\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 7-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
Besz\'elj\"uk meg a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tal\'an
legfontosabb eredm\'eny\'et illetve annak n\'eh\'any alkalmaz\'as\'at.
 
El\H{o}sz\"or vezess\"uk be a
standard norm\'alis eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at \'es foglamzzunk meg egy eredm\'enyt ezzel kapcsolatban.
\medskip\noindent
{\bf Standard norm\'alis eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha
$P(\xi<x)=\Phi(x)=\dsize \int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$. Ezen $\Phi(x)$ eloszl\'as
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-nek h\'{\i}vj\'ak.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it A standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enynek
nevezett
$$P(\xi<x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
$$
f\"uggv\'eny val\'oban eloszl\'asf\"uggv\'eny, azaz
$\dsize \int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1$.} \medskip
\item{1.} Egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete egy, azaz
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=0,
\quad\text{\'es}\quad E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty u^2 \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}$
p\'aratlan f\"uggv\'eny, ez\'ert
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=0.
$$
M\'asr\'eszt, parci\'alis integr\'al\'assal $f(u)=u$, \'es $g(u)=
u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}=-\dfrac1{\sqrt
{2\pi}}\dfrac{e^{-u^2/2}}{du}$ v\'alaszt\'assal
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty u^2 \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=\[-\frac1{\sqrt{2\pi}}
ue^{-u^2/2}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek $\xi_j$,
$j=1,2,\dots$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_1=m$, $\Var
\xi_1=\sigma^2$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac{S_n-nm}{\sqrt n \sigma}<x\)
=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du.
$$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
Annak \'erdek\'eben, hogy a  centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
j\'ol tudjuk alkalmazni t\'argyaljuk meg k\"ul\"on a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} feladatot.
\item{2.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$P(\xi<-x)=P(\xi>x)=1-\Phi(x)$, $P(|\xi|<x)=P(\xi<x)-P(\xi<-x)=
2P(\xi<x)-1=2\Phi(x)-1$, ha $x\ge0$, ahol
$\Phi(x)=\dsize\frac1{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-u^2/2}\,du$ a
standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\item{3.}Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er!
\medskip\noindent
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a $\xi_j$, $\le
j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le 10~000$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o}k,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kell becsl\'est adnunk.
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
\item{4.} Sz\'amoljuk ki egy $(1,p)$ param\'eter\H{u} $\xi$
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
(Azaz $P(\xi=k)=(1-p) p^{k-1}$, $k=1,2,\dots$).
\medskip \item{} Ha $\xi$ $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k(1-p) p^{k-1} \qquad
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2(1-p) p^{k-1}
$$
Ezen \"osszegek egyik lehets\'eges kisz\'amol\'asa:
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\dfrac 1{1-x}$, ha $|x|<1$. K\'et egym\'as
ut\'ani deriv\'al\'assal kapjuk, hogy $\summ_{k=1}^\infty
kx^{k-1}=\dfrac 1{(1-x)^2}$ \'es $\summ_{k=2}^\infty
k(k-1)x^{k-2}=\dfrac 2{(1-x)^3}$. Innen $\summ_{k=1}^\infty
kp^{k-1}=\dfrac 1{(1-p)^2}$, $\summ_{k=1}^\infty k^2 p^{k-1}=
\summ_{k=1}^\infty k p^{k-1}+p\summ_{k=2}^\infty k(k-1) p^{k-2}=
\dfrac 1{(1-p)^2}+\dfrac {2p}{(1-p)^3}$, \'es $E\xi=\dfrac 1{1-p}$,
$E\xi^2=\dfrac 1{1-p}+\dfrac {2p}{(1-p)^2}$. Ez\'ert
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac p{(1-p)^2}$.
\item{5.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1430 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1200$,
$p=\dfrac13$ param\'eterekkel, \'es egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz azt,
hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel.
Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara egy bonyolult
\"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'enak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el
hasznosabb becsl\'est tudunk kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'o pontoss\'aggal kisz\'am\'{\i}tja a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$  a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac13$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 4. feladatban),
hogy $E\xi_j=\dfrac1{1-p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
p{(1-p)^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=2$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 2 $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5, $1\le j\le 2700$. Ekkor minket a
$P\(420<\summ_{j=1}^{2700}\xi_j<720\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'erdekel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
\'es alkalmazzuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
\medskip \item{6.} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda
x}\,dx=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[x^2
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2x e^{-\lambda
x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var \xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}
=\dfrac1{\lambda^2}$.
 
\item{7.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\medskip
\item{} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa \'el\'ettartam\'at, $1\le
j\le100$. Ekkor a $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adnunk, ahol az
\"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac m{\lambda^2}=10
000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$ v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sze\-rint
$\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var \eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
 
 \bye
 
 
 \bye
