Kitűzött feladatok

1. Egy szabályos dobókockát feldobunk kétszer egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobások összege 9? Annak, hogy a dobások összege 10? (Kitűzve szeptember 5-én.)

2. Bizonyítsuk be, hogy az f(x) = (1 + x)^{n} függvény Taylor sora az

(1 + x)^{n} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{n}{k}x^{k}

hatványsor tetszőleges valós n szám esetén.

3. Mi annak a valószínűsége, hogy egy kitöltött lottószelvényen pontosan három találatot érünk el? (Kitűzve szeptember 12-én.)

4. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után többször. Mi annak a valószínűsége, hogy a 20. dobásban jelenik meg az ötödik hárommal osztható szám? (Kitűzve szeptember 12-én.)

5. Egy szabályos pénzdarabot feldobunk háromszor egymás után. Mi a feltételes valószínűsége annak, hogy mind a három dobás fej, feltéve, hogy legalább két fejdobás történt? (Kitűzve szeptember 19-én.)

6. Egy szabályos dobókockát feldobunk százszor egymás után. Tekintsük a páros dobások eredményeinek az összegét. (Azaz a páratlan dobások eredményét nem vesszük figyelembe, a többi dobás eredményét pedig összegezzük.) Számítsuk ki ennek az összegnek a várható értékét és szórásnégyzetét. (Kitűzve október 10én.)

7. Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Visszatevés nélköl kihúzzuk 20 golyót. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete? (Kitűzve október 31-én.)

8. Ha ξ negatív binomiális valószínűségi változó n = 1 paraméterrel, azaz P (ξ = k) = p^{k}(1 − p), k = 0, 1, 2, …, valamilyen 0 < p < 1 számmal, akkor ez teljesíti az örökifjú tulajdonság következő diszkrét változatát: P (ξ ≥ k + l|ξ ≥ k) = P (ξ ≥ l). (Kitűzve október 31-én.)

9. Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik. (Kitűzve november 7-én.)

10. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók egyenletes eloszlással valamilyen [ϑ, ϑ + 1] intervallumban, és legyen ξ_{1}^{∗} ≤ ξ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗} a belőlük készített rendezett minta. Számítsuk ki ξ_{n}^{∗} várható értékét és szórásnégyzetét. (Kitűzve november 14-én.)

A ^{∗} jelzésű feladatok nem kötelezőek.