\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A november 14-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
\item{1.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok valamilyen
(ismeretlen) $\vartheta$ sz\'ammal. Sz\'amoljuk ki a
$\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k-\dfrac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E\xi_k=\int_\vartheta^{\vartheta+1}x\,dx=\vartheta+\dfrac12$,
$E\xi_k^2=\int_\vartheta^{\vartheta+1}x^2\,dx=\vartheta^2+\vartheta+
\dfrac13=\(\vartheta+\dfrac12\)^2+\dfrac1{12}$. Innen $E\xi_k=
\vartheta+\dfrac12$, $\Var\xi_k=\dfrac1{12}$. Ez\'ert
$E\(\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k-\dfrac12\)=\vartheta$, \'es
$\Var\(\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k-\dfrac12\)=\dfrac1{12n}$.
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok valamilyen
(ismeretlen) $\vartheta$ sz\'ammal. Rendezz\"uk a megfigyelt
sz\'amokat monoton n\"ovekv\H{o} $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots
\le\xi_n^*$ sorrendbe, (ezt h\'{\i}vj\'ak a sta\-tisz\-ti\-k\'a\-ban
rendezett mint\'anak), \'es tekints\"uk a
$\dfrac{\xi_1^*+\xi_n^*}2-\dfrac12$ kifejez\'est. A k\"ovetkez\H{o}
k\'et feladat c\'elja annak vizsg\'alata, hogy mennyi ennek a
kifejez\'esnak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete,
azaz ez a kifejez\'es milyen j\'ol becss\"uli meg az ismeretlen
$\vartheta$ param\'etert.
\item{2.} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} jel\"ol\'esekkel, hogy a
$(\xi_1^*,\xi_2^*,\dots,\xi_n^*)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(y_1,\dots,y_n)=n!$, ha
$\vartheta\le y_1\le\cdots\le y_n\le\vartheta+1$, \'es
$f(y_1,\dots,y_n)=0$ egy\'ebk\'ent. A $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ (azaz a
legkisebb \'es legnagyobb megfigyelt \'ert\'ek egy\"uttes)
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha
$\vartheta\le x\le y\le\vartheta+1$, \'es $g(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
\item{3.} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} jel\"ol\'esekkel, hogy
$$
E\(\dfrac{\xi_1^*+\xi_n^*}2-\dfrac12\)=\vartheta,\quad\text{\'es}
\quad \Var\(\dfrac{\xi_1^*+\xi_n^*}2-\dfrac12\)=\dfrac1{2(n+1)(n+2)}.
$$
\item{} {\it A m\'asodik feladat megold\'asa:}\/ Az
$f(y_1,\dots,y_n)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
a
$$
B=\{(y_1,\dots,y_n)\:\vartheta\le
y_1\le\cdots\le y_n\le\vartheta+1\}
$$
halmazra van koncentr\'alva, mert a komplementer halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Vi\-szont, ha $A\subset B$, akkor
$$
P((\xi_1^*,\dots,\xi_n^*)\in A)=
n!P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)=\int_A n! \,dx_1\dots\,dx_n,
$$
ahonnan k\"ovetkezik, hogy a
$(\xi_1^*,\dots,\xi_n^*)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f(y_1,\dots,y_n)=n!$ f\"uggv\'eny a $B$ halmazon. Tov\'abb\'a,
$$
g(x,y)=\int f(x,x_2,x_3,\cdots,x_{n-1},y)
\,dx_2\dots\,dx_{n-1}=n!\text{Vol}\,(B^{(n)}_{x,y}),
$$
ahol $B^{(n)}_{x,y}=\{(y_2,\dots,y_{n-1})\:x\le
y_2\le\cdots\le y_{n-1}\le y_n\}$, ahonnan n\'emi
sz\'a\-mo\-l\'as\-sal
$\text{Vol}\,(B^{(n)}_{x,y})=\dfrac1{(n-2)!}(x-y)^{n-2}$. Innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
Egy lehets\'eges indokl\'as: Adva a $\{2,\dots,n-1\}$ sz\'amok egy
tetsz\H{o}leges $\tau$ permut\'aci\'oja legyen
$B^{(n)}_{x,y}(\tau)=\{(y_{2},\dots,y_{n-1})\:x\le
y_{\tau(2)}\le\cdots\le y_{\tau(n-1)}\}$. Ekkor
$\text{Vol}\,(B^{(n)}_{x,y})=\text{Vol}\,(B^{(n)}_{x,y}(\tau))$ minden
$\tau$ permut\'aci\'ora, $(n-2)!$ ilyen permut\'aci\'o van, a
$B^{(n)}_{x,y}(\tau)$ halmazok a hat\'aruk kiv\'etel\'evel
diszjunktak, \'es \'uni\'ojuk egy $(y-x)^{n-2}$ t\'erfogat\'u
t\'eglatest. Hogyan lehet  a 2. feladat eredm\'eny\'et ``l\'atni"?
\item{3.} A $\xi^*_1-\vartheta-\frac12$ \'es
$\vartheta+\frac12-\xi^*_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asa, ez\'ert v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik. Ez\'ert
$E\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\vartheta+\dfrac12$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'amol\'asakor feltehetj\"uk, hogy $\vartheta=-\frac12$. Ekkor a
$(\xi_1^*,\xi_n^*)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha $-\frac12\le x\le y\le\frac12$,
$f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent, \'es a
$\Var\dfrac{\xi_1^*+\xi^*_n}2=\dsize\int
\(\dfrac{x+y}2\)^2f(x,y)\,dx\,dy$ integr\'alt kell kisz\'amolnunk.
\item{} Alkalmazzuk a $v=x+y$ az $x$ v\'altoz\'o helyett
r\"ogz\'{\i}tett $y$ v\'altoz\'o mellett. Vegy\"uk \'eszre, hogy azon a
tartom\'anyon, ahol az integrandus nem z\'er\'o, ott az
$f(v,y)=\dfrac{n(n-1)}4v^2(2v-y)^{n-2}$ alak\'u. Alkalmazva az $u=2v-y$
(line\'aris) transzform\'aci\'ot r\"ogz\'{\i}tett $v$ v\'altz\'ora  a
kisz\'am\'{\i}tand\'o integr\'alt egyszer\H{u}bb alakra tudjuk hozni.
Az $(u,v)$ s\'{\i}kon a k\"ovetkez\H{o} integr\'alt kell
kisz\'am\'{\i}tani.
$$
\align
\Var\frac{\xi_1^*+\xi^*_n}2&=\int_B\dfrac{n(n+1)}8
v^2u^{n-2}\,du\,dv=\int_0^1\dfrac{n(n+1)}8u^{n-2}
\(\int_{u-1}^{1-u}v^2\,dv\)\,du\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\int_0^1u^{n-2}(1-u)^3\,du,
\endalign
$$
ahol  a $B$ halmaz az $(0,1)$, $(0,-1)$ \'es $(1,0)$ cs\'ucsok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og. Innen
$$
\align
\Var\frac{\xi_1^*+\xi^*_n}2
&=\frac{n(n-1)}{12}\[\frac1{n-1}
-\frac3n+\frac3{n+1}-\frac1{n+2}\]\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\(\frac3{(n-1)(n+2)}-\frac3{n(n+1)}\)\\
&=\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{4(n+1)(n+2)}=\frac1{2(n+1)(n+2)}.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban,
\'es legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_n^*$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
 
 
 \bye
