\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 19-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
3. hatos dob\'as a 20. vagy  az egyik k\'es\H{o}bbi
dob\'asban jelenik meg?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 19
dob\'asban nulla, egy vagy k\'et hatos jelenik meg. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac56\)^{19}
+\dbinom{19}1\(\dfrac56\)^{18}\cdot\dfrac16
+\dbinom{19}2\(\dfrac56\)^{17}\cdot\(\dfrac16\)^2$.
\item{}{\it M\'asik megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy a harmadik
hatos dob\'as eredm\'enye a 20, 21, 22 vagy valamelyik k\'es\H{o}bbi
dob\'as eredm\'enye. (Tudni kell, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
el\H{o}bb-ut\'obb megjelenik a harmadik fej-dob\'as.) Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(\dfrac16\)^3\summ_{k=20}^{\infty}
\dbinom{k-1}2\(\dfrac5{16}\)^{k-3}.
$$
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk az els\H{o} megold\'as
jogoss\'ag\'at l\'assuk be, hogy
\item{2.} Annak, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok
egym\'as ut\'ani feldob\'asa sor\'an nem jelenik meg h\'arom hatos
nulla a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy bek\"ovetkezik legal\'ab h\'arom
hatos dob\'as~1. Ez ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont nagyobb mint az, hogy (ak\'arhogyan is r\"ogz\'{\i}t\"unk egy
$n$ eg\'esz sz\'amot) annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} $n$ dob\'as k\"oz\"ul legal\'abb egy hatos, az $n+1$-ik \'es
$2n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok k\"oz\"ul legal\'abb az egyik
hatos \'es a $2n+1$-ik \'ea $3n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok
k\"oz\"ul legal\'abb az egyik hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont $\(1-\(\dfrac56\)^n\)^3$. Ez\'ert a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg enn\'el a sz\'amn\'al nagyobbnak kell lenni
tetsz\H{o}leges $n$-re, ami csak \'ugy lehets\'eges, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1.
\medskip
R\"oviden besz\'elt\"unk arr\'ol, hogy hogyan lehet megmutatni azt,
hogy az els\H{o} feladat k\'et megold\'as\'aban a l\'atsz\'olag
teljesen k\"ul\"onb\"oz\H{o} megold\'as megegyezik. Megjegyezt\"uk,
hogy a m\'asodik \"osszegben szerepl\'o v\'egtelen \"osszeg
\"osszegezhet\H{o} a $(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\dbinom \alpha k
x^k$, ha $|x|<1$ aonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\dbinom \alpha
k=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ sz\'amra \'erv\'enyes,
tekinthet\H{o} \'ugy mint az \'altal\'anos\'{\i}tott binomi\'alis
t\'etel, \'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Azt kell \'eszrevenni, hogy
$$
\dbinom{k-1}2=\dfrac
{(2-k)(1-k)}2={(-1)^{k-1}}\dfrac{(-3)(-4)\cdots(1-k)}
{(k-3)!}=(-1)^{k-1}\dbinom{-3}{k-3},
$$
ahonnan $\summ_{k=3}^{\infty}\dbinom{k-1}2\(\dfrac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=3}^{\infty}\dbinom{-3}{k-3}\(-\dfrac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=0}^{\infty}\dbinom{-3}k\(-\dfrac5{16}\)^k=\(1-\dfrac56\)^{-3}=
\(\dfrac16\)^{-3}$.
 
 
\item{3.} Egy t\'oban 3000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asnak
bel\H{o}le 1000 darabot, \'es ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket. Ezut\'an ism\'et kifognak v\'eletlen\"ul 1000
halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\dfrac{\dbinom{1000}{100}\dbinom{2000}{900}} {\dbinom{3000}{1000}}$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni? Ez a k\'es\H{o}bbiek t\'em\'aja lesz.
\item{4.} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v
eg\'esz $n$, $m$ \'es $k$ sz\'amokra, melyekre $k\le n$, $m\le n$
$$
\sum_{r=1}^k\binom m r \binom{n-m}{k-r}=\binom nk.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon azt, hogy az $1,2,\dots,n$ sz\'amok
k\"oz\"ul h\'anyf\'elek\'epp tudok kiv\'alasztani $k$ sz\'amot.
Az egyik kisz\'am\'{\i}t\'as legyen az, hogy azt n\'ezem, hogy az
$1,\dots,m$ sz\'amok k\"oz\"ul h\'anf\'elek\'epp tudok kiv\'alasztani
$r$-et az $m+1,\dots,n$ sz\'amok k\"oz\"uk $k-r$-et, \'es azut\'an
tekintj\"uk az \"osszes $1\le r\le k$ lehet\H{o}s\'eget.
\medskip
A harmadik feladat kapcs\'an felmer\"ul a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es.
Val\'oj\'aban, nem tudjuk, hogy h\'any hal van a t\'oban. De
v\'egezhet\"unk k\'et fog\'ast, az els\H{o} fog\'asban kifogott halakat
megjel\"oljuk, \'es meg akarjuk \'allap\'{\i}tani mennyi hal lehet
\"osszesen a t\'oban. Ezt term\'eszetesen csak bizonyos
(v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}) pontoss\'aggal tudjuk meghat\'arozni.
Az ilyen tipus\'u feladatok tipikusak a matematikai statisztik\'aban,
az ilyen probl\'em\'ak vizsg\'aalat\'at nevezik becsl\'eselem\'eletnek.
Vil\'agos, hogy az, hogy 1000-n\'el alig t\"obb hal van, nem t\'ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal t\"obb megjel\"olt hal lenne a
m\'asodik fog\'asban. Az hogy rengeteg, mondjuk 1~000~000 hal lenne a
t\'oban szint\'en nem t\'ul val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal
kevesebb megjel\"olt hal lenne a m\'asodik fog\'asban. A matematikai
statisztik\'aban kidolgoztak egy \'altal\'anos elvet a maximum
likelihood m\'odszernek ne\-ve\-zett elj\'ar\'ast, mely nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nagyon j\'o m\'odszert ad, \'es
mely jelen esetben is alkalmazhat\'o. T\'argyaljuk meg ezt a m\'odszert
a jelen esetben. Te\-kint\-s\"unk kiss\'e \'altal\'anosabb esetet.
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
\item{} $n$ a t\'oban l\'ev\H{o} halak (ismeretlen) sz\'ama,
\item{} $n_1$ az els\H{o} fog\'asban kifogott (\'es megjel\"olt) halak
sz\'ama,
\item{} $r$ a m\'asodik fog\'asban kifogott halak sz\'ama,
\item{} $k$ a m\'asodik fog\'asban kifogott el\H{o}z\"oleg megjel\"olt
halak sz\'ama.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy adott (ismeretlen) $n$ \'es
$n_1$, $r$ sz\'amok eset\'en pontosan $k$ megjel\"olt halat fogunk ki
$$
q_k(n,n_1,r)=\frac{\dbinom{n_1}k\dbinom {n-n_1}{r-k}}{\dbinom n r}.
$$
Tekints\"uk az ismeretlen $n$ sz\'am (maximum likelihood)
becsl\'es\'enek azt az $n$ sz\'amot, melyre a $q_k(n,n_1,r)$
mennyis\'eg (r\"ogz\'{\i}tett $n_1$, $k$ \'es $r$ sz\'amok mellett
maxim\'alis.
\item{5.} Hat\'arozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood
becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ N\'ami sz\'amol\'as mutatja, hogy
$$
\frac{q_k(n,n_1,r)}{q_k(n-1,n_1,r)}=\frac
{n-n_1}{n-n_1-r+k}\cdot\frac{n-r}n=\frac{n^2-rn
-n_1n+rn_1}{n^2-rn-n_1n+kn}.
$$
Ez a t\"ort kisebb mint egy, ha $rn_1<kn$, nagyobb mint egy, ha
$rn_1>kn$. Ez\'ert a becsl\'es $rn_1=kn$, azaz $n=\dfrac {rn_1}k$,
pontosabban az e sz\'amot k\"ozrefog\'o eg\'esz sz\'amok valamelyike.
\medskip
\item{6.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik hatos?
\medskip
Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik dob\'as
eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont
$P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup A_2))}
{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}$. M\'asr\'eszt
$P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar A_1\cap \bar
A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 \bye
 
 
