\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos kock\'at feldobunk sokszor egym\'as ut\'an.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. dob\'asban jelenik
meg a hatos harmadszor?
\item{2.} Egy di\'aknak egy tesztlapot kell kit\"oltenie a vizsg\'an,
melyben h\'arom lehets\'eges v\'alasz k\"oz\"ott kell v\'alasztania.
Egy adott k\'erd\'esre $p$, $0\le p\le 1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tudja a helyes v\'alaszt. Ha tudja a helyes v\'alaszt, akkor a j\'o
helyet jel\"oli be, ha nem akkor egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
t\"olti ki a lehets\'eges h\'arom v\'alasz valamelyik\'et. Mi annak a
felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy tudja egy
k\'erd\'esre a helyes v\'alaszt felt\'eve, hogy erre a k\'erd\'esre a
j\'o v\'alaszt jel\"olte be?
\item{3.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f(x)=0$ ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, mely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul? (A feladat megold\'as\'aban haszn\'aljuk a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azatot.)
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n adott $\xi_1$, $\xi_2$,\dots,
$\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egym\'ast\'ol
f\"uggetlenek?
\item{6.} Mikor mondjuk, hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak az $f(x)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye?
\bigskip
 
\centerline{\bf A dolgozat feladatainak megold\'asa:}
\medskip
\item{1.} $\dbinom {19}2 \(\dfrac 56\)^{17}\(\dfrac16\)^3$. Ez az
esem\'eny ugyanis akkor k\"ovetkezik be, ha egyr\'eszt az els\H{o} 19
dob\'asban k\'et hatos \'es 17 nem hatos dob\'as k\"ovetkezik be, \'es
ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dbinom {19}2 \(\dfrac
56\)^{17}\(\dfrac16\)^2$, m\'asr\'eszt a h\'uszadik dob\'as hatos,
aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac16$. Tov\'abb\'a ez a k\'et
esem\'eny f\"uggetlen egym\'ast\'ol.
\item{2.} A keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac
p{p+\frac13(1-p)}=\dfrac{3p}{2p+1}$. Ugyanis legyen $A$ az az
esem\'eny, hogy a di\'ak tudja a helyes v\'alaszt, $B$ az az esem\'eny,
hogy helyesen v\'alaszol. Ekkor minket a $P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel.
Tov\'abb\'a $P(AB)=P(A)=p$, mert $A\subset B$, \'es $P(B)=P(A)+P(\bar
AB)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=p+\dfrac13(1-p)$, ahol $\bar A$ az $A$
halmaz komplementer\'et jel\"oli.
\item{3.} $E\xi=1$ \'es $\Var\xi=1$, mert parci\'alis integr\'al\'assal
kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty xe^{-x}\,dx=\[x (-e^{-x}\]_0^\infty+\int_0^\infty
e^{-x}\,dx= \int_0^\infty e^{-x}\,dx=1,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx=\[x^2
(-e^{-x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2xe^{-x}\,dx= 2\int_0^\infty
xe^{-x}\,dx=2,
$$
\'es $\Var \xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.
\item{4.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le
j\le30\,000$, $S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan $\dfrac34$,
$E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
teljes\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\item{5.} A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha
$$
P(\xi_1< x_1,\,\xi_2<x_2,\dots,\xi_n<x_n)=
P(\xi_1< x_1)P(\xi_2<x_2)\cdots P(\xi_n<x_n)
$$
minden val\'os $x_1,\dots,x_n$ sz\'amra.
\item{} {\it 1. Megjegyz\'es:}\/ Szinte mindegyik beadott dolgozatban
$P(\xi_1)$ kifejez\'es szerepelt. Ezzel nagyon el\'egedetlen voltam,
mert ennek a kifejez\'esnek nincs \'ertelme.
\item{} {\it 2. Megjegyz\'es:}\/ Lehetett volna m\'as definici\'ot
is adni, melyet teljes \'ert\'ek\H{u} v\'alasznak fogadtam volna el.
Nevezetesen,
$$
P(\xi_1\in B_1,\,\xi_2\in B_2,\dots,\xi_n\in B_n)=
P(\xi_1\in B_1)P(\xi_2\in B_2)\cdots P(\xi_n\in B_n)
$$
a sz\'amegyenes minden (m\'erhet\H{o}) $B_1,\dots,B_n$
r\'eszhalmaz\'ara. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
egyik nem trivi\'alis eredm\'enye alapj\'an ez a k\'et
lehets\'eges definici\'o ekvivalens. Az eredetileg megadott
definici\'o az\'ert rokonszenvesebb a sz\'amomra, mert az ott
szerepl\H{o} azonoss\'agok k\"ozvetlen ellen\H{o}rz\'ese
egyszer\H{u}bb.
\item{6.} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$,
f\"uggv\'eny, ha $P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A k\'epletben szerepl\H{o}
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek nevezik.
 
 
 
\bye
