\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
v\'eletlen\"ul kit\"olt\"ott lott\'oszelv\'enyen (ahol 90 sz\'am
k\"oz\"ul kell kital\'alni az \"ot kih\'uzott sz\'amot), pontosan k\'et
tal\'alatot \'er\"unk el?
\item{2.} Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at h\'aromszor.
Mi annak a felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
mind a h\'arom dob\'as eredm\'enye hatos, felt\'eve, hogy legal\'abb
egy hatos dob\'as t\"ort\'ent?
\item{3.} Legyen $\xi$ a $[0,a]$ intervallumon egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamilyen $a>0$
sz\'ammal, azaz legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1a$, ha $0\le x\le a$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e az
a hipot\'ezis, mely szerint ez az \'erme $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik-e a fej \'es $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 15~000 alkalommal,
\'es a k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy
alkalmas $k$ sz\'amot, \'es akkor tekintj\"uk \'ugy, hogy
hipot\'ezis\"unk teljes\"ul, ha a fejdob\'asok sz\'ama $10~000-k$ \'es
$10~000+k$ k\"oz\'e esik. Hogyan v\'alassszuk ezt a $k$ sz\'amot, ha
azt akarjuk, hogy egy a hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab
feldob\'asa eset\'en (k\"or\"ulbel\"ul) 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul? (A feladat megold\'as\'aban haszn\'aljuk a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azatot.)
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n adott $A_1,A_2,\dots,A_n$
ese\-m\'e\-nyek egym\'ast\'ol f\"uggetlenek?
\item{6.} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem:
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
 
\bigskip
Megold\'asok a k\"ovetkez\H{o} oldalon.
 
\vfill\eject
 
\centerline{\bf A dolgozat feladatainak megold\'asa:}
\medskip
\item{1.} $\dfrac{\dbinom52\dbinom {85}3 }{\dbinom{90}5}$,
mert a sz\'aml\'al\'o megadja az \"osszes lehets\'eges k\'et
tal\'alatot biztos\'{\i}t\'o kit\"olt\'esek sz\'am\'at, (az 5
kih\'uzott sz\'amb\'ol 2, a 85 ki nem h\'uzott sz\'amb\'ol
3-at kell kit\"olteni),  a nevez\H{o} megadja az \"osszes lehets\'eges
h\'uz\'asok sz\'am\'at, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}.
\item{2.} $\dfrac{\(\dfrac16\)^3}{1-\(\dfrac56\)^3}=\dfrac1{91}$.
Ugyanis jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy mind a h\'arom h\'uz\'as
6-os, $B$ azt az esem\'enyt, hogy legal\'abb egy h\'armas h\'uz\'as
t\"ort\'enik. Ekkor a $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ kifejez\'est
kell kisz\'am\'{\i}tani. Viszont $A\subset B$, ez\'ert $P(A\cap
B)=P(A)$. Tov\'abb\'a, $P(A)=\(\dfrac16\)^3$, \'es
$P(B)=1-\(\dfrac56\)^3$, mert a $B$ esem\'eny komplementere az az
esem\'eny, hogy mind a h\'arom dob\'as 1,2,3,4 vagy 5, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac56\)^3$.
\item{3.} $E\xi=\dsize\int_0^a
x\frac1a\,dx=\[\dfrac{x^2}{2a}\]_0^a=\frac a2$,
$E\xi^2=\dsize\int_0^a
x^2\frac1a\,dx=\[\dfrac{x^3}{3a}\]_0^a=\frac {a^2}3$,
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=\dfrac{a^2}3-\dfrac{a^2}4=\dfrac{a^2}{12}$.
\item{4.} Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik p\'enzdob\'as eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik p\'enzdob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as,
$S=\summ_{j=1}^{15000}\xi_j$. Ekkor a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, egyforma
eloszl\'as\'uak, \'es a hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en
$P(\xi_j=1)=\frac23$, $P(\xi_j=0)=\frac13$. Olyan $k$-sz\'amot
keres\"unk, melyre abban az esetben, ha a hipot\'ezis teljes\"ul, akkor
$P(10000-k\le S\le10000+k)\sim0.9$. Ebben az esetben $E\xi_j=\frac23$,
$\Var\xi_j=\frac23-\(\frac23\)^2=\frac29$, ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$P(10000-k\le S\le10000+k)=
P\(\dfrac{-k}{\sqrt{\frac{15000\cdot2}9}}\le\dfrac {S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\le \dfrac k{\sqrt{\frac{15000\cdot2}9}}\)\sim 2\Phi\(\dfrac{\sqrt3
k}{100}\)-1$. Ez\'ert a $\Phi\(\dfrac{\sqrt3k}{100}\)=0.95$
egyenletet kell megoldani. Innenn $\dfrac{\sqrt3k}{100}\sim1.65$,
$k=94$.
\item{5.} Az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek, ha az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz tetsz\H{o}leges
$\{k_1,\dots,k_s\}\subset\{1,\dots,n\}$ r\'eszhalmaz\'ara
$P(A_{k_1}\cdots A_{k_s})=P(A_{k_1})\cdots P(A_{k_s})$.
\item{6.}
\  $\, \,${a.} Igaz.
\itemitem{b.} Igaz.
\itemitem{c.} Hamis. L\'attuk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
ellenp\'eld\'at. Ha egy urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul kih\'uzunk
$n$ feh\'er vagy piros goly\'ot, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eset\'en piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as sor\'an feh\'er
goly\'ot h\'uzunk, $1\le j\le n$. Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzete, az $n$ h\'uz\'as
sor\'an kih\'uzott goly\'ok sz\'am\'anak a sz\'or\'asn\'egyzete nem
egyezik meg az egyes \"osszeadand\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'enek
az \"osszeg\'evel. A legegyszer\H{u}bben l\'atni ezt abban az esetben,
ha az \"osszes goly\'ot kih\'uzzuk. Ekkor az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzete z\'er\'o.
\itemitem{d.} Igaz.
 
 
 
 
 
\bye
