A JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI (A programozó matematikus gyakorlaton)

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Egy szabályos kockát feldobunk sokszor egymás után. Mi annak a valószínűsége, hogy a 20. dobásban jelenik meg a hatos harmadszor?

2. Egy diáknak egy tesztlapot kell kitöltenie a vizsgán, melyben három lehetséges válasz között kell választania. Egy adott kérdésre p, 0 ≤ p ≤ 1, valószínűséggel tudja a helyes választ. Ha tudja a helyes választ, akkor a jó helyet jelöli be, ha nem akkor egyforma valószínűséggel tölti ki a lehetséges három válasz valamelyikét. Mi annak a feltételes valószínűsége, hogy tudja egy kérdésre a helyes választ feltéve, hogy erre a kérdésre a jó választ jelölte be?

3. Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0 ha x < 0. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Egy pénzdarabról ellenőrizni akarjuk, hogy igaz-e az a hipotézis, mely szerint ez az érme legalább \frac{3}{4} valószínűséggel esik a fej és legfeljebb \frac{1}{4} valószínűséggel az írás oldalára. Ennek érdekében feldobjuk a pénzdarabot 30 000 alkalommal, és a következő döntési szabályt hozzuk. Választunk egy k számot, és akkor fogadjuk el a hipotézist helyesnek, ha legalább k fejdobás történt. Legalább mekkorának kell válassztanunk ezt a k számot, ha azt akarjuk, hogy egy a hipotézist teljesítő pénzdarab esetén legalább 0.9 valószínűséggel döntsünk úgy, hogy a hipotézis teljesül? (A feladat megoldásában használjuk a mellékelt normális eloszlásfüggvény táblázatot.)

5. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn adott ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egymástól függetlenek?

6. Mikor mondjuk, hogy egy ξ valószínűségi változónak az f(x), −∞ < x < ∞, függvény a sűrűségfüggvénye?

A dolgozat feladatainak megoldása:

1. \binom{19}{2} (\frac{5}{6})^{17} (\frac{1}{6})^{3}. Ez az esemény ugyanis akkor következik be, ha egyrészt az első

19 dobásban két hatos és 17 nem hatos dobás következik be, és ennek valószínűsége

\binom{19}{2} (\frac{5}{6})^{17} (\frac{1}{6})^{2}, másrészt a húszadik dobás hatos, aminek a valószínűsége \frac{1}{6}.

Továbbá ez a két esemény független egymástól.

2. A keresett valószínűség \frac{p}{p + \frac{1}{3}(1 − p)} = \frac{3p}{2p + 1}. Ugyanis legyen A az az esemény,

hogy a diák tudja a helyes választ, B az az esemény, hogy helyesen válaszol.

Ekkor minket a P (A|B) = \frac{P (AB)}{P (B)} feltételes valószínűség értéke érdekel. Továbbá P (AB) = P (A) = p, mert A ⊂ B, és P (B) = P (A) + P (ĀB) = P (A) + P (B|Ā)P (Ā) = p + \frac{1}{3}(1 − p), ahol Ā az A halmaz komplementerét jelöli.

3. Eξ = 1 és Var ξ = 1, mert parciális integrálással kapjuk, hogy

Eξ = ∫_{0}^{∞} xe^{−x} dx = [x(−e^{−x}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} e^{−x} dx = ∫_{0}^{∞} e^{−x} dx = 1,

Eξ^{2} = ∫_{0}^{∞} x^{2}e^{−x} dx = [x^{2}(−e^{−x}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} 2xe^{−x} dx = 2 ∫_{0}^{∞} xe^{−x} dx = 2,

és Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = 1.

4. Vezessük be a következő valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 30 000, S = S_{30000} = ∑_{j=1}^{30 000} ξ_{j}.

Ha a fejdobás eredményének valószínűsége pontosan \frac{3}{4}, Eξ_{j} = \frac{3}{4}, Eξ_{j}^{2} = \frac{3}{4},

Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{3}{16}, ES = 30 000Eξ_{j} = 22 500, Var S = 30 000Var ξ_{j} = 5625 = 75^{2}. Innen és a centrális határeloszlástételből,

P (S > k) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} > \frac{k − 22 500}{75}) = 1 − P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{k − 22 500}{75})

∼ 1 − Φ (\frac{k − 22 500}{75}) .

Válasszuk a k számot úgy, hogy a fenti valószínűség körülbelül 0.9 legyen. Ekkor a Φ (\frac{k − 22 500}{75}) = 0.1 vagy ami ezzel ekvivalens, a Φ (\frac{22 500 − k}{75} ) = 0.9 egyen-

letet kell teljesítenünk. A normális eloszlás-táblázat alapján \frac{22 500 − k}{75} ∼ 1.28,

ami azt jelenti, hogy k = 22 500 − 75 × 1.28 és p = \frac{3}{4} esetén annak valószínűsége,

hogy a fejdobások száma nagyobb mint k = 22 500 − 75 × 1.28 = 22 212 és p = \frac{3}{4} esetében annak valószínűsége, hogy legalább ennyi fejdobás történik körülbelül 0.9. Ha p ≥ 34, akkor ez a valószínűség nagyobb. Ezért a k = 22 212 helyes választás.

5. A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha

P (ξ_{1} < x_{1}, ξ_{2} < x_{2}, …, ξ_{n} < x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1})P (ξ_{2} < x_{2}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n}) minden valós x_{1}, …, x_{n} számra.

1. Megjegyzés: Szinte mindegyik beadott dolgozatban P (ξ_{1}) kifejezés szerepelt. Ezzel nagyon elégedetlen voltam, mert ennek a kifejezésnek nincs értelme.

2. Megjegyzés: Lehetett volna más definiciót is adni, melyet teljes értékű válasznak fogadtam volna el. Nevezetesen,

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, ξ_{2} ∈ B_{2}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1})P (ξ_{2} ∈ B_{2}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n}) a számegyenes minden (mérhető) B_{1}, …, B_{n} részhalmazára. A valószínűségszámítás egyik nem triviális eredménye alapján ez a két lehetséges definició ekvivalens. Az eredetileg megadott definició azért rokonszenvesebb a számomra, mert az ott szereplő azonosságok közvetlen ellenőrzése egyszerűbb.

6. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az f(u), −∞ < u < ∞, függvény, ha P (ξ < x) = ∫_{−∞}^{x} f(u) du minden −∞ < x < ∞ számra. Megjegyzés: A képletben szereplő F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞, függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezik.