A november 21-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

1. Egy államban, (nevezzük az egyszerűség kedvéért Floridának,) 5 000 000 választó választ két párt (hívjuk ezeket mondjuk republikánus és demokrata pártnak) jelöltje között. Tegyük fel, hogy a választók egymástól függetlenül \frac{1}{2} valószínűséggel választják valamelyik párt jelöltjét. Mi annak a valószínűsége, hogy a két jelölt által összegyüjtött szavazatok különbsége nem haladja meg a háromszázat. Az egyik jelöltre leadott szavazatok száma közelítőleg normális eloszlású \frac{1}{2} ·5 000 000 várható értékkel és \frac{1}{4} · 5 000 000 szórásnégyzettel. Annak a valószínűsége, hogy a két jelöltre adott szavazatok különbsége kisebb mint 300 megegyezik annak a valószínűségével, hogy az egyik jelöltre adott szavazatok száma a szavazatok várha-

tó értékétől kevesebb mint 150-nel tér el, ez pedig körülbelül, Φ (\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}})−

Φ (−\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}}) = 2Φ (\frac{6\sqrt{5}}{100}) − 1 ∼ 2Φ(0.124) − 1 ∼ 0.1.

Megjegyzés: Érdemes megjegyezni, hogy igaz a centrális határeloszlás tétel következő lokális változata is a binomiális eloszlásra. Ha ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel, akkor ξ várható értéke mn = np,

szórásnégyzete nσ^{2} = np(1 − p), és P (ξ = k) = P (\frac{ξ − nm}{\sqrt{n}σ} = \frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) ∼

\frac{1}{\sqrt{n}σ} φ (\frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) = \frac{1}{\sqrt{2πn}σ} exp (\frac{(k − nm)^{2}}{2nσ^{2}} ), ahol φ(x) = \frac{1}{2π} e^{−x^{2}/2}, a stan-

dard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Az előbb tekintett esetben n = 5 000 000, p = \frac{1}{2}, −150 ≤ k ≤ 150, valószínűségeket kell kiszámítani, és k-ra összegezni. Ebben az esetben a normális sűrűségfüggvényt a nulla közelében kell vennünk, és

a kívánt valószínűésegre jó becsés \frac{1}{\sqrt[\frac{1}{2}]{2π · 5000000}} · 300 ∼ \frac{6}{10\sqrt{10π}} ∼ \frac{1}{10}.

2. Megjegyzés: Valójában az első feladatban tárgyalt modell némileg irreális. Általában vannak csoportok, melyeknek azonos a véleményük. Tegyük fel, hogy a különböző csoportokban levő emberek véleménye független, de az egyes csoportokban levő emberek véleménye megegyezik. Kérdés: Hogyan befolyásolja ez a tény annak valószínűségét, hogy rendkívül szoros választási eredmény szülessen? Be fogjuk látni, hogy e tény figyelembevétele csökkenti a szoros választási eredmény valószínűségét. A fenti kérdés azzal függ össze, hogy ha különböző embereknek azonos a véleményük, akkor az egyik jelöltre leadott (véletlen, közel normális eloszlású) számának a szórása nő vagy csökken. A feladatot úgy is reprezentálhatjuk, hogy egyes csoportokból kijelölünk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a csoport tagjainak a száma, a többi ember nem szavaz. Az, hogy ebben az esetben nem változik az egyik jelöltre leadott szavazatok várható értéke, de növekszik annak szórása, következik az alábbi feladat eredményéből.

2. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, melyeknek nem ismerjük a várható értékét. Lássuk be, hogy e valószínűségi válto-

zók tetszőleges súlyozott átlaga, azaz a T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}}, ∑_{k=1}^{n} a_{k} ≠ 0 a ξ_{1}

valószínűségi változó várható értékének torzítatlan becslése, melynek szórásnégyzete akkor a legkisebb, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}.

Megoldás: E \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}Eξ_{1}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = Eξ_{1}, és ez jelenti azt, hogy a várható érték

torzítatlan becslését írtuk fel. Másrészt

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}Eξ_{1}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}} Var ξ_{1}.

Ezért, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}, akkor Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{Var ξ_{1}}{n}. Másrészt, az

úgynevezett Schwarz egyenlőtlenség alapján ∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ≤ \frac{1}{n} ( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}, ahonnan

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} ≤ \frac{Var ξ_{1}}{n}

az általános esetben.

3. A múlt órán láttuk, hogy ha egy a [ϑ, ϑ + 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értékét akarjuk becsülni úgy, hogy a legnagyobb és legkisebb megfigyelt mintaelem átlagát vesszük, akkor kisebb szórású torzítatlan becslést kapunk a várható értékre mint az összes valószínűségi változó átlaga. Miért nem mond ellent ez az eredmény a előző feladat eredményének.

4. Legyen birtokunkban 100 lámpa, melyek mindegyike egymástól független időtartamig működik, élettartamuk pedig exponenciális eloszlású. Azt a hipotézist akarjuk ellenőrizni, hogy a lámpák élettartama legalább 10 óra, azaz az exponenciális

eloszlás paramétere kisebb vagy egyenlő mint λ = \frac{1}{10}. Egy termet bevilágítunk ezen lámpák valamelyikével, majd amikor az kiégett új lámpát használunk fel. Megfigyeljük, hogy mennyi a lámpák összélettartama. Ennek alapján akarjuk eldönteni, hogy hipotézisünk helyes-e. Természetes úgy dönteni, hogy amennyiben a lámpák elég sokáig égnek, akkor elfogadjuk a hipotézist, ha pedig nem akkor elutasítjuk. Mekkora élettartam esetén fogadjuk el a hipotézist, ha azt akarjuk, hogy a hipotézis teljesülése esetén legalább 0.95 valószűséggel fogadjuk azt el. (A matematikai statisztika szokásos terminológiájával ezt a követelményt úgy fogalmazzák meg, hogy az elsőfajú hiba legyen kisebb mint 0.05.) Jelölje ξ_{j} a j-ik lámpa éléttartamát, 1 ≤ j ≤ 100, és adjunk jó becslést P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > x) valószínűségre ha az összegben független exponenciális eloszlású valószínűségi változók szerepelnek λ = \frac{1}{10} paraméterrel. (Ez a hipotézis teljesülése esetén a a legkellemetlenebb eset.) Vezessük be az η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} jelölést.

Kiszámoltuk, hogy jelen esetben Eη = mEξ_{1} = \frac{m}{λ} = 1000, Var η = \frac{m}{λ^{2}} =

10000 (m = 100 és λ = \frac{1}{10} választással). Ezért a centrális határeloszlástétel sze-

rint \frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} = \frac{η − 1000}{100} jó közelítéssel standard normális eloszlású valószínűségi

változó, és P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > x) = P (\frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} > x) ∼ 1 − Φ (\frac{x}{100} − 10). Ezért

természetes az x szintet úgy választani, hogy 1 − Φ (\frac{x}{100} − 10) = 0.95, és ha az összélettartam nagyobb mint ez a szint akkor elfogadjuk a hipotézist. Innen Φ (10 − \frac{x}{100}) = 1 − Φ (\frac{x}{100} − 10) = 0.95. Mivel Φ(1.645) ∼ 0.95, ezért x = 835.5.

5. Ellenőrizni akarjuk, hogy egy pénzdarab szabályos-e. Feldobjuk a pénzdarabot 10 000 alkalommal. Milyen dobáseredmény esetén fogadjuk el a pénzdarabot szabályosnak, ha azt akarjuk, hogy a jó pénzdarabot legalább 0.95 valószínűséggel fogadjuk el jónak? Legyen ξ a fejdobások száma. Akkor fogadjuk el a pénzt szabályosnak, ha |ξ − 5000| < k, és a k számot úgy választjuk meg, hogy P (|ξ − 5000| ≤ k) = 0.95. Eξ = 5000, Var ξ = 2500, ezért a centrális határeloszlástétel alapján azt követeljük

meg, hogy P (|ξ − 5000| ≤ k) = P (\frac{|ξ − Eξ|}{\sqrt{Var ξ}} ≤ \frac{k}{50}) ∼ 2Φ (\frac{k}{50}) − 1. Ezért a

2Φ (\frac{k}{50}) − 1 = 0.95 egyenletet kell megoldani. Innen Φ (\frac{k}{50}) = 0.975, és mivel

Φ(0.975) ∼ 1.96, k = 98.

6. Legyen ξ olyan valószínűségi változó, melynek eloszlásfüggvénye, az F (x) = P (ξ < x) függvény, folytonos szigorúan monoton nő valamilyen a ≤ x ≤ b intervallumban, mely intervallum végpontjai teljesítik az F (a) = 0 és F (b) = 1 feltételt. Ekkor az η = F (ξ) valószínűségi változó a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz P (η < x) = x minden 0 ≤ x ≤ 1 számra. Megfordítva, ha η egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumban, és az F^{−1}(·) függvény az F (x) eloszlásfüggvény inverze, akkor az F^{−1}(η) valószínűségi változó F (x) eloszlású.

Megoldás: Legyen ξ F eloszlású valószínűségi változó. Ekkor P (η < x) = P (F (ξ) < x) = P (ξ < F^{−1}(x)) = F^{−1} (F (x)) = x minden 0 ≤ x ≤ 1 számra, és ez az azonosság az első bizonyítandó állítás. Másrészt ha ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, akkor P (F^{−1}(η) < x)) = P (η < F (x)) = F (x). Megjegyzés: Ez az állítás általánosítható alkalmas módon arra az esetre, amikor az F eloszlásfüggvény nem feltétlenül szigorúan monoton nő. A feladat eredménye számunkra a következő miatt érdekes. Tipikus statisztikai feladat annak a vizsgálata, hogy egy n elemű minta F (x) eloszlású-e, azaz független, egyforma eloszlású ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók F (x) eloszlásúak-e. Ez a kérdés ekvivalens azzal, hogy az η_{k} = F (ξ_{k}) valószínűségi változók egyenletes eloszlásúak-e a [0, 1] intervallumban. Tehát elegendő annak a vizsgálatával foglalkozni, hogy egy minta egyenletes eloszlású-e a [0, 1] intervallumban.

További vizsgálandó kérdések: a.) Megfigyelünk egy n elemű mintát, azaz n darab fg̈getlen egyforma eloszlású való-

színűségi változót. Hogyan ellenőrizzük, hogy a minta elemei F eloszlásúak-e? b.) Egy dobókockáról szeretnénk eldónteni, hogy szabályos-e. Feldobjuk sokszor egy-

más után. Azt várjuk, hogy ha a kocka szabályos, akkkor körülbelül egyforma sokszor esik minden oldalára. Egy effektiv dobássorozat esetén mikor természetes úgy tekinteni, hogy ez a tulajdonság teljesül?