\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 26-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy tudja a helyes v\'alaszt, $B$
azt az esem\'enyt, hogy helyes v\'alaszt ad. A $P(A|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk kiv\'ancsiak. Ekkor
$P(A)=P(A\cap B)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(A)+\dfrac13
P(\bar A)=p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac p{p+\frac13(1-p)}$.
\medskip
\item{2.} Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
$(n,p)$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as, ha
pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$P(\xi=k)=\dbinom{k-1}{n-1}p^{k-n}(1-p)^{n}$. Tekints\"unk egy
p\'enzdarabot, mely $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej
oldalra \'es $1-p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra.
Dobjuk fel egym\'as ut\'an v\'egtelen sokszor, \'es tekints\"uk azt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja meg, hogy
h\'anyadik dob\'asra jelent meg az $n$-ik \'{\i}r\'as. L\'assuk be,
hogy $\xi$ eloszl\'asa negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as $(n,p)$
param\'eterrel.
\item{3.)} A zseb\"unkben van 30 kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kiprob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez nem
siker\"ult? \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy
pont a $j$-ik h\'uz\'asra s\'{\i}ker\"ul kih\'uzni a j\'o kulcsot,
$B_j=A_1\cup\cdots\cup A_j$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} $j$
kih\'uzott kulcs egyike a j\'o kulcs. Ezeknek az esem\'enyeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, $P(A_j)=\dfrac{1}{30}$ \'es
$P(B_j)=\dfrac{j}{30}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20.
h\'uz\'asban h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot $F(A_{20})=\dfrac1{30}$. Annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. h\'uz\'asban
h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban
nem s\'{\i}ker\"ult azt kih\'uzni, $P(A_{20}|\bar B_{19})
=\dfrac{P(A_{20}\cap\bar B_{19})}{P(\bar B_{19})}=\dfrac{F(A_{20})}
{1-P(B_{19})} =\dfrac{\frac1{30}}{1-\frac{19}{30}}=\dfrac{1}{11}$. (A
fenti sz\'amol\'asban $\bar A$ jel\"oli egy $A$ halmaz
komplementer\'et.)
\item{4.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, ha a m\'asodik
dob\'assorozatban nem volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk azokat az esem\'enyeket,
melyek le\'{\i}rj\'ak a lehets\'eges do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok
eredm\'eny\'et, \'es adjuk meg ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
$i$, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$ hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6
k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o dob\'assorozatot kapunk
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$, \'es az utols\'o $i$ dob\'as egyike
sem hatos, $\dfrac16\cdot\(\dfrac56\)^i$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban van
hatos
$$
\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\).
$$
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos,
ut\'ana pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$.
Ez\'ert a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\item{5.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik \"osszekeverik.
Egy gy\'artott csavar 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jl\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\'o, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:}
{\it Az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek p\'a\-ron\-k\'ent
f\"uggetlenek, ha minden $1\le i<j\le n$ sz\'amra $P(A_i\cap
A_j)=P(A_i)P(A_j)$.}\medskip
\item{6.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem elegend\H{o} az
$A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(ABC)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(AB)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,
de $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
\item{7.)} L\'assunk p\'eld\'at h\'arom olyan $A$ $B$ \'es $C$
esem\'enyt, melyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, de nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Dobjunk le egy pontot az
egys\'egn\'egyzetre egyenletes eloszl\'assal. Legyen
$A=\[0,\frac12\]\times[0,1]$, $B=[0,1]\times\[0,\frac12\]$ \'es
$C=\[0,\frac12\]\times\[0,\frac12\]\cup\[\frac12,1\]
\times\[\frac12,1\]\times\[\frac12,1\]$. Ekkor $P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$,
$P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac14$, \'es $P(A\cap B\cap
C)=\frac14$. (Itt egy $X\subset [0,1]\times[0,1]$ esem\'eny azt jelenti,
hogy a ledobott pont az $X$ halmazba esik.)
\medskip\noindent
 
 \bye
