\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 12-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lott\'oh\'uz\'as
eredm\'enyek\'ent legal\'abb n\'egyes tal\'alatot \'er\"unk el?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ H\'any olyan kit\"olt\'ese van a
lott\'oszelv\'enynek, mely mely (pontosan) 4 tal\'alatot
biztos\'{\i}t?  Az 5 j\'o sz\'amb\'ol 4-et 5 f\'elek\'eppen, a rosszat
85 f\'elek\'eppen v\'alaszthatom, ezek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sorozatok, \'{\i}gy $5\cdot 85$ f\'elek\'epp lehet pontosan 4
tal\'alatom, \'es 1 f\'elek\'eppen 5 tal\'alatom. Az \"osszes
lehet\H{o}s\'eg $\dbinom {90}5$, \'es minden sorozat egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{5\cdot85+1}{\dbinom{90}5}$.
\medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy kit\"otlt\"ott
lott\'oszelv\'enyen pontosan h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el?
 
\item{2.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
megy el. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy lesznek
vend\'egek a h\'azibulin?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mint sok egy\'eb esetben, most is
\'erdemes az esem\'eny be nem k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'e\-nek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kisz\'amolni. Ez $\(\dfrac12\)^{50}$.
\'Igy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valaki elj\"on
$1-\(\dfrac12\)^{50}$.
\item{3.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megy el. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 3 ember
j\"on el? Annak, hogy legal\'abb h\'arom ember j\"on el?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $\dbinom{50}3\(\dfrac12\)^{50}$,
$1-\(1+\dbinom{50}1+\dbinom{50}2\)\(\dfrac12\)^{50}$.
\item{4.} Valaki j\'at\'ekra h\'{\i}v fel. Egy \'all\'{\i}t\'olag
szab\'alyos p\'enzdarabot dob fel egym\'as ut\'an 10~000-szer.
Fejdob\'as eset\'en \H{o} nyer egy forintot \'{\i}r\'as dob\'as est\'en
mi. A dob\'asok eredm\'enyek\'ent 5500 fejdob\'as  t\"ort\'ent.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy szab\'alyos p\'enz
feldob\'asa eset\'en a fejdob\'asok sz\'ama legal\'abb 5500?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\summ_{k=5500}^{10000}\dbinom{10000}k2^{-10000}$.
\item{} Val\'oj\'aban, ezzel a feladat megold\'as\'aval nem vagyunk
k\'esz. Arra is kiv\'ancsiak vagyunk, hogy ez a sz\'am k\"or\"ulbel\"ul
mekkora. Ki tudjuk-e ezt sz\'amolni kev\'es sz\'amol\'assal viszonylag
r\"ovid id\H{o} alatt? Az igazi, minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es az,
hogy pech\"unk volt-e, vagy a j\'at\'ekot javasl\'o szem\'ely csalt, a
p\'enzdarab nem volt sza\-b\'a\-lyos. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'er\"unk.
\item{} Megbesz\'elt\"uk, hogy az a k\'erd\'es, hogy az adott
dob\'assorozat eset\'en elhissz\"uk-e azt, hogy a p\'enzdarab
szab\'alyos-e a matematikai statisztika egy fontos k\'erd\'es\'enek a
hipot\'ez\'esvizsg\'alatnak speci\'alis esete. Az \'altlal\'anos
k\'erd\'es az, hogy egy elv\'egzett a v\'eletlent\H{o}l is
f\"ugg\H{o} kis\'erletsorozat alapj\'an elfogadjuk-e, hogy egy adott
felt\'etelez\'es (hipot\'ezis) helyes-e. Ha a hipot\'ezis \'erv\'enyes
\'es mi m\'egis elvetj\"uk azt nevezz\"uk els\H{o} faj\'u hib\'anak.
Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul \'es mi m\'egis
igaznak fogadjuk el, azt m\'asodfaj\'u hib\'anak nevezz\"uk. Azt a
feladatot szokt\'ak vizsg\'alni, hogy megengedve el\H{o}irt
els\H{o}faj\'u hib\'at (ezt \'altal\'aban 0.05 vagy 0.01-nek szok\'as
v\'alasztani) hogyan tudjuk a m\'asodfaj\'u hib\'at minimaliz\'alni.
Megjegyezt\"uk azt is, hogy a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik
alapvet\H{o} eredm\'enye a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet ha\-t\'a\-roz\-ni egyszer\H{u}en az
ebben a feladatban tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'ek\'et. Ennek alapj\'an a
fenti esem\'eny bek\"ovetkez\'ese rendkiv\"ul val\'osz\'{\i}n\H{u}tlen.
\item{5.} Egy gyakorlatra v\'eletlenszer\H{u}en 24 hallgat\'o
j\"on el. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\"oz\"ott\"uk
k\'et ember, akiknek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy nincs ilyen ember. K\'epzelj\"uk
el, hogy egym\'asut\'an megjelennek a hallgat\'ok, valaki fel\'{\i}rja
a sz\"ulet\'esnapjukat, \'es minden egyes l\'ep\'esben m\'as d\'atumot
\'{\i}r fel. Az els\H{o} hallgat\'o megjelen\'esekor biztos, hogy \'uj
sz\'amot \'{\i}r fel, a m\'asodik hallgat\'o megjelen\'esekor
$\(1-1{365}\)$, a harmadik hallgat\'o megjelen\'esekor, (felt\'eve,
hogy az els\H{o} k\'et hallgat\'o eset\'eben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\(1-2{365}\)$, a negyedik hallgat\'o
eset\'eben $\(1-3{365}\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'{\i}rt fel
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat, \'es \'{\i}gy tov\'abb. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a 24 esetben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)$, a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig
$1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)$.
\item{} Kiv\'ancsiak lehet\"unk, hogy ez a sz\'am mekkora. Nagyon
kicsi vagy nagyon nagy, azaz majdnem~1. Meg tudjuk-e ezt hat\'arozni
viszonylag kev\'es sz\'amol\'assal? A k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'as
tanuls\'agos lehet. A vizsg\'aland\'o szorzatot fel\'{\i}rhatjuk mint
$$
1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)=1-\exp\left\{\
\sum_{k=1}^{23}\log\(1-\dfrac k{365}\)\right\}.
$$
Haszn\'aljuk fel a $\log(1+x)\sim x$ kis $x$ sz\'amokra val\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est. Ez azt sugallja, hogy $\log\(1-\dfrac
k{365}\)\sim-\dfrac k{365}$, \'es a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$$
1-\exp\left\{-\sum_{k=1}^{23}\dfrac k{365}\right\}
=1-\exp\left\{-\dfrac{12\cdot23}{365}\right\}.
$$
\item{6.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a 17.
dob\'asban jelenik meg a 3. hatos?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 16
dob\'asban pontosan k\'et hatos jelenik meg, a 17. dob\'as eredm\'enye
pedig szint\'en hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dbinom{16}2\(\dfrac56\)^{14}\(\dfrac16\)^3$.
 
\medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
t\"obbsz\"or. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
20. dob\'asban jelenik meg az \"ot\"odik h\'arommal oszthat\'o sz\'am?
\medskip
\item{7.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
3. hatos dob\'as a 20. vagy azut\'an k\"ovetkez\H{o} dob\'asban
jelenik meg?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 19
dob\'asban nulla, egy vagy k\'et hatos jelenik meg. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac46\)^{19}
+\dbinom{19}1\(\dfrac56\)^{18}\cdot\dfrac56
+\dbinom{19}2\(\dfrac56\)^{17}\cdot\(\dfrac16\)^2$.
\item{} Val\'oj\'aban az az \'all\'{\i}t\'as, hogy a vizsg\'aland\'o
esem\'eny helyett lehet annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et
kisz\'am\'{\i}tani, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban csak nulla egy vagy
k\'et fej dob\'as jelenik meg n\'emi k\"ul\"on indokl\'ast ig\'enyel.
A probl\'ema az, hogy el\H{o}fordulhat az is, hogy a v\'egtelen
dob\'assorozatban nem jelenik meg h\'arom hatos dob\'as. Viszont ennek
az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Erre a k\'erd\'esre
visszat\'ert\"unk a k\"ovetkez\H{o} gyakorlaton.
 
\item{}{\it M\'asik megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy a harmadik
hatos dob\'as eredm\'enye a 20, 21, 22 vagy valamelyik k\'es\H{o}bbi
dob\'as eredm\'enye. (Tudni kell, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
el\H{o}bb-ut\'obb megjelenik a harmadik fej-dob\'as.) Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(\dfrac16\)^3\summ_{k=20}^{\infty}
\dbinom{k-1}2\(\dfrac1{16}\)^{k-2}.
$$
 
 
 \bye

