A november 14-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

1. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [ϑ, ϑ + 1] intervallumban egyenletes eloszlású való-

színűségi változók valamilyen (ismeretlen) ϑ számmal. Számoljuk ki a \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} − \frac{1}{2}

valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

Megoldás: Eξ_{k} = ∫_{ϑ}^{ϑ+1} x dx = ϑ + \frac{1}{2}, Eξ_{k}^{2} = ∫_{ϑ}^{ϑ+1} x^{2} dx = ϑ^{2} + ϑ + \frac{1}{3} =

(ϑ + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{12}. Innen Eξ_{k} = ϑ + \frac{1}{2}, Var ξ_{k} = \frac{1}{12}. Ezért E (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} − \frac{1}{2}) = ϑ,

és Var (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} − \frac{1}{2}) = \frac{1}{12n}.

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [ϑ, ϑ + 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók valamilyen (ismeretlen) ϑ számmal. Rendezzük a megfigyelt számokat monoton növekvő ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} sorrendbe, (ezt hívják a statisz-

tikában rendezett mintának), és tekintsük a \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} − \frac{1}{2} kifejezést. A következő két feladat célja annak vizsgálata, hogy mennyi ennek a kifejezésnak a várható értéke és szórásnégyzete, azaz ez a kifejezés milyen jól becssüli meg az ismeretlen ϑ paramétert.

2. Lássuk be az előző jelölésekkel, hogy a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{2}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) véletlen vektor sűrűségfüggvénye f(y_{1}, …, y_{n}) = n!, ha ϑ ≤ y_{1} ≤ ⋯ ≤ y_{n} ≤ ϑ + 1, és f(y_{1}, …, y_{n}) = 0 egyébként. A (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) (azaz a legkisebb és legnagyobb megfigyelt érték együttes) sűrűségfüggvénye g(x, y) = n(n−1)(y −x)^{n−2}, ha ϑ ≤ x ≤ y ≤ ϑ+1, és g(x, y) = 0 egyébként.

3. Lássuk be az előző jelölésekkel, hogy

E (\frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} − \frac{1}{2}) = ϑ, és Var (\frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} − \frac{1}{2}) = \frac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.

A második feladat megoldása: Az f(y_{1}, …, y_{n}) sűrűségfüggvény a

B = {(y_{1}, …, y_{n}): ϑ ≤ y_{1} ≤ ⋯ ≤ y_{n} ≤ ϑ + 1}

halmazra van koncentrálva, mert a komplementer halmaz valószínűsége nulla. Viszont, ha A ⊂ B, akkor

P ((ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) ∈ A) = n!P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ A) = ∫_{A} n! dx_{1} … dx_{n},

ahonnan következik, hogy a (ξ_{1}^{∗}, …, ξ_{n}^{∗}) vektor sűrűségfüggvénye az f(y_{1}, …, y_{n}) = n! függvény a B halmazon. Továbbá,

g(x, y) = ∫ f(x, x_{2}, x_{3}, ⋯, x_{n−1}, y) dx_{2} … dx_{n−1} = n!Vol (B_{x,y}^{(n)}),

ahol B_{x,y}^{(n)} = {(y_{2}, …, y_{n−1}): x ≤ y_{2} ≤ ⋯ ≤ y_{n−1} ≤ y_{n}}, ahonnan némi számo-

lással Vol (B_{x,y}^{(n)}) = \frac{1}{(n − 2)!}(x − y)^{n−2}. Innen következik a feladat állítása. Egy

lehetséges indoklás: Adva a {2, …, n − 1} számok egy tetszőleges τ permutációja legyen B_{x,y}^{(n)}(τ) = {(y_{2}, …, y_{n−1}): x ≤ y_{τ(2)} ≤ ⋯ ≤ y_{τ(n−1)}}. Ekkor Vol (B_{x,y}^{(n)}) = Vol (B_{x,y}^{(n)}(τ)) minden τ permutációra, (n − 2)! ilyen permutáció van, a B_{x,y}^{(n)}(τ) halmazok a határuk kivételével diszjunktak, és úniójuk egy (y − x)^{n−2} térfogatú téglatest. Hogyan lehet a 2. feladat eredményét “látni”?

3. A ξ_{1}^{∗} − ϑ − \frac{1}{2} és ϑ + \frac{1}{2} − ξ_{n}^{∗} valószínűségi változók eloszlása, ezért várható értéke

megegyezik. Ezért E \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = ϑ + \frac{1}{2}. A szórásnégyzet kiszámolásakor felte-

hetjük, hogy ϑ = −\frac{1}{2}. Ekkor a (ξ_{1}^{∗}, ξ_{n}^{∗}) vektor sűrűségfüggvénye, f(x, y) = n(n −

1)(y − x)^{n−2}, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ y ≤ \frac{1}{2}, f(x, y) = 0 egyébként, és a Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} =

∫ (\frac{x + y}{2} )^{2} f(x, y) dx dy integrált kell kiszámolnunk.

Alkalmazzuk a v = x + y az x változó helyett rögzített y változó mellett. Vegyük észre, hogy azon a tartományon, ahol az integrandus nem zéró, ott az f(v, y) =

\frac{n(n − 1)}{4}v^{2}(2v − y)^{n−2} alakú. Alkalmazva az u = 2v − y (lineáris) transzformációt rögzített v váltzóra a kiszámítandó integrált egyszerűbb alakra tudjuk hozni. Az (u, v) síkon a következő integrált kell kiszámítani.

Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = ∫_{B} \frac{n(n + 1)}{8}v^{2}u^{n−2} du dv = ∫_{0}^{1} \frac{n(n + 1)}{8}u^{n−2} (∫_{u−1}^{1−u} v^{2} dv) du

= \frac{n(n − 1)}{12} ∫_{0}^{1} u^{n−2}(1 − u)^{3} du,

ahol a B halmaz az (0, 1), (0, −1) és (1, 0) csúcsok által meghatározott háromszög. Innen

Var \frac{ξ_{1}^{∗} + ξ_{n}^{∗}}{2} = \frac{n(n − 1)}{12} [\frac{1}{n − 1} − \frac{3}{n} + \frac{3}{n + 1} − \frac{1}{n + 2}]

= \frac{n(n − 1)}{12} (\frac{3}{(n − 1)(n + 2)} − \frac{3}{n(n + 1)})

= \frac{n(n + 1) − (n − 1)(n + 2)}{4(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.

Házi feladat Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a belőlük készített rendezett minta. Számítsuk ki ξ_{n}^{∗} várható értékét és szórásnégyzetét.