\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 3-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem elegend\H{o} az
$A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(ABC)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(AB)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,
de $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
\item{1a.)} L\'assunk p\'eld\'at h\'arom olyan $A$ $B$ \'es $C$
esem\'enyt, melyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, de nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Dobjunk le egy pontot az
egys\'egn\'egyzetre egyenletes eloszl\'assal. Legyen
$A=\[0,\frac12\]\times[0,1]$, $B=[0,1]\times\[0,\frac12\]$ \'es
$C=\[0,\frac12\]\times\[0,\frac12\]\cup\[\frac12,1\]
\times\[\frac12,1\]\times\[\frac12,1\]$. Ekkor $P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$,
$P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac14$, \'es $P(A\cap B\cap
C)=\frac14$. (Itt egy $X\subset [0,1]\times[0,1]$ esem\'eny azt jelenti,
hogy a ledobott pont az $X$ halmazba esik.)
\medskip\noindent
Felid\'ezz\"uk a Poisson eloszl\'as definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Azt mondjuk, hogy egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy a fenti definici\'o \'ertelmes meg kell
mutatnunk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamilyen nem negat\'{\i}v
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel eggyel egyenl\H{o}. Ez\'ert oldjuk meg
az al\'abbi feladatot: \medskip
\item{2.} Ha $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1.
$$
\item{3.} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\item{4.} Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.\medskip
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$P(\xi_1=1)=1-P(\xi_1=0)=\dfrac \lambda n$, $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$.
Ekkor
$$
P(S_n=k)=\dbinom nk \(1-\dfrac \lambda n\)^{n-k}\(\dfrac
\lambda n\)^k, \quad k=1,2,\dots,n.
$$
Tov\'abb\'a, $\limm_{n\to\infty}
P(S_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$.
\item{} $S_n$ binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $n$ \'es $p=\dfrac\lambda n$ param\'eterrel. Tov\'abb\'a,
$\limm_{n\to\infty}\dbinom nk \(\dfrac \lambda n\)^k
=\dfrac{\lambda^k}{k!}$, \'es $\limm_{n\to\infty}\(1-\dfrac\lambda
n\)^{n-k}=\limm_{n\to\infty} \(1-\dfrac \lambda n\)^n=e^{-\lambda}$.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyik megsz\'aml\'alhat\'o sok $x_1,x_2,\dots$, \'er\-t\'e\-ket
vesz fel. Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k).
$$
}\medskip \noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'enek
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzete $\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2$. Be lehet
l\'atni, hogy $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$.} \medskip
\item{6.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as}\/
$$
E\xi=\sum_{k=0}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}
=\lambda\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\lambda.
$$
$$
\align
E\xi^2&=\sum_{k=0}^\infty k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=\sum_{k=0}^\infty k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}+
\sum_{k=0}^\infty k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
&=\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}+
\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}
=\lambda\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}+
\lambda^2\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\
&=\lambda+\lambda^2.
\endalign
$$
Ez\'ert
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=(\lambda+\lambda^2)-\lambda^2=\lambda$.
\medskip
 
 \bye
