\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 31-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
\item{5.} Egy kulcs-csom\'on van harminc sz\'amunkra
megk\"ul\"onb\"oztethetetlen kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyitja a
z\'arat. V\'eletlenszer\H{u}en egym\'as ut\'an kipr\'ob\'aljuk a
kulcsokat, eg\'eszen addig, amig sike\"ul kinyitni a z\'arat. Mi
a sz\"uks\'eges kis\'erletek sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} Ezt a feladatot t\'argyaltuk a m\'ult \'or\'an. Most
megbesz\'el\"unk egy m\'asik lehets\'eges megold\'ast.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Vezess\"uk be, a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_k=0$,  ha a
$k$-ik  kis\'erletben megpr\'ob\'alt kulcs nem nyitja a z\'arat, (akkor
is, ha nincs $k$-ik kis\'erlet), $\xi_k=k$, ha a $k$-ik  kulcs nyitja a
z\'arat. Ekkor $\xi=\summ_{k=1}^{30}\xi_k$, $E\xi=\summ_{k=1}^{30}
E\xi_k=\dfrac k{30}$, $E\xi =\summ_{k=1}^{30} \dfrac k{30}$. A $\xi_k$
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kiss\'e nehezebb ezen m\'odszer
seg\'{\i}t\'eg\'evel kisz\'amolni, mert a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Viszont, ha
tudjuk, hogyan kell kisz\'amolni \'altal\'anos nem felt\'etelen\"ul
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, akkor ez is lehets\'eges. Ez\'ert
felid\'ezz\"uk a sz\"uks\'eges eredem\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=
\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor ezek kovarianci\'aja
$\text{Cov}\,(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]
=E\xi\eta-E\xi E\eta$. A kovariancia egy term\'eszetes m\'er\'ese
annak, hogy k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o milyen
m\'ert\'ekben f\"ugg \"ossze. Ez a mennyis\'eg szerepelt az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kifejez\'es\'eben. Ha $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\text{Cov}\,(\xi,\eta)=0$. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$.\medskip
\medskip
\item{}  Jelen esetben $\xi_j\xi_k=0$, ha $j\neq k$. Ez\'ert
$\text{Cov}\,(\xi_j,\xi_k)=-E\xi_j E\xi_k$, ha $j\neq k$, $\Var
\xi_k=E\xi_k^2-(E\xi_k)^2$. Innen $\Var
\xi=\Var\(\summ_{k=1}^{30}\xi_k\) =\summ_{k=1}^{30}E\xi_k^2-
\(\summ_{k=1}^{30}E\xi_k\)^2=\summ_{k=1}^{30}\dfrac
{k^2}{30}-\(\summ_{k=1}^{30}\dfrac k{30}\)^2$.
\medskip
\item{2.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 80 feh\'er goly\'o van.
Visszatev\'es n\'elk\"ol kih\'uzzuk a goly\'okat. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} goly\'o piros?
Annak, hogy az \"ot\"odik kih\'uzott goly\'o piros? Annak, hogy az
els\H{o} \'es m\'asodik kih\'uzott goly\'o piros? Annak, hogy a
m\'asodik \'es \"ot\"odik kih\'uzott goly\'o piros?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} kih\'uzott goly\'o piros $\dfrac{20}{100}=\dfrac15$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
kih\'uzott goly\'o piros $\dfrac{20}{100}\dfrac{19}{99}$. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
\"ot\"odik (vagy ak\'armelyik) kih\'uzott goly\'o piros ugyanannyi
mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} kih\'uzott
goly\'o piros. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik
\'es \"ot\"odik (\'altal\'aban az $i$-edik \'es $j$-ik kih\'uzott
goly\'o piros, $i\neq j$, ugyanannyi mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik goly\'o
kih\'uzott goly\'o piros.
\item{} Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy kih\'uzva az \"osszes goly\'ot egy
el\H{o}\'{\i}rt (20 piros \'es 80 feh\'er sz\'{\i}n\H{u} goly\'ob\'ol
\'all\'o sorozatot kapok. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac{20!
80!}{100!}$. A l\'enyeg az, hogy ugyanaz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
jelenik meg minden lehets\'eges h\'uz\'assorozat eset\'eben. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a  $j$-ik h\'uz\'as piros
megegyezik az \"osszes olyan sorozatok sz\'ama szorozva ezzel a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ahol a $j$-ik helyen piros van.
Hasonl\'oan annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-ik \'es
$j$-ik helyen van piros, $i\neq j$, nem f\"ugg az $i$ \'es $j$
sz\'amt\'ol, mert az ilyen sorozatok sz\'ama nem f\"ugg
az $i$ \'es $j$ indext\H{o}l.
\medskip{} Az el\H{o}bbi \'ervel\'es finom\'{\i}t\'asa alkalmazhat\'o
kiss\'e \'altal\'anosabb esenben is, amikor k\'et $k$ \'es $l$ eg\'esz
sz\'amot r\"ogz\'{\i}tek, \'es ha kih\'{\i}zok egy feh\'er goly\'ot,
akkor $k$ darab feh\'er goly\'ot dobok vissza, ha piros
goly\'ot h\'uzok ki, akkor $l$ piros goly\'ot dobok visszza, ($k=l=0$
v\'alaszt\'as is megengedett). Vegy\"uk \'eszre, hogy ebben az
\'altal\'anosabb esetben is egy el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak a sorozatban szerepl\H{o} feh\'er \'es
piros goly\'ok sz\'am\'at\'ol f\"ugg, \'es az el\H{o}z\H{o}
\'ervel\'es ebben az esetben is m\H{u}d\"odik. \medskip
\item{3.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 80 feh\'er goly\'o van.
Visszatev\'es n\'elk\"ol kih\'uzzuk 10 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melyre $\xi_j=1$, ha a  $j$-ik
h\'uz\'as piros, 0 ha a  $j$-ik h\'uz\'as  feh\'er. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. $E\xi_j=E\xi_1=\dfrac15$, $1\le j\le10$, ez\'ert
$E\xi=2$. A $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
f\"uggetlenek, de az el\H{o}bb t\'argyalt t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'amolni az \"osszeg\"uk
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ehhez vegy\"uk \'eszre, hogy $\Var \xi_j=\Var
\xi_1=\dfrac15-\(\dfrac15\)^2$, $E\xi_j\xi_k=P(\xi_j=1,\xi_k=1)
=P(\xi_1=1,\xi_2=1)=\dfrac15\dfrac{19}{99}$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\dfrac15\(\dfrac{19}{99}-\dfrac15\)=-\dfrac{16}{9900}$,
ha $j\neq k$. Innen
$\Var\xi=10\(\dfrac15-\dfrac1{25}\)-\dfrac{90\cdot16}{9900}
=\dfrac{16}{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Visszatev\'es n\'elk\"ol kih\'uzzuk 20 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat \'all\'{\i}t\'as\'at gyakran
h\'{\i}vj\'ak teleszk\'op szab\'alynak.
\item{4.)}
$$
\align
P(B_1\cap\cdots\cap B_n)=P&(B_1|B_2\cap\cdots\cap B_{n-1}
\cap B_n)P(B_2|B_3\cap\cdots\cap B_{n-1}\cap B_n) \\
&\qquad\cdots P(B_{n-1}|B_n)P(B_n),
\endalign
$$
ha $P(B_2\cap\cdots\cap B_n)>0$.
\item{5.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Kisz\'amoltuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\item{6.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk, majd feldobunk egy
szab\'alyos p\'endarabot 10-sze annyi alkalommal, mint amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye volt. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $Z_j$ a fejdob\'asok sz\'ama, ha a
kockadob\'as eredm\'enye $j$ volt \'es nulla k\"ul\"onben, $1\le j\le
6$, legyen $Z_{j,k}=1$, ha a kockadob\'as eredm\'enye  $j$ \'es a
$k$-ik p\'enzdob\'as eredm\'enye fej, $1\le j\le 6$, $1\le k\le 10j$.
Ekkor minket a $Z=\summ_{j=1}^6 Z_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Tov\'abb\'a, $Z_{j}=\summ_{k=1}^{10j}Z_{j,k}$. Innen,
$EZ=\summ_{j=1}^6 EZ_j$, $EZ_{j}=\summ_{k=1}^{10j}EZ_{j,k}
=\dfrac{10j}{12}$. Innen, $EZ=\dfrac{35}2$.
\item{} $Var Z=\summ_{j=1}^6\Var Z_j+\summ\Sb 1\le j,k\le 6\\ j\neq
l\endSb(EZ_jZ_k-EZ_jEZ_k)$. Tov\'abb\'a, $EZ_jZ_k=0$, mert $Z_jZ_k=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $j\neq k$, \'es
$EZ_jEZ_k=\dfrac{100jk}{144}$, ez\'ert $EZ_jZ_k-EZ_jEZ_k=
-\dfrac{100jk}{144}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
\Var Z_j=\summ_{k=1}^{10j}\Var Z_{j,k}+\summ\Sb 1\le k,l\le 10j\\
k\neq l\endSb \(EZ_{j,k}Z_{j,l}-EZ_{j,k}EZ_{j,l}\),
$$
$\Var Z_{j,k}=\dfrac1{12}-\dfrac1{144}=\dfrac{11}{144}$,
$EZ_{j,k}Z_{j,l}=\dfrac16\cdot\dfrac14=\dfrac1{24}$,
$EZ_{j,k}=\dfrac1{12}$, $EZ_{j,k}Z_{j,l}-EZ_{j,k}EZ_{j,l}=\dfrac5{144}$,
$\Var Z_j=\dfrac{110}{144}j+\dfrac{50}{144}j(10j-1)=\dfrac{500}{144}j^2
+\dfrac{60}{144}j$. Innen, $\Var Z=\dfrac{10}{144}
\(\summ_{j=1}^6(50j^2+6j)-\summ\Sb 1\le j,k\le 6\\ j\neq k\endSb
10jk\)$=140.
\item{7.} Az $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=0$, ha $x<0$
exponenci\'alis eloszl\'as teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
\'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot: Ha $\xi$ $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi<x)=F(x)$ akkor $P(\xi>x+y|\xi>x)=P(\xi>y$. Mi\'ert nevezik ezt
a tulajdons\'agot \"or\"okifj\'u tulajdons\'agnak?
\item{8.} Ha $\xi$ negat\'{\i}v binomi\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1$
param\'eterrel, azaz $P(\xi=k)=p^k(1-p)$, $k=0,1,2,\dots$, valamilyen
$0<p<1$ sz\'ammal, akkor ez teljes\'{\i}ti az \"or\"okifj\'u
tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o} diszkr\'et v\'altozat\'at: $P(\xi\ge
k+l|\xi\ge k)=P(\xi\ge l)$. Mi ennek az azonoss\'agnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi magyar\'azata?
\item{} {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi magyar\'azat:}\/ Dobjunk fel
egy p\'enzdarabot, mely az egyes dob\'asok sor\'an a t\"obbi
dob\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul esik $p$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $1-p$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra egym\'as
ut\'an eg\'esz addig m\'{\i}g meg nem jelenik egy \'{\i}r\'as dob\'as.
Ekkor $P(\xi\ge l)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} $l$ dob\'as eredm\'enye fej, a  $P(\xi\ge k+l|\xi\ge k)$ pedig
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy felt\'eve, hogy az
els\H{o} $k$ dob\'as \'{\i}r\'as, akkor legal\'abb $l$ \'{\i}r\'as
k\"ovetkezik a  fejdob\'as megjelen\'es\'eig.
\item{9.} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda
x}\,dx=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[x^2
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2x e^{-\lambda
x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var
\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}
=\dfrac1{\lambda^2}$.
 
 \bye
 
\item{9.} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 10
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len dobozba.) Ez egyik f\'ar\'ol
szedett alm\'ak $\dfrac14$ a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig
$\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel f\'ergesek.
Kivesz\"unk az egyik dobozb\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o}
f\'erges. Ezek ut\'an kivesz\"unk a m\'asik dobozb\'ol egy alm\'at. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\medskip
Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} almaf\'ar\'ol
leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'at \'es $A_2$ azt az
esem\'enyt, hogy az m\'asodik almaf\'ar\'ol leszedett alm\'akat
tartalmaz\'o l\'ad\'at v\'alasztottuk az els\H{o} kis\'erletre.
Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy e l\'ad\'ab\'ol kiv\'alasztott
k\'et alma f\'erges. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$P(A_1|B)$ \'es $P(A_2|B)$ felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket.
 
Mivel $P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1\cap B)}{P(B)}$, $P(B)=P(A_1\cap
B)+P(A_2\cap B)$, $P(A_1\cap B)=\dfrac12\cdot\dfrac1{16}$,
$P(A_2\cap B)=\dfrac12\cdot\dfrac1{100}$, ez\'ert
$P(A_1|B)=\dfrac{\frac12\cdot\frac1{16}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$.
Hasonl\'oan, $P(A_2|B)=\dfrac{\frac12\cdot\frac1{100}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$. Jel\"olje $C$ azt
az esem\'enyt, hogy a m\'asik l\'ad\'ab\'ol veletlen\"ul kiv\'alasztott
alma nem f\'erges. Ekkor minket a $P(C|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
 
Viszont $P(C|A_1\cap B)=P(C|A_1)=\dfrac9{10}$,
$P(C|A_2\cap B)=P(C|A_2)=\dfrac34$,  $P(C|B)=
P(C\cap A_1|B)+P(C\cap A_2|B)=P(C|A_1\cap B)P(A_1|B)+ P(C|A_2\cap
B)P(A_2|B)$. Ez\'ert $P(C|B)=\dfrac9{10}\cdot
\dfrac{\frac12\cdot\frac1{16}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}+\dfrac3{4}
\cdot\dfrac{\frac12\cdot\frac1{100}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$.
 
 
 \bye
