\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\nopagenumbers
 
\noindent
{\bf Kit\H{u}z\"ott feladatok}
\plainfootnote{} {A ${}^*$ jelz\'es\H{u} feladatok nem
k\"otelez\H{o}ek.}
 
 
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a dob\'asok
\"osszege 9? Annak, hogy a dob\'asok \"osszege 10?
\quad (Kit\H{u}zve szeptember 5-\'en.)
\item{2.} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy az $f(x)=(1+x)^n$ f\"uggv\'eny
Taylor sora az
$$
(1+x)^n=\sum_{k=0}^\infty \binom nk x^k
$$
hatv\'anysor tetsz\H{o}leges val\'os $n$ sz\'am eset\'en.
\item{3.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy kit\"olt\"ott
lott\'oszelv\'enyen pontosan h\'arom ta\-l\'a\-la\-tot \'er\"unk el?
\quad (Kit\H{u}zve szeptember 12-\'en.)
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
t\"obbsz\"or. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
20. dob\'asban jelenik meg az \"ot\"odik h\'arommal oszthat\'o sz\'am?
\quad (Kit\H{u}zve szeptember 12-\'en.)
\item{5.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
\quad (Kit\H{u}zve szeptember 19-\'en.)
\item{6.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros dob\'asok eredm\'enyeinek az
\"osszeg\'et. (Azaz  a p\'aratlan dob\'asok eredm\'eny\'et nem
vessz\"uk figyelembe, a t\"obbi dob\'as eredm\'eny\'et
pedig \"osszegezz\"uk.) Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 10-\'en.)
\item{7.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Visszatev\'es n\'elk\"ol kih\'uzzuk 20 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 31-\'en.)
\item{8.} Ha $\xi$ negat\'{\i}v binomi\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1$
param\'eterrel, azaz $P(\xi=k)=p^k(1-p)$, $k=0,1,2,\dots$, valamilyen
$0<p<1$ sz\'ammal, akkor ez teljes\'{\i}ti az \"or\"okifj\'u
tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o} diszkr\'et v\'altozat\'at: $P(\xi\ge
k+l|\xi\ge k)=P(\xi\ge l)$.
\quad (Kit\H{u}zve okt\'ober 31-\'en.)
\item{9.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\quad (Kit\H{u}zve november 7-\'en.)
\item{10.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
eloszl\'assal valamilyen $[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban,
\'es legyen $\xi_1^*\le \xi_2^*\le\cdots\le\xi_n^*$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_n^*$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\quad (Kit\H{u}zve november 14-\'en.)
 
 
 
 
 
\bye
