A november 7-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Beszéljük meg a valószínűségszámítás talán legfontosabb eredményét illetve annak néhány alkalmazását.

Először vezessük be a standard normális eloszlás és sűrűségfüggvény definicióját és foglamzzunk meg egy eredményt ezzel kapcsolatban.

Standard normális eloszlás és sűrűségfüggvény definiciója. Egy ξ valószínűségi

változó standard normális eloszlású, ha P (ξ < x) = Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du. Ezen

Φ(x) eloszlás φ(u) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} sűrűségfüggvényét a standard normális sűrűségfügg-

vénynek hívják.

Tétel. A standard normális eloszlásfüggvénynek nevezett

P (ξ < x) = Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du

függvény valóban eloszlásfüggvény, azaz ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 1.

1. Egy ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke nulla, szórásnégyzete egy, azaz

Eξ = ∫_{−∞}^{∞} u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 0, és Eξ^{2} = ∫_{−∞}^{∞} u^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 1.

Megoldás: Mivel u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} páratlan függvény, ezért

Eξ = ∫_{−∞}^{∞} u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 0.

Másrészt, parciális integrálással f(u) = u, és g(u) = u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} = −\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{e^{−u^{2}/2}}{du}

választással

Eξ^{2} = ∫_{−∞}^{∞} u^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = [−\frac{1}{\sqrt{2π}} ue^{−u^{2}/2}]_{−∞}^{∞} + ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 1.

Centrális határeloszlástétel. Legyenek ξ_{j}, j = 1, 2, … független egyforma eloszlású

valószínűségi változók sorozata, Eξ_{1} = m, Var ξ_{1} = σ^{2}, S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, n = 1, 2, . . .. Ekkor

lim_{n→∞} P (\frac{S_{n} − nm}{\sqrt{n}σ} < x) = Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du.

minden −∞ < x < ∞ számra.

Annak érdekében, hogy a centrális határeloszlástételt jól tudjuk alkalmazni tárgyaljuk meg külön a következő egyszerű feladatot.

2. Ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor P (ξ < −x) = P (ξ > x) = 1 − Φ(x), P (|ξ| < x) = P (ξ < x) − P (ξ < −x) = 2P (ξ < x) − 1 = 2Φ(x) − 1,

ha x ≥ 0, ahol Φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{x} e^{−u^{2}/2} du a standard normális eloszlásfüggvény.

3. Tekintsünk egy szabályos pénzdarab 10 000 egymás utáni (független) feldobásából származó fej-írás sorozatot. Adjunk becslést a centrális határeloszlástétel segítségével annak valószínűségére, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000 számtól legalább 100-zal, illetve legalább 200-zal eltér!

Megoldás: Vezessük be a ξ_{j}, ≤ j ≤ 10 000 valószínűségi változókat, melyekre ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10 000 független valószínűségi változők, Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4}, és a

P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 100) és P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 200) valószínűségekre kell

becslést adnunk. A centrális határeloszlástétel szerint P (\frac{∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})}{\sqrt{10000 · \frac{1}{4}}} > u) ∼

1 − Φ(u). Innen kapjuk, hogy az első valószínűség kiszámításához az u = ± \frac{100}{\frac{1}{2} ·100} = ±2 értékeket kell tekinteni, és a vizsgált valószínűség közelítőleg (1 − Φ(2)) + Φ(−2) = 2(1 − Φ(2)) ∼ 2(1 − 0.97720) = 0.0456. A második valószínűség hasonlóan körülbelül 2(1 − Φ(4)) ∼ 0, (az első 4 tizedesjegy 0).

4. Számoljuk ki egy (1, p) paraméterű ξ negativ binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét. (Azaz P (ξ = k) = (1 − p)p^{k−1}, k = 1, 2, …).

Ha ξ (1, p) paraméterű negativ binomiális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} k(1 − p)p^{k−1} Eξ^{2} = ∑_{k=1}^{∞} k^{2}(1 − p)p^{k−1}

Ezen összegek egyik lehetséges kiszámolása: ∑_{k=0}^{∞} x^{k} = \frac{1}{1 − x}, ha |x| < 1. Két

egymás utáni deriválással kapjuk, hogy ∑_{k=1}^{∞} kx^{k−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}} és ∑_{k=2}^{∞} k(k−1)x^{k−2} =

\frac{2}{(1 − x)^{3}} . Innen ∑_{k=1}^{∞} kp^{k−1} = \frac{1}{(1 − p)^{2}} , ∑_{k=1}^{∞} k^{2}p^{k−1} = ∑_{k=1}^{∞} kp^{k−1} + p ∑_{k=2}^{∞} k(k −

1)p^{k−2} = \frac{1}{(1 − p)^{2}} + \frac{2p}{(1 − p)^{3}} , és Eξ = \frac{1}{1 − p}, Eξ^{2} = \frac{1}{1 − p} + \frac{2p}{(1 − p)^{2}} . Ezért

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{p}{(1 − p)^{2}} .

5. Vegyünk egy olyan pénzdarabot, mely \frac{2}{3} valószínűséggel esik a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalra. Ezt a pénzdarabot annyiszor dobjuk fel, ameddig megjelenik 1200 fej dobás. Mi annak a valószínűsége, hogy az elvégzett dobások száma 1680 1430 küzé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést. Az elvégzett dobások száma negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó n =

1200, p = \frac{1}{3} paraméterekkel, és egy ilyen valószínűségi változónak ki lehet számolni a pontos eloszlását, azaz azt, hogy milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel. Elvileg, ez lehetőséget ad a kívánt valószínűség kiszámítására egy bonyolult összeg kiszámításénak a segítségével. Ennél hasznosabb becslést tudunk kapni a következő érvelés segítségével, mely a kívánt valószínűséget jó pontossággal kiszámítja a centrális határeloszlástétel segítségével. Jelölje ξ_{j}, 2 ≤ j ≤ 1200 a j − 1-ik és j-ik fejdobás közötti dobások számát (a j-ik fejdobást beleszámítjuk a j − 1-iket viszont nem számítjuk bele e dobások közé), és legyen ξ_{1} az első fejdobásig (ezt is beleszámítva) elvégzett dobások száma. Ekkor a

ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, negatív binomiális eloszlásúak n = 1, p = \frac{1}{3} paraméterekkel, és minket a P (1680 < ξ_{1} +⋯+ξ_{1200} < 1830) valószínűség érdekel.

Megmutattuk a 4. feladatban), hogy Eξ_{j} = \frac{1}{1 − p} = \frac{3}{2}, Var ξ_{j} = \frac{p}{(1 − p)^{2}} = \frac{3}{4}.

Ezért a centrális határeloszlástétel alapján η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} jelöléssel minket

a P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) valószínűség érdekel. A centrális határeloszlástétel

alapján P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) ∼ Φ (1) + Φ(4) − 1 ∼ Φ(1).

Házi feladat. Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik. Segítség: Vezessük be a ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2 ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás

eredménye 1, 3 vagy 5, 1 ≤ j ≤ 2700. Ekkor minket a P (420 < ∑_{j=1}^{2700} ξ_{j} < 720)

valószínűség érdekel. Számítsuk ki a ξ_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét, és alkalmazzuk a centrális határeloszlástételt.

6. Számoljuk ki egy λ paraméterű ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

Megoldás: Parciális integrálással kapjuk, hogy

Eξ = ∫_{0}^{∞} xλe^{−λx} dx = [−xe^{−λx}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} e^{−λx} dx = \frac{1}{λ},

Eξ^{2} = ∫_{0}^{∞} x^{2}λe^{−λx} dx = [x^{2}e^{−λx}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} 2xe^{−λx} dx = \frac{2}{λ^{2}} .

Ezért Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{2}{λ^{2}} − \frac{1}{λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} .

7. Legyen birtokunkban 100 lámpa, melyek mindegyike egymástól független időtar-

tamig működik, élettartamuk pedig exponenciális eloszlású λ = \frac{1}{10} paraméterrel. (A lámpák élettartamának exponenciális eloszlása természetes feltételezés.) Egy termet bevilágítunk ezen lámpák valamelyikével, majd amikor az kiégett új lámpát használunk fel. Adjunk jó becslést arra, hogy a lámpák összélettartama legalább 1150 óra.

Jelölje ξ_{j} a j-ik lámpa éléttartamát, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a P (ξ_{1} +⋯+ξ_{100} > 1150) valószínűségre kell jó becslést adnunk, ahol az összegben független exponenciális eloszlású valószínűségi változók szerepelnek λ = \frac{1}{10} paraméterrel. Vezessük be az η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} jelölést.

Kiszámoltuk, hogy jelen esetben Eη = mEξ_{1} = \frac{m}{λ} = 1000, Var η = \frac{m}{λ^{2}} =

10000 (m = 100 és λ = \frac{1}{10} választással). Ezért a centrális határeloszlástétel sze-

rint \frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} = \frac{η − 1000}{100} jó közelítéssel standard normális eloszlású valószínűségi

változó, és P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > 1150) = P (\frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} > 1.5) ∼ 1 − Φ(1.5).