\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 5-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy egy fej
\'es egy \'{\i}r\'as dob\'as lesz?
\medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a dob\'asok
\"osszege 9? Annak, hogy a dob\'asok \"osszege 10?
\medskip
\item{2.} Kit\"olt\"unk egy lott\'oszelv\'enyt. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 5-\"os tal\'alatot \'er\"unk el?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Gondoljuk, meg, h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
eredm\'enye lehet a h\'uz\'asoknak. Az els\H{o} sz\'amot 90
f\'elek\'eppen h\'{\i}zhatjuk, a m\'asodikat 89 f\'elek\'epp, a
harmadikat 88 a negyediket 87 az \"ot\"odiket 86 f\'elek\'eppen.
Fel\'{\i}rva egym\'as ut\'an ezeket a sz\'amokat \"osszesen
$90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorozat
lehets\'eges. Ugyanakkor k\'et h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot nem
k\"ul\"onb\"oztet\"unk meg, ha ugyanazok a sz\'amok jelennek meg
benn\"uk csak m\'as sorrendben. \'Irjuk fel egy h\'uzassorozat
sz\'amait n\"ovekv\H{o} sorrendben. H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon
jelenhet meg ugyanaz a n\"ovekv\H{o} sz\'amsorozat? A legnagyobb sz\'am
5 helyen, a m\'asodik legnagyobb sz\'am ezut\'an 4, a harmadik
legnagyobb sz\'am ezut\'an 3, a negyedik legnagyobb sz\'am ezut\'an
k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} helyen szerepelhet, a legkisebb sz\'am helye
pedig v\'eg\"ul egy\'ertelm\H{u}. \'Igy \"osszesen
$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$ k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon jelenhet meg ugyanaz az eredm\'eny. \"Osszesen teh\'at
$\dfrac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{120}$ k\"ul\"onb\"oz\H{o}
h\'uz\'assorozat lehets\'eges. Mivel minden h\'uz\'assorozat egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy adott
(nagys\'ag szerint rendezett sz\'amsorozat) jelenik meg
$\dfrac{120}{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}$.
\item{3.} Egy $n$ elem\H{u} halmaznak $\dbinom
nk=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdots k}$
k\"ul\"onb\"oz\H{o} r\'eszhalmaza van, $k\le n$.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Feltehetj\"uk, hogy a tekintett halmaz az
$1,2,\dots,n$ sz\'amokb\'ol \'all. Ebb\H{o}l
$n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon v\'alaszthatunk
ki egym\'as ut\'an $k$ sz\'amot. Viszont mivel k\'et v\'alaszt\'as,
melyben ugyanazokat a sz\'amokat v\'alasztottuk ki egym\'as ut\'an m\'as
sorrendben ugyanazt a halmazt adja, ez\'ert minden halmazt $1\cdot2\cdots
k$ f\'ele m\'odon v\'alasztottunk. Innen ad\'odik az eredm\'eny.
\item{4.} Az $1,2,\dots,n$ sz\'amokat $n!=1\cdot2\cdots n$ m\'odon
lehet sorrendbe rakni.
\item{5.} Binomi\'alis t\'etel:
$$
(a+b)^n=\binom n0 a^nb^0+\binom n1 a^{n-1}b+\binom n2
a^{n-2}b^2+\cdots+\binom nn a^nb^0=\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k},
$$
ahol $\dbinom nk=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdots
k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dbinom n{n-k}$.
\item{}{\it Magyar\'azat:}\/ V\'egezz\"uk el az $(a+b)^n=\undersetbrace
{n\text{ t\'enyez\H{o}}} \to{(a+b)\cdots (a+b)}$ szorz\'asokat. Ez
olyan $n$ hossz\'us\'ag\'u szorzatokb\'ol \'all\'o \"osszeg lesz, mely
$a$ \'es $b$ sz\'amokb\'ol fog \'allni. H\'any olyan tag szerepel, mely
$k$ $a$ \'es $n-k$ $b$ jegyet tartalmaz? A fenti kombinatorikai
meggondol\'asok alapj\'an l\'athat\'o, hogy $\dbinom nk$.
\medskip
T\'argyaltuk a binomi\'alis t\'etel egy \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at
is. Ennek \'erdek\'eben bevezett\"uk a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot: Ha
$k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, $n$ pedig {\it tetsz\H{o}leges val\'os
sz\'am}\/ akkor $\dbinom
nk=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdots k}$. Fontos, hogy ez
a definici\'o nemcsak eg\'esz $n$ sz\'amokra van defini\'alva. Ki
akarjuk sz\'amolni az $(1+x)^n$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at
tetsz\H{o}leges (val\'os) $n$ sz\'amra. \medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy az $f(x)=(1+x)^n$ f\"uggv\'eny
Taylor sora az
$$
(1+x)^n=\sum_{k=0}^\infty \binom nk x^k
$$
hatv\'anysor tetsz\H{o}leges val\'os $n$ sz\'am eset\'en. \medskip
Be lehet l\'atni, hogy $|x|<1$ eset\'en az $(1+x)^n$ f\"uggv\'eny
egyenl\H{o} a hatv\'anysor\'aval. Megjegyezt\"uk, hogy abban az
esetben, ha $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, $k>n$, akkor $\dbinom
nk=0$. Ez\'ert, ha $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, akkor az $(1+x)^n$
f\"uggv\'eny Taylor sora v\'eges sok tagb\'ol \'all, \'es ez az \"osszeg
megegyezik azzal az \"osszeggel, melyet a binomi\'alis t\'etel sugall.
\medskip
\item{6.}Egy urn\'aban goly\'ok vannak, melyek tartalmazz\'ak az
$1,\dots,n$ sz\'amokat. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an $k$ goly\'ot. H\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'aseredm\'eny lehets\'eges. Ha
k\"ul\"onbs\'eget tesz\"unk k\'et h\'uz\'assorozat k\"oz\"ott, melyekben
ugyanazokat a sz\'amokat h\'uztuk ki, de m\'as sorrendben, akkor
$n(n-1)\cdots(n-k+1)$ lehet\H{o}s\'eg van, ha nem tesz\"unk
k\"ul\"onbs\'eget, akkor $\dfrac nk$. Ha visszatev\'essel h\'uzunk \'es
k\"ul\"onbs\'eget tesz\"unk k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorrendben kih\'uzott
ugyanazokat a sz\'amokat (ugyanolyan multiplicit\'assal) tartalmaz\'o
h\'uz\'assorozatok k\"oz\"ott, akkor a lehets\'eges h\'uz\'asok sz\'ama
$n^k$.
 
Az az eset, amikor visszatev\'essel h\'uzunk, de nem sz\'am\'{\i}t a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} kih\'uzott sz\'amok sorrendje nehezebb, de egy
ravasz \'eszerv\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldhat\'o. Ez a
k\"ovetkez\H{o} feladat t\'argya.
\item{7.}Egy urn\'aban goly\'ok vannak, melyek tartalmazz\'ak az
$1,\dots,n$ sz\'amokat. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an visszatev\'essel $k$
goly\'ot. A kih\'uzott goly\'okat nagys\'ag szerint sorba rakjuk.
H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'aseredm\'eny lehets\'eges?
\item{} V\'alasz: $\dbinom {n-k+1}k$. Ugyanis tekints\"unk egy kapott
h\'uz\'assorozatot. Az els\H{o} sz\'amhoz adjunk 0-t a m\'asodikhoz
1-et, a harmadikhoz 2-t, \dots a $k$-ikhoz $k-1$-et. Ilyen m\'odon egy
szigor\'uan n\"ovekv\H{o} $k$ hossz\'us\'ag\'u sorozatot kapok melyek
elemei az $1,2,\dots,n+k-1$ sz\'amok valamelyik\'et veszik fel. S\H{o}t
ilyen m\'odon k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est adunk
a lehets\'eges kih\'uzott sorozatok \'es az $1,2,\dots, n+k-1$ halmaz
$k$ elem\H{u} r\'eszhalmazai k\"oz\"ott. Innen k\"ovetkezik, hogy az
adott tipus\'u sorozatok sz\'ama $\dbinom {n+k-1}k$.
\item{8.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lott\'oh\'uz\'as
eredm\'enyek\'ent legal\'abb n\'egyes tal\'alatot \'er\"unk el?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ H\'any olyan kit\"olt\'ese van a
lott\'oszelv\'enynek, mely mely (pontosan) 4 tal\'alatot
biztos\'{\i}t?  Az 5 j\'o sz\'amb\'ol 4-et 5 f\'elek\'eppen, a rosszat
85 f\'elek\'eppen v\'alaszthatom, ezek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sorozatok, \'{\i}gy $5\cdot 85$ f\'elek\'epp lehet pontosan 4
tal\'alatom, \'es 1 f\'elek\'eppen 5 tal\'alatom. Az \"osszes
lehet\H{o}s\'eg $\dbinom {90}5$, \'es minden sorozat egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{5\cdot85+1}{\dbinom{90}5}$.
 
 
 \bye
