancsak
term\'eszetes, (tanult) m\'odon azonos\'{\i}thatunk egy line\'aris
transzform\'aci\'ot egy m\'atrix-szal.
 
De val\'oj\'aban sz\'amunkra bizonyos extra-tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} line\'aris terek lesznek az \'erdekesek. \'Ugynevezett
Euklidesi terekr\H{o}l sz\'ol\'o fogalmakra \'es eredm\'enyekre lesz
sz\"uks\'eg\"unk, azaz olyan line\'aris terekkel foglalkozunk,
melyekben be van vezetve egy skal\'arszorzat, azaz minden $x\in X$ \'es
$y\in X$ vektorokra l\'etezik $(x,y)$ skal\'arszorzat, mely egy val\'os
(illetve \'altal\'anosabb esetekben komplex) sz\'am, \'es
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket: $(x,x)\ge0$, s\H{o}t
$(x,x)>0$, ha $x\neq0$, $(\alpha x_1+\beta x_2,y)=\alpha
(x_1,y)+\beta(x_2,y)$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$, ahol $\overline z$ a
$z$ komplex sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli. Ez a skal\'aszorzat
az\'ert olyan fontos a sz\'amunkra, mert ez teszi lehet\H{o}ve, hogy
besz\'elhess\"unk egy $x\in X$ vektor $|x|$ hossz\'ar\'ol, melyet az
$|x|^2=(x,x)$ formula defini\'al, valamint k\'et $x$ \'es $y$ vektor
sz\"og\'er\H{o}l, (speci\'alisan mer\H{o}legess\'eg\'er\H{o}l) melyet
a $\cos(x\text{ \'es } y\text{ \'altal bez\'art sz\"og})=\dfrac
{(x,y)}{|x||y|}$ formula defini\'al. Tov\'abb\'a defini\'alhatjuk az
\'ugynevezett $A(x,y)$ biline\'aris form\'akat az $X\times X$ t\'eren.
$A(x,y)$ biline\'aris forma, ha
$A(\alpha_1x+\alpha_2x_2,y)=\alpha_1A(x_1,y)+\alpha_2A(x_2,y)$, \'es
$A(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\bar\alpha_1A(x,y_1)
+\bar\alpha_2A(x_2,y_2)$. Be lehet l\'atni, hogy egy Euklides-i
t\'erben egy term\'eszetes k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'es l\'etezik a line\'aris transzform\'aci\'ok \'es a
biline\'aris form\'ak k\"oz\"ott. Nevezetesen, minden $A$ line\'aris
transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhat\'o egy $(xA,y)$
biline\'aris forma, \'es tetsz\H{o}leges biline\'aris forma
egy\'ertelm\H{u}en ilyen form\'aban \'{\i}rhat\'o. Ez a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp lehets\'eges: Igaz az, hogy egy Euklides-i
t\'erben l\'etezik $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'azis. (Azaz
l\'etezik olyan vektorokb\'ol \'all\'o b\'azis, mely egym\'asra
mer\H{o}leges egy hossz\'us\'ag\'u vektorokb\'ol \'all. Ilyen b\'azis
t\"obb is l\'etezik. B\'ar nem lenne k\"otelez\H{o}, de Euklidesi
terekben gyakorlatilag mindig ortogon\'alis b\'azis
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolnak.) Egy ilyen b\'azisban az $A(x,y)$
biline\'aris form\'at megad\'o $(xA,y)$ kifejez\'esben szerepl\H{o}
$A$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa az a m\'atrix, melynek
$p$-ik sor\'anak $q$-ik hely\'en \'all\'o elem az $a(p,q)=A(e_p,e_q)$
sz\'am. Egy ilyen koordin\'atarendszerben, ha $x=(x_1,\dots,x_k)\in X$,
$y=(y_1,\dots,y_k)\in X$, akkor az $A(x,y)$ biline\'aris form\'at a
$A(x,y)=xAy^*=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k a(p,q)x_p\bar y_q$ k\'eplet
adja meg, ahol  $y^*$ az $y$ vektorb\'ol k\'esz\'{\i}tett oszlopvektor.
 
Ha $A$ line\'aris transzform\'aci\'o egy Euklidesi t\'erben, akkor
defini\'alhatjuk, annak transzpon\'altj\'at az $(xA,y)=(x,yA^*)$
formul\'aval. Ha a line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'at egy
ortonorm\'alt b\'azisban \'{\i}rjuk fel, akkor annak
transzpon\'altj\'at \'atl\'ora val\'o t\"ukr\"oz\'essel \'es a m\'atrix
(komplex \'ert\'ek\H{u}) elemeinek a konjug\'al\'as\'aval kapjuk meg.
Egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'ot \"onadjung\'altnak nevez\"unk,
ha $A=A^*$, unit\'ernek, ha $UU^*=I$, ahol $I$ az identit\'as m\'atrix.
Egy unit\'er m\'atrixra az is \'erv\'enyes, hogy $U^*U=I$. Egy unit\'er
m\'atrix sz\"og \'es t\'avols\'agtart\'o, ez\'ert ortonrm\'alt b\'azist
ortonorm\'alt b\'azisba visz. Egy $A$ \"onadjung\'alt m\'atrixra
$(xA,x)$ val\'os sz\'am minden $x\in X$ sz\'amra, mert
$(xA,x)=(x,xA)=\overline{(xA,x)}$. Azt mondjuk, hogy egy
\"onadjung\'alt m\'atrix pozitiv szemidefinit, ha $(xA,x)\ge0$ minden
$x\in X$ sz\'amra, pozit\'{\i}v definit, ha $(xA,x)>0$ minden $x\neq0$
vektorra. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ha $A$ \"onadjung\'alt m\'atrix,
akkor ezt a m\'atrixot illetve az \'altala defini\'alt $(xA,y)$
biline\'aris f\"uggv\'enyt meghat\'arozza ennek megszor\'{\i}t\'asa az
$x=y$ pontokra, azaz az $(xA,x)$ f\"uggv\'eny, (kvadratikus alak).
 
Mi azt a speci\'alis esetet tekintett\"uk, amikor vett\"uk az
$n$-dimenzi\'os teret mint Euklideszi teret, \'es rajta egy
$\xi^*=\(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(n)}\)^*$ v\'eletlen vektor
\'altal meghat\'arozott $\Sigma$ kovariancia-m\'atrixot. Ez
term\'eszetes m\'odon defini\'al egy kvadratikus form\'at, mely
pozit\'{\i}v definit. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy minden szimmetrikus
pozit\'{\i}v definit m\'atrix el\H{o}\'all-e mint egy alkalmas
v\'eletlen vektor kovariancia-m\'atrixa. Bel\'atjuk, hogy a
v\'alasz erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}, s\H{o}t a k\"ovetkez\H{o}
tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as is \'erv\'enyes.
 
Legyen $\xi^*=\(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(n)}\)^*$ v\'eletlen vektor az
egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert tegy\"uk fel, hogy ez a vektor nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy ezen vekrot
elemei korrel\'alatlanok, azaz legyen $E\xi^{(j)}\xi^{(k)}=0$, \'es
legyen $E{\xi^{(j)}}^2=1$ minden $1\le j\le k$ sz\'amra. Ekkor a
$\xi^*=\(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(n)}\)^*$ vektor kovariancia-m\'atrixa az
identit\'as m\'atrix. Legyen $A$ tetsz\H{o}leges $n\times n$-es
m\'atrix. Ekkor az $\eta^*=A\xi^*$ m\'atrix covariancia-m\'atrixa az
$AA^*$ m\'atrix. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy tetsz\H{o}leges szimmetrikus
pozit\'{\i}v (szemi)-definit $\Sigma$ m\'atrixhoz megadhat\'o olyan $A$
m\'atrix, melyre az $\eta^*=A\xi^*$ m\'atrix covariancia-m\'atrixa az
$\Sigma$.
 
Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a k\"ovetkez\H{o}
(nem trivi\'alis) line\'aris algebrai ered\-m\'eny\-b\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Tetsz\H{o}leges $A$ $k\times k$-as m\'atrixra a
$D=AA^*$ m\'atrix $k\times k$-as szimmetrikus pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrix. Megford\'{\i}tva, tetsz\H{o}leges $D$ $k\times
k$-as pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixhoz l\'etezik olyan $A$
$k\times k$-as m\'atrix, melyre $D=AA^*$. S\H{o}t l\'etezik olyan
$k\times k$-as \"onadjung\'alt pozit\'{\i}v szemidefinit $A$ m\'atrix,
melyre $D=AA=AA^*$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A $D$ m\'atrix fenti el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa
nem egy\'ertelm\H{u}, azaz a $D=AA^*$ egyenlet nem hat\'arozza meg
egy\'ertelm\H{u}en az $A$ m\'atrixot. Val\'oban, ha $D=A^*A$, $U$
unit\'er m\'atrix \'es $\bar A=AU$, akkor $\bar A\bar
A^*= AU(AU)^*=AU*U^*A^*=AA^*=D$.
\medskip
Ez az eredm\'eny fontos t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
definici\'oj\'aban \'es vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban.
\medskip\noindent
{\bf T\"obbb-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.}
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Akkor a
bel\H{o}l\"uk k\'epzett $(\xi_1,\dots,\xi_n)^*$ $n$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor $n$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'e\-let\-len vektor. Egy $n$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor akkor \'es
csak akkor standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, ha
eloszl\'asa megegyezik egy ilyen vektor eloszl\'as\'aval.}
\medskip\noindent
{\bf T\"obbb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi^*=(\xi_1,\dots,\xi_n)^*$ $n$-di\-men\-zi\-\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, $A$ $n\times
n$-es m\'atrix. Akkor az $\eta^*=(\eta_1,\dots,\eta_n)^*=A
(\xi_1,\dots,\xi_n)^*=A\xi^*$ vektor $n$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor. Egy $n$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor akkor \'es
csak akkor standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha l\'etezik olyan
$A$ $n\times n$-es m\'atrix, hogy a fenti m\'odon defini\'alt
$\eta^*=A\xi^*$ vektor eloszl\'asa megegyezik az \H{o}
eloszl\'as\'aval.} \medskip\noindent
A fenti definici\'o az\'ert nem teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o}, mert
ennek alapj\'an nehezen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy egy konkr\'et
eloszl\'as norm\'alis-e vagy sem. Ez\'ert kiv\'anatos olyan ekvivalens
de\-fi\-ni\-ci\-\'ot adni, mely k\"ozvetlenebb m\'odon jellemzi a
norm\'alis eloszl\'asokat. Egy v\'eletlen
$\eta^*=(\eta_1,\dots,\eta_n)^*$ vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye helyett k\'enyelmesebb annak
$$
\varphi(t_1,\dots,t_n)=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_n\eta_n)}
$$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel dolgozni. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as klasszikus eredm\'enyei
alapj\'an az eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es karakterisztikus
f\"uggv\'eny k\"olcs\"on\"osen meghat\'arozz\'ak egym\'ast.
 
Legyen $\xi^*=(\xi_1,\dots,\xi_n)^*$ $n$-di\-men\-zi\-\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ennek karakterisztikus
f\"uggv\'enye $\varphi(t_1,\dots,t_n)=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_n\xi_n)}
=\prodd_{k=1}^nEe^{it_k\xi_k}=\prodd_{k=1}^n e^{-t^2_k/2}=\exp\left\{
-\dfrac{\summ_{k=1}^n t_k^2}2\right\}=e^{-(t,t)/2}$, ahol
$t=(t_1,\dots,t_n)$, \'es $(\cdot,\cdot)$ skal\'arszorzatot jel\"ol. Ha
$\eta^*=(\eta_1,\dots,\eta_n)=A\xi^*$ norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, ahol $A=(a_{j,k})$, $1\le j,k\le n$, $n\times n$-es
m\'atrix, akkor ennek $\varphi(t_1,\dots,t_n)
=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_n\eta_n)}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
kisz\'am\'{\i}that\'o, felhaszn\'alva, hogy
$t_1\eta_1+\cdots+t_n\eta_n=(t,\eta^*)=(t,A\xi^*)=tA\xi^*$. Innen
$\varphi(t_1,\dots,t_n)=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_n\eta_n)}
=e^{-(tA,tA)/2}=e^{-tAA^*t^*/2}$. Ennek az azonoss\'agnak
m\'elyrehat\'o k\"ovetkezm\'enyei vannak. (Vegy\"uk \'eszre, hogy $AA^*$ az
$\eta^*$ v\'eletlen vektor kovariancia-f\"uggv\'enye.)
 
 
 
 \bye
