\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A november 21-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\item{1.} Egy \'allamban, (nevezz\"uk az egyszer\H{u}s\'eg
kedv\'e\'ert Florid\'anak,) 5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt k\'et
p\'art (h\'{\i}vjuk ezeket mondjuk republik\'anus \'es demokrata
p\'artnak) jel\"oltje k\"oz\"ott. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-laszt\-j\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et jel\"olt \'altal
\"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a
h\'aromsz\'azat.
\item{} Az egyik jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u
$\frac12\cdot5~000~000$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\frac14\cdot
5~000~000$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a k\'et jel\"oltre adott szavazatok  k\"ul\"onbs\'ege kisebb mint
300 megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az egyik
jel\"oltre adott szavazatok sz\'ama a szavazatok v\'ar\-ha\-t\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l kevesebb mint 150-nel t\'er el, ez pedig
k\"or\"ulbel\"ul, $\Phi\(\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)
=2\Phi\(\dfrac{6\sqrt5}{100}\)-1\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megjegyezni, hogy igaz a
centr\'alis hat\'areloszl\'as t\'etel k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} lok\'alis
v\'altozata is a binomi\'alis eloszl\'asra. Ha $\xi$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es
$p$ param\'eterekkel, akkor $\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eke $mn=np$,
sz\'or\'asn\'egyzete $n\sigma^2=np(1-p)$, \'es
$P(\xi=k)=P\(\dfrac{\xi-nm}{\sqrt n\sigma}=\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)\sim \dfrac1{\sqrt n\sigma} \varphi\(\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)=\dfrac1{\sqrt{2\pi
n}\sigma}\exp\(\dfrac{(k-nm)^2}{2n\sigma^2}\)$, ahol
 $\varphi(x)=\dfrac1{2\pi}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Az el\H{o}bb tekintett
esetben $n=5~000~000$, $p=\frac12$, $-150\le k\le 150$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket kell kisz\'am\'{\i}tani, \'es
$k$-ra \"osszegezni. Ebben az esetben a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt a nulla k\"ozel\'eben kell venn\"unk,
\'es a k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}\'esegre j\'o becs\'es
$\dfrac1{\frac12\sqrt {2\pi \cdot5000000}}\cdot300
\sim\dfrac6{10\sqrt{10\pi}}\sim\dfrac1{10}$. \medskip\noindent
\item{}{\it 2. Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban az els\H{o} feladatban
t\'argyalt modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban vannak
csoportok, melyeknek azonos a v\'elem\'eny\"uk. Tegy\"uk fel, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
f\"uggetlen, de az egyes csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
megegyezik. K\'erd\'es: Hogyan befoly\'asolja ez a t\'eny annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy rendk\'{\i}v\"ul szoros
v\'alaszt\'asi eredm\'eny sz\"ulessen? Be fogjuk l\'atni, hogy
e t\'eny figyelembev\'etele cs\"okkenti a szoros v\'alaszt\'asi eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
\item{} A fenti k\'erd\'es azzal f\"ugg \"ossze, hogy ha
k\"ul\"onb\"oz\H{o} embereknek azonos a v\'e\-le\-m\'e\-ny\"uk, akkor
az egyik jel\"oltre leadott (v\'eletlen, k\"ozel norm\'alis
eloszl\'as\'u) sz\'am\'anak a sz\'or\'asa n\H{o} vagy cs\"okken. A
feladatot \'ugy is reprezent\'alhatjuk, hogy egyes csoportokb\'ol
kijel\"ol\"unk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a
csoport tagjainak a sz\'ama, a t\"obbi ember nem szavaz. Az, hogy
ebben az esetben nem v\'altozik az egyik jel\"oltre leadott szavazatok
v\'arhat\'o \'ert\'eke, de n\"ovekszik annak sz\'or\'asa,
k\"ovetkezik az al\'abbi feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l.
\item{2.} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
melyeknek nem ismerj\"uk a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. L\'assuk be,
hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok tetsz\H{o}leges
s\'ulyozott \'atlaga, azaz a $T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}$, $\summ_{k=1}^n
a_k\neq0$ a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek torz\'{\i}tatlan becsl\'ese, melynek
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te akkor a legkisebb, ha
$a_1=a_2=\cdots=a_n$.
\item{} {\it Megold\'as:} $E\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}=\dfrac{\summ_{k=1}^n a_kE\xi_1}
{\summ_{k=1}^n a_k}=E\xi_1$, \'es ez jelenti azt, hogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ek torz\'{\i}tatlan becsl\'es\'et \'{\i}rtuk fel. M\'asr\'eszt
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2E\xi_1}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)^2}
\Var\xi_1.
$$
Ez\'ert, ha $a_1=a_2=\cdots=a_n$, akkor
$\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}
=\dfrac{\Var\xi_1}n$. M\'asr\'eszt,  az \'ugynevezett
Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n a_k^2\le\dfrac1n
\(\summ_{k=1}^n a_k\)^2$, ahonnan
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}\le\dfrac{\Var\xi_1}n
$$
az \'altal\'anos esetben.
\item{3.} A m\'ult \'or\'an l\'attuk, hogy ha egy a
$[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
akarjuk becs\"ulni \'ugy, hogy a legnagyobb \'es legkisebb megfigyelt
mintaelem \'atlag\'at vessz\"uk, akkor kisebb sz\'or\'as\'u
torz\'{\i}tatlan becsl\'est kapunk a v\'arhat\'o \'ert\'ekre mint az
\"osszes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'atlaga. Mi\'ert nem
mond ellent ez az eredm\'eny a el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek.
\item{4.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u. Azt a hipot\'ezist
akarjuk ellen\H{o}rizni, hogy a l\'amp\'ak \'elettartama legal\'abb 10
\'ora, azaz az exponenci\'alis eloszl\'as param\'etere kisebb vagy
egyenl\H{o} mint $\lambda=\dfrac1{10}$. Egy termet bevil\'ag\'{\i}tunk
ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az ki\'egett \'uj
l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Megfigyelj\"uk, hogy mennyi a
l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama. Ennek alapj\'an akarjuk eld\"onteni,
hogy hipot\'ezis\"unk helyes-e. Term\'eszetes \'ugy d\"onteni, hogy
amennyiben a l\'amp\'ak el\'eg sok\'aig \'egnek, akkor elfogadjuk a
hipot\'ezist, ha pedig nem akkor elutas\'{\i}tjuk. Mekkora \'elettartam
eset\'en fogadjuk el a hipot\'ezist, ha azt akarjuk, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul\'ese eset\'en legal\'abb 0.95 val\'osz\H{u}s\'eggel
fogadjuk azt el. (A matematikai statisztika szok\'asos
terminol\'ogi\'aj\'aval ezt a k\"ovetelm\'enyt \'ugy fogalmazz\'ak meg,
hogy az els\H{o}faj\'u hiba legyen kisebb mint 0.05.)
\item{} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa \'el\'ettartam\'at, $1\le
j\le100$, \'es adjunk j\'o becsl\'est $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre ha az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (Ez a hipot\'ezis
teljes\"ul\'ese eset\'en a a legkellemetlenebb eset.) Vezess\"uk be
az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben $E\eta=mE\xi_1=\dfrac
m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es
$\lambda=\dfrac1{10}$ v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>x) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>x\)\sim1-\Phi\(\dfrac x{100}-10\)$. Ez\'ert term\'eszetes az
$x$ szintet \'ugy v\'alasztani, hogy $1-\Phi\(\dfrac
x{100}-10\)=0.95$, \'es ha az \"ossz\'elettartam nagyobb mint ez a
szint akkor elfogadjuk a hipot\'ezist. Innen $\Phi\(10-\dfrac
x{100}\)=1-\Phi\(\dfrac x{100}-10\)=0.95$. Mivel
$\Phi(1.645)\sim0.95$, ez\'ert $x=835.5$.
\item{5.} Ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy egy p\'enzdarab
szab\'alyos-e. Feldobjuk a p\'enzdarabot 10~000 alkalommal. Milyen
dob\'aseredm\'eny eset\'en fogadjuk el a p\'enzdarabot
sza\-b\'a\-lyos\-nak, ha azt akarjuk, hogy a j\'o p\'enzdarabot
legal\'abb 0.95 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fogadjuk el j\'onak?
\item{} Legyen $\xi$ a fejdob\'asok sz\'ama. Akkor fogadjuk el a
p\'enzt sza\-b\'a\-lyos\-nak, ha $|\xi-5000|<k$, \'es a $k$ sz\'amot
\'ugy v\'alasztjuk meg, hogy $P(|\xi-5000|\le k)=0.95$. $E\xi=5000$,
$\Var\xi=2500$, ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an azt k\"ovetelj\"uk meg, hogy $P(|\xi-5000|\le
k)=P\(\dfrac{|\xi-E\xi|}{\sqrt{\Var\xi}}\le\dfrac
k{50}\)\sim 2\Phi\(\dfrac k{50}\)-1$. Ez\'ert a
$2\Phi\(\dfrac k{50}\)-1=0.95$ egyenletet kell megoldani. Innen
$\Phi\(\dfrac k{50}\)=0.975$, \'es mivel $\Phi(0.975)\sim 1.96$,
$k=98$.
\item{6.} Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melynek eloszl\'asf\"uggv\'enye, az $F(x)=P(\xi<x)$ f\"uggv\'eny,
folytonos szigor\'uan monoton n\H{o} valamilyen $a\le x\le b$
intervallumban, mely intervallum v\'egpontjai teljes\'{\i}tik az
$F(a)=0$ \'es $F(b)=1$ felt\'etelt. Ekkor az $\eta=F(\xi)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
azaz $P(\eta<x)=x$ minden $0\le x\le1$ sz\'amra. Megford\'{\i}tva,
ha $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, \'es az $F^{-1}(\cdot)$
f\"uggv\'eny az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny inverze, akkor az
$F^{-1}(\eta)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'as\'u.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\xi$ $F$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor
$P(\eta<x)=P(F(\xi)<x)=P\(\xi<F^{-1}(x)\)=F^{-1}\(F(x)\)=x$ minden
$0\le x\le 1$ sz\'amra, \'es ez az azonoss\'ag az els\H{o}
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as. M\'asr\'eszt ha $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, akkor
$P(F^{-1}(\eta)<x))=P(\eta<F(x))=F(x)$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az \'all\'{\i}t\'as
\'altal\'anos\'{\i}that\'o alkalmas m\'odon arra az
esetre, amikor az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny nem felt\'etlen\"ul
szigor\'uan monoton n\H{o}.  A feladat eredm\'enye sz\'amunkra a
k\"ovetkez\H{o} miatt \'erdekes. Tipikus statisztikai feladat annak
a vizs\-g\'a\-la\-ta, hogy egy $n$ elem\H{u} minta $F(x)$
eloszl\'as\'u-e,
azaz f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F(x)$ eloszl\'as\'uak-e. Ez
a k\'erd\'es ekvivalens azzal, hogy az $\eta_k=F(\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes eloszl\'as\'uak-e a
$[0,1]$ intervallumban. Teh\'at elegend\H{o} annak a vizsg\'alat\'aval
foglalkozni, hogy egy minta egyenletes eloszl\'as\'u-e a $[0,1]$
intervallumban.
\medskip
 
Tov\'abbi vizsg\'aland\'o k\'erd\'esek:
\item{a.)} Megfigyel\"unk egy $n$ elem\H{u} mint\'at, azaz $n$ darab
f\"ggetlen egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ot. Hogyan ellen\H{o}rizz\"uk, hogy a minta elemei $F$
eloszl\'as\'uak-e?
\item{b.)} Egy dob\'okock\'ar\'ol szeretn\'enk eld\'onteni, hogy
szab\'alyos-e. Feldobjuk sokszor egy\-m\'as ut\'an. Azt v\'arjuk, hogy
ha a kocka szab\'alyos, akkkor k\"or\"ulbel\"ul egyforma sokszor esik
minden oldal\'ara. Egy effektiv dob\'assorozat eset\'en mikor
term\'eszetes \'ugy tekinteni, hogy ez a tulajdons\'ag teljes\"ul?
 
 
 \bye
