\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 10-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladattal foglalkoztunk, mely a
polinomi\'alis eloszl\'as meg\-\'er\-t\'e\-s\'et seg\'{\i}ti.
\item{1.} Van $n$ darab goly\'onk, melyeket egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul bedobunk $k$ darab urn\'aba. A goly\'ok az els\H{o}
urn\'aba $p_1$ a m\'asodik urn\'aba $p_2$, \dots, a $k$-ik urn\'aba
$p_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek, $\summ_{j=1}^k p_j=1$.
Mutassuk meg, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
urn\'aba $m_1$, a m\'asodik urn\'aba $m_2$, \dots, a $k$-ik urn\'aba
$m_k$ goly\'o esik, $\summ_{j=1}^k m_j=n$,
$$
\frac{n1}{m_1! m_2!\cdots m_k!} p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}.
$$
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a goly\'okat, $1$-t\H{o}l
$n$-ig, \'es sz\'amoljuk meg h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet
ezeket a goly\'okat \'ugy elhelyezni, hogy az els\H{o} urn\'aba
pontosan $m_1$, a m\'asodik urn\'aba $m_2$, \dots a $k$-ik urn\'aba
pontosan $m_k$ goly\'ot helyez\"unk el. N\'ezz\"uk meg,
h\'anyf\'elek\'epp v\'alaszthatjuk ki az els\H{o} urn\'aba tett $m_1$
goly\'ot. Az els\H{o} goly\'ot $n$, a m\'asodik goly\'ot $n-1$, \dots
az $m_1$-ik goly\'ot $n-m_1+1$ f\'elek\'eppen v\'alaszthatjuk. Ez
\"osszesen $n(n-1)\cdots(n-m_1+1$ lehet\H{o}s\'eget jelent. Ezut\'an a
m\'asodik urn\'aba $(n-m_1)\cdots(n-m_1-m_2+1)$ m\'odon v\'alaszthatunk
$m_2$ goly\'ot. Tov\'abb folytatva \"osszesen $n!$ lehet\H{o}s\'eget
kapunk. Viszont az elhelyez\'eseket multiplicit\'assal sz\'amoltuk.
(Megk\"ul\"unb\"oztett\"uk p\'eld\'aul azt a v\'alaszt\'ast, amikor
el\H{o}sz\"or a m\'asodik majd az \"ot\"odik goly\'ot tessz\"uk az
els\H{o} urn\'aba att\'ol, amikor el\H{o}sz\"or az \"ot\"odik majd a
m\'asodik goly\'ot tessz\"uk az els\H{o} urn\'aba.) Minden egyes
elhelyez\'est $m_1! m_2!\cdots m_k!$ multiplicit\'assal sz\'amoltunk.
Ez\'ert az \"osszes lehets\'eges v\'alaszt\'asok sz\'ama
$$
\dfrac{n!}{m_1! m_2!\cdots m_k!}.
$$
Tov\'abb\'a, egy el\H{o}\'{\i}rt elrendez\'es bek\"ovetkez\'es\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, azaz annak hogy megmondjuk melyik urn\'aba
dobjuk az els\H{o}, a m\'asodik \'es \'{\i}gy tov\'abb az $n$-ik
goly\'ot \'ugy hogy $m_1$ goly\'ot dobunk az els\H{o}, \dots $m_k$
goly\'ot dobunk a $k$-ik urn\'aba $p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$. Innen
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\item{} (A m\'ult gyakorlaton egy m\'as m\'odon v\'egezt\"uk el a fenti
\"osszesz\'aml\'al\'ast. Az els\H{o} un\'aba $m_1$ a t\"obbibe
egy\"uttv\'eve $n-m_1$ goly\'ot $\dbinom n{m_1}$ f\'elek\'eppen
helyezhetek el. A megmaradt $n-m_1$ goly\'ob\'ol $\dbinom{n-m_1}{m_2}$
f\'elek\'eppen v\'alaszhatok $m_2$ goly\'ot a m\'asodik urn\'aba, \'es
\'{\i}gy tov\'abb. Az \"osszes lehets\'eges v\'alaszt\'as sz\'ama
$$
\prod_{j=1}^k\binom{n-(m_1+\cdots+m_{j-1})}{m_j}=\dfrac{n!}{m_1!\cdots
m_k!}.
$$
\item{2.}
$$
(x_1+\cdots+x_k)^n=\sum \Sb m_1,\dots,m_k\text{ nem negat\'{\i}v
eg\'esz sz\'amok}\\   m_1+\cdots+m_k=n\endSb x_1^{m_1}\cdots m_k^{m_k}.
$$
(Ezt az eredm\'enyt h\'{\i}vj\'ak polinomi\'alis t\'etelnek.)
\item{} Az $(x_1+\cdots+x_k)^n=(x_1+\cdots+x_k)\cdots(x_1+\cdots+x_k)$
szorzatban elv\'egezz\"uk a szorz\'asokat. Csak olyan $x_1^{m_1}\cdots
m_k^{m_k}$ tagok jelennek meg, melyekre $\summ_{j=1}^k m_j=n$, \'es egy
ilyen tag egy\"utthat\'oja a megadott mennyis\'eg az el\H{o}z\H{o}
feladat megold\'asa alapj\'an.
 \medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyik megsz\'aml\'alhat\'o sok $x_1,x_2,\dots$, \'er\-t\'e\-ket
vesz fel. Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k).
$$
}\medskip \noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'enek
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzete $\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2$. Be lehet
l\'atni, hogy $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$.} \medskip
 
\item{3.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
A fejdob\'asok sz\'ama
0 \'es 100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=\dfrac14\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k2^{-98}+
\dfrac12\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k 2^{-99}=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\medskip
Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egysze\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk
n\'eh\'any fontos eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, melyeket most
felid\'ez\"unk. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, $f(x)$ valamilyen f\"uggv\'eny, akkor
$Ef(\xi)=\summ_{k=1}^\infty p_kf(x_k)$.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$E(\xi_1+\cdots+\xi_n)=E\xi_1+\cdots+E\xi_n$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es;}\/ Ez az eredm\'eny tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra igaz. Nem k\"ovetelt\"uk meg
p\'eld\'aul azt, hogy az \"osszeadand\'ok f\"uggetlenek legyenek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\Var(\xi_1+\cdots+\xi_n)=\Var\xi_1+\cdots+\Var\xi_n$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $E(a\xi+b)=aE\xi+b$, $\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi$
minden val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amra.} \medskip
 
\item{} {\it M\'asoik megold\'as:} \/ Vezess\"uk be a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le100$. Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$, $E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$,
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac12$,
$E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
 
 
\item{4.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
A negyedik feladat hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Ekkor annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a dob\'asok \"usszeg\'enek
\'ert\'eke egy adott sz\'am rendk\'{\i}v\"ul f\'arads\'agos
lenne kisz\'amolni. Vi\-szont a m\'asodik m\'odszer egyszer\H{u}en
alkalmazhat\'o ebben az esetben is.
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros dob\'asok eredm\'enyeinek az
\"osszeg\'et. (Azaz  a p\'aratlan dob\'asok eredm\'eny\'et nem
vessz\"uk figyelembe, a t\"obbi dob\'as eredm\'eny\'et
pedig \"osszegezz\"uk.) Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.} Egy kulcs-csom\'on van harminc sz\'amunkra
megk\"ul\"onb\"oztethetetlen kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyitja a
z\'arat. V\'eletlenszer\H{u}en egym\'as ut\'an kipr\'ob\'aljuk a
kulcsokat, eg\'eszen addig, amig sike\"ul kinyitni a z\'arat. Mi
a sz\"uks\'eges kis\'erletek sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely $k$-val egyenl\H{o}
akkor, ha a $k$-ik kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat. Ekkor
$P(\xi=k)=\dfrac1{30}$, $1\le k\le 30$. A minket \'erdekl\H{o}
mennyis\'egek $E\xi=\summ_{k=1}^{30}
k\dfrac1{30}=\dfrac{30\cdot31}{2\cdot30}=15.5$, \'es $\Var
\xi=E\xi^2-(E\xi)^2$, $E\xi^2=\dfrac1{30}\summ_{k=1}^{30} k^2=\dfrac
{30\cdot 31\cdot 61}{6\cdot30}=\dfrac{31\cdot61}6$.
 
\bye
 
 
