DOLGOZAT FELADATOK (A programozó matematikus gyakorlaton)

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kitöltött lottószelvényen (ahol 90 szám közül kell kitalálni az öt kihúzott számot), pontosan két találatot érünk el?

2. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát háromszor. Mi annak a feltételes valószínűsége, hogy mind a három dobás eredménye hatos, feltéve, hogy legalább egy hatos dobás történt?

3. Legyen ξ a [0, a] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó valamilyen a > 0 számmal, azaz legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{a}, ha 0 ≤ x ≤ a, és f(x) = 0 egyébként. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Egy pénzdarabról ellenőrizni akarjuk, hogy igaz-e az a hipotézis, mely szerint ez az érme \frac{2}{3} valószínűséggel esik-e a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalára. Ennek érdekében feldobjuk a pénzdarabot 15 000 alkalommal, és a következő döntési szabályt hozzuk. Választunk egy alkalmas k számot, és akkor tekintjük úgy, hogy hipotézisünk teljesül, ha a fejdobások száma 10 000 − k és 10 000 + k közé esik. Hogyan válassszuk ezt a k számot, ha azt akarjuk, hogy egy a hipotézist teljesítő pénzdarab feldobása esetén (körülbelül) 0.9 valószínűséggel döntsünk úgy, hogy a hipotézis teljesül? (A feladat megoldásában használjuk a mellékelt normális eloszlásfüggvény táblázatot.)

5. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn adott A_{1}, A_{2}, …, A_{n} események egymástól függetlenek?

6. Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

Megoldások a következő oldalon.

A dolgozat feladatainak megoldása:

1. \begin{matrix}\binom{5}{2} & \binom{85}{3} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix}, mert a számláló megadja az összes lehetséges két találatot biztosító

kitöltések számát, (az 5 kihúzott számból 2, a 85 ki nem húzott számból 3-at kell kitölteni), a nevező megadja az összes lehetséges húzások számát, és minden húzás egyforma valószínű.

2. \frac{(\frac{1}{6})^{3}}{1 − (\frac{5}{6})^{3}} = \frac{1}{91}. Ugyanis jelölje A azt az eseményt, hogy mind a három húzás 6-os,

B azt az eseményt, hogy legalább egy hármas húzás történik. Ekkor a P (A|B) =

\frac{P (A ∩ B)}{P (B)} kifejezést kell kiszámítani. Viszont A ⊂ B, ezért P (A ∩ B) = P (A).

Továbbá, P (A) = (\frac{1}{6})^{3}, és P (B) = 1 − (\frac{5}{6})^{3}, mert a B esemény komplementere

az az esemény, hogy mind a három dobás 1,2,3,4 vagy 5, és ennek valószínűsége

(\frac{5}{6})^{3}.

3. Eξ = ∫_{0}^{a} x\frac{1}{a} dx = [\frac{x^{2}}{2a}]_{0}^{a} = \frac{a}{2}, Eξ^{2} = ∫_{0}^{a} x^{2} \frac{1}{a} dx = [\frac{x^{3}}{3a}]_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{3} , Var ξ =

Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{a^{2}}{3} − \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{12}.

4. Legyen ξ_{j} = 1, ha a j-ik pénzdobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik pénzdobás

eredménye írás, S = ∑_{j=1}^{15000} ξ_{j}. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, egy-

forma eloszlásúak, és a hipotézis teljesülése esetén P (ξ_{j} = 1) = \frac{2}{3}, P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{3}. Olyan k-számot keresünk, melyre abban az esetben, ha a hipotézis teljesül, akkor P (10000 − k ≤ S ≤ 10000 + k) ∼ 0.9. Ebben az esetben Eξ_{j} = \frac{2}{3}, Var ξ_{j} = \frac{2}{3} − (\frac{2}{3})^{2} = \frac{2}{9}, ezért a centrális határeloszlástétel alapján P (10000 − k ≤ S ≤

10000 + k) = P (\frac{−k}{\sqrt{\frac{15000·2}{9}}} ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{k}{\sqrt{\frac{15000·2}{9}}} ) ∼ 2Φ (\frac{\sqrt{3}k}{100} ) − 1. Ezért a

Φ (\frac{\sqrt{3}k}{100} ) = 0.95 egyenletet kell megoldani. Innenn \frac{\sqrt{3}k}{100} ∼ 1.65, k = 94.

5. Az A_{1}, …, A_{n} események akkor függetlenek, ha az {1, …, n} halmaz tetszőleges {k_{1}, …, k_{s}} ⊂ {1, …, n} részhalmazára P (A_{k_{1}} ⋯ A_{k_{s}}) = P (A_{k_{1}}) ⋯ P (A_{k_{s}}).

6. a. Igaz.

b. Igaz. c. Hamis. Láttuk például a következő ellenpéldát. Ha egy urnából visszatevés

nélkül kihúzunk n fehér vagy piros golyót, ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás esetén piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás során fehér golyót húzunk, 1 ≤ j ≤ n. Ekkor e valószínűségi változók összegének a szórásnégyzete, az n húzás során kihúzott golyók számának a szórásnégyzete nem egyezik meg az egyes összeadandók szórásnégyzetének az összegével. A legegyszerűbben látni ezt abban az esetben, ha az összes golyót kihúzzuk. Ekkor az összeg szórásnégyzete zéró.

d. Igaz.