\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
 
\noindent{\bf A december 12-i szemin\'arium t\'em\'aja}
\hfill\break {\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip\noindent
 
Ezen a gyakorlaton hi\-po\-t\'e\-zis\-vizs\-g\'a\-lat\-tal \'es
konfidencia intervallumok meg\-ha\-t\'a\-ro\-z\'a\-s\'a\-val
foglalkoztunk. El\H{o}sz\"or n\'eh\'any hipot\'ezisvizsg\'alati
probl\'em\'at t\'argyalunk, majd be\-ve\-zet\-j\"uk
a hipot\'ezisvizsg\'alat n\'eh\'any fontos fogalm\'at.
\item{1.} Azt gondoljuk, (kiss\'e hivatalosabb vagy ha \'ugy tetszik
tudom\'anyosabb nyelven azt mondjuk, hogy az a hipot\'ezis\"unk), hogy
egy p\'enzdarab szab\'alyos. Ellen\H{o}rizz\"uk ezt a hipot\'ezist.
\item{} A term\'eszetes \'es gyakorlatban haszn\'alt m\'odszer abban
\'all, hogy feldobjuk a p\'enz\-da\-ra\-bot sokszor, \'es ha a
dob\'asok k\"or\"ulbel\"ul fele fej, akkor elfogadjuk a hipot\'ezist,
ha nem, akkor elutas\'{\i}tjuk. De mit jelent az, hogy k\"or\"ulbel\"ul
a fele? E k\'erd\'es tiszt\'az\'as\'aban a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel ny\'ujt sz\'amunkra seg\'{\i}ts\'eget.
\item{} Dobjuk fel a p\'enzdarabot $n$ alkalommal, \'es jel\"olje
$S_n$ a fejdob\'asok sz\'am\'at. Ha hipot\'ezis\"unk teljes\"ul,
akkor $ES_n=\dfrac n2$, $\Var S_n=\dfrac n4$, \'es a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an $P\(\dfrac{S_n-\frac n2}{\sqrt{\frac
n4}}<x\)\sim \Phi(x)$ nagy $n$ sz\'amra, ahol $\Phi(\cdot)$ a standard
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt jel\"oli. A d\"ont\'esi elj\'ar\'as,
amit k\"ovet\"unk a k\"ovetkez\H{o}: Eld\"ontj\"uk, hogy milyen
biztons\'aggal akarjuk el\'erni azt, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul\'ese eset\'en a hipot\'ezist elfogadjuk. Ha eld\"ontjuk ezt
az $u$ szintet (mondjuk, $u=0.9$, $u=0.95$ vagy $u=0.99$, \'altal\'aban
ilyen szintet szoktak el\H{o}\'{\i}rni a gyakorlatban), akkor a
centr\'alis eloszl\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel v\'alasztunk olyan $k$
sz\'amot, melyre
$$
P\(\dfrac n2-k\le S_n\le \dfrac n2+k\)\sim u,
$$
\'es a hipot\'ezist akkor fogadjuk el, ha a dob\'asok sz\'ama
$\dfrac n2-k$ \'es $\dfrac n2+k$ k\"oz\'e esik. Ellenkez\H{o} esetben
a hipot\'ezist elutas\'{\i}tjuk. Ez a $k$ sz\'am a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$k\sim\[2\Phi^{-1}(2u-1)-1\]\dfrac{\sqrt n}2$. Term\'eszetesen ilyen
m\'odon nehezebben tu\-dunk megk\"ul\"onb\"oztetni egy kiss\'e
szab\'alytalan p\'enzdarabot egy szab\'alyost\'ol mint egy nagyon
szab\'alytalant.
\item{2.} Egy \"onkorm\'anyzat el akarja d\"onteni, hogy egy \'ut
meg\'ep\'{\i}t\'es\'et t\'amogatja-e a la\-kos\-s\'ag legal\'abb
k\'et-harmada, mert csak ebben az esetben k\'{\i}v\'anja azt
meg\'ep\'{\i}teni. Tegy\"uk fel, hogy az emberek valamilyen
(ismeretlen) $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak az \'ut
\'ep\'{\i}t\'es\'et, \'es azt akarjuk eld\"onteni, hogy ez a $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg meghaladja-e a $\dfrac23$ sz\'amot. Ennek
\'erdek\'eben megk\'erdezz\"uk sok ember v\'elem\'eny\'et. H\'any
igenl\H{o} v\'elem\'eny eset\'en d\"ont\"unk \'ugy, hogy megvan a
k\'{\i}v\'ant t\'amogat\'as?
\item{} A term\'eszetes m\'odszer ism\'et a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'asa. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en $n$ megk\'erdezett emberb\H{o}l $k$ ember t\'amogatja az \'ut
\'ep\'{\i}t\'es\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et abban az esetben, ha $p=\dfrac23$. Ekkor
a t\'amogat\'ok $S_n$ sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$ES_n=\dfrac23n$, sz\'or\'asn\'egyzete $\Var S_n=\dfrac {2n}9$, \'es
$P\(\dfrac{S_n-\frac{2n}3}{\sqrt{\frac{2n}9}}\ge x\)\sim1-\Phi(x)$.
Ha azt akarjuk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
$p=\dfrac23$ eset\'en k\"or\"ulbel\"ul $u$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
d\"onts\"unk \'ugy, hogy megvan a sz\"uks\'eges t\'amogat\'as, akkor
$k\ge\dfrac{2n}3-\dfrac{\sqrt{2n}}3 \Phi^{-1}(u)$ t\'amogat\'o eset\'en
fogadjuk el azt, hogy megfelel\H{o} sz\'am\'u t\'amogat\'o van.
Ha $p>\dfrac23$, akkor m\'eg nagyobb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
fogjuk elfogadni e d\"ont\'esi elj\'ar\'as eset\'eben, hogy
megfelel\H{o} sz\'am\'u t\'amogat\'o van.
\item{3.} El akarjuk d\"onteni, hogy egy dob\'okocka szab\'alyos-e,
azaz igaz-e, hogy mindegyik oldal\'ara egyforma $\dfrac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik-e. A kock\'at feldobjuk $n$
alkalommal, \'es ha k\"or\"ulbel\"ul ugyanannyiszor esik
mindegyik oldal\'ara, akkor szab\'alyosnak te\-kint\-j\"uk a kock\'at,
ha nem, akkor szab\'alytalannak. Megint felmer\"ul a k\'erd\'es: Mikor
tekinthetj\"uk \'ugy, hogy a kocka ugyanannyiszor esik
mindegyik oldal\'ara?
\item{} Legyen $U_1(n),\dots,U_6(n)$ a megfelel\H{o} oldalakra es\H{o}
dob\'asok sz\'ama, \'es tekints\"uk a
$T_n=\summ_{j=1}^6\dfrac{(U_j(n)-\frac n6)^2}{\frac n6}$ kifejez\'est. Be
lehet l\'atni, hogy az $T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$G_n(x)=P(T_n<x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye konverg\'al az \'ugynevezett
5-param\'eter\H{u} $\chi$-n\'egyzet eloszl\'ashoz, azaz a
$G^{(5)}(x)=P\(\summ_{j=1}^5\xi_j^2<x\)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez,
ahol $\xi_j$, $j=1,\dots,5$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ez a
k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast sugallja. Ha azt akarjuk, hogy egy
szab\'alyos dob\'okock\'at $u$ k\"or\"ulbel\"ul $u$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fogadjunk el szab\'alyosnak, akkor
sz\'am\'{\i}tsuk ki a dob\'aseredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}tsuk ki  a $T_n=\summ_{j=1}^6\dfrac{(U_j(n)-\frac n6)^2}
{\frac n6}$ kifejez\'est. Ezut\'an n\'ezz\"uk meg egy t\'abl\'azatban,
hogy az 5 param\'eter\H{u} $G^{(5)}(\cdot)$ $\chi$-n\'egyzet
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, mely $x$ sz\'amra teljes\'{\i}ti a
$G^{(5)}(x)=u$ egyenletet, \'es fogadjuk el a kock\'at
sza\-b\'a\-lyos\-nak, ha $T_n\le x$, \'es tekints\"uk
szab\'alytalannak, ha $T_n>x$.
\item{} A fenti m\'odszerben alkalmazott hat\'areloszl\'as
h\'atter\'eben is a centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel,
pontosabban annak t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata \'all. Be lehet
l\'atni, hogy ha $n\to\infty$ akkor az
$$
\(\dfrac{(U_1(n)-EU_1(n)}{\sqrt n},\dots,\dfrac{U_6(n)-EU_6(n)}{\sqrt
n}\)
$$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy hat-dimenzi\'os 
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, melynek elemei nulla 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}ek, kovariancia struktur\'ajuk \'es 
el\-osz\-l\'a\-suk pontosan le\'{\i}rhat\'o. A $T_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok hat\'areloszl\'asa 
meg\-ha\-t\'a\-roz\-ha\-t\'o e  hat-dimenzi\'os norm\'alis 
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor  koordin\'at\'ainak alkalmas 
kvad\-ra\-ti\-kus form\'aj\'anak az eloszl\'asak\'ent. Ezut\'an n\'emi
line\'aris algebrai ismeret felhaszn\'al\'as\'aval be lehet
bizony\'{\i}tani a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt. Megjegyezz\"uk, hogy az,
hogy~5 (\'es nem~6) szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o jelent meg a
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-ban azzal f\"ugg \"ossze, hogy b\'ar az
$(U_1(n),\dots,U_6(n))$ vek\-tor\-nak hat koordin\'at\'aja van, de mivel
$\summ_{j=1}^6U_j(n)=n$, e hat koordin\'ata k\"oz\"ul csup\'an \"ot
``f\"uggetlen".
\item{} V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy az el\H{o}bb id\'ezett
eredm\'enynek igaz a k\"ovetkez\H{o}
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa. Tegy\"uk fel, hogy van
r\"ogz\'{\i}tett sz\'am\'u $k$ urn\'ank.
Egym\'as ut\'an bedobunk ezekbe egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $n$
goly\'ot, \'ugy hogy mindegyik goly\'o a $j$-ik urn\'aba $p_j$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik,  $1\le j\le k$,
$\summ_{j=1}^kp_j=1$.  Jel\"olje $U_j(n)$ a $j$-ik urn\'aba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at, \'es tekints\"uk a
$T_k(n)=\summ_{j=1}^k\dfrac{(U_j(n)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es ezek eloszl\'as\'at,
ha $n\to\infty$. Be lehet l\'atni, hogy a $T_k(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'a\-suk, ha $n\to\infty$, \'es ez a $k-1$
param\'eter\H{u} $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as, melynek
eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G^{(k-1)}(x)=P\(\summ_{j=1}^{k-1}\xi_j^2<x\)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, ahol $\xi_j$, $j=1,\dots,k-1$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Ha $k=6$, $p_j=\dfrac16$, $1\le j\le6$, akkor a
fenti eredm\'eny speci\'alis esetk\'ent tartalmazza a kockadob\'as
vizsg\'alat\'aban haszn\'alt eredm\'enyt.
\item{4.} Egy  gy\'arban k\'esz\'{\i}tett l\'ampa \'elettartama
exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'o valamilyen $\lambda$ param\'eterrel, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\lambda(x)=\lambda e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$, $f_\lambda(x)=0$, ha $x<0$. Az a felt\'etelez\'es\"unk,
hogy a l\'amp\'ak \'elettartam\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
legal\'abb 100 \'ora, azaz $\lambda\le\dfrac1{100}$. (Egy $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'arhat\'o \'ert\'eke $\dfrac1\lambda$,
 sz\'or\'asn\'egyzete pedig $\dfrac1{\lambda^2}$.) Megvizsg\'aljuk $n$
l\'ampa \'elettartam\'at, \'es ennek alapj\'an ellen\H{o}rizni akarjuk
hipot\'ezis\"unk helyess\'eg\'et.
\item{} Term\'eszetes a hipot\'ezis helyess\'eg\'et a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon ellen\H{o}rizni. Ha a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama el\'eg
nagy, akkor elfogadjuk a hipot\'ezist, ha nem akkor elutas\'{\i}tjuk.
A megfelel\H{o} szintet, azt hogy a l\'amp\'ak mekkora
\"ossz\'elettartama eset\'en fogadjuk el a hipot\'ezist a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Jel\"olje a l\'amp\'ak \'elettartam\'at
$\xi_j$, $1\le j\le n$, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_j$. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint $P\(\dfrac{S_n-\frac
n\lambda}{\frac{\sqrt n}\lambda}<x\)\sim \Phi(x)$. Hat\'arozzuk el
milyen $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel engedj\"uk meg azt, hogy a
hipot\'ezis helyess\'ege eset\'en m\'egis elutas\'{\i}tjuk azt. A
leg\-kel\-le\-met\-le\-nebb helyes eset az, ha a l\'amp\'ak
\'elettartama pontosan 100 \'ora, azaz $\lambda=\frac1{100}$. Ebben
az esetben a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meghat\'arozzuk azt az $x=x(p,n,\lambda)$
sz\'amot, $\lambda=\frac1{100}$, melyre igaz a k\"ovetekez\H{o}
\'all\'{\i}t\'as: Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a l\'amp\'ak
\'elettartama nagyobb mint $x$ a $p$ sz\'ammal egyenl\H{o}, ha
$\lambda=\frac1{100}$. Ha a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama nagyobb
mint ez az $x$ sz\'am akkor elfogadjuk, ellenkez\H{o} esetben
elutas\'{\i}tjuk a hipot\'ezist. \medskip
Fogalmazzuk meg a hipot\'ezis-vizsg\'alat n\'eh\'any fontos
fogalm\'at, ismertess\"uk a szo\-k\'a\-sos sz\'ohaszn\'alatot. A
hipot\'ezisvizsg\'alatban valamilyen feltev\'est szoktunk
ellen\H{o}rizni. Ez a feltev\'es az, hogy a megfigyelt esem\'enyek,
vagy v\'eletlen sz\'amok valamillyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-el\-osz\-l\'ast k\"ovetnek. Azt a
hipot\'ezist, melyet ellen\H{o}rizni akarunk nevezik
null-hipot\'ezisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a
null-hipot\'ezis egyetlen eloszl\'asb\'ol \'all, ilyen p\'eld\'aul a
fentebb tekintett p\'eld\'ak k\"oz\"ul az els\H{o} \'es a harmadik.
Ha ez az eset, akkor azt mondjuk, hogy a null-hipot\'ezis egyszer\H{u}.
Ha a null hipot\'ezis t\"obb lehets\'eges eloszl\'ast tartalmaz
(ilyen p\'eld\'aul az \'altalunk tekintett m]'asodik \'es negyedik
feladat, ahol tetsz\H{o}leges $p\ge\dfrac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, vagy 100 \'or\'anal nagyobb
\'elettartamot elfogadunk), akkor \"osszetett hipot\'ezisr\H{o}l
besz\'el\"unk. Azokat a lehet\H{o}s\'egeket, melyek
lehet\H{o}s\'eg\'et ki akarjuk z\'arni ellenhipot\'ezisnek nevezik.
 
A hipot\'ezisvizsg\'alatban a megfigyel\'esek alapj\'an olyan
d\"ont\'est hozunk, hogy elfogadjuk vagy elutas\'{\i}tjuk-e a
null hipot\'ezis teljes\"ul\'es\'et. Ha a null-hipot\'ezis
teljes\"ul, mi m\'egis \'ugy d\"ont\"unk, hogy az nem igaz
akkor els\H{o}faj\'u hib\'ar\'ol besz\'el\"unk. Ha a null-hipot\'ezis
nem teljes\"ul\'ese eset\'en mi m\'egis elfogadjuk azt, akkor
m\'asodfaj\'u hib\'ar\'ol besz\'el\"unk. Ha az els\H{o}faj\'u hib\'at
k\'{\i}v\'anjuk cs\"okkenteni, akkor min\'el t\"obb esetben kell
elfogadni, ha a m\'asodfaj\'u hib\'at akarjuk cs\"okkenteni, akkor
min\'el t\"obb esetben kell elutas\'{\i}tani a null-hipot\'ezis
teljes\"ul\'es\'et. Gyakorlatban \'altal\'aban \'ugy szokott megjelenni
a probl\'ema, hogy el\H{o}\'{\i}rjuk mekkora els\H{o}faj\'u hib\'at
enged\"unk meg, \'es e kik\"ot\'es mellett a m\'asodfaj\'u
hib\'at pr\'ob\'aljuk min\'el kisebb\'e tenni. Ha a null-hipot\'ezis
\"osszetett, akkor az els\H{o}faj\'u hiba el\H{o}\'{\i}r\'asa azt
jelenti, hogy a null-hipot\'ezisban megengedett b\'armely
lehet\H{o}s\'eg bek\"ovetkez\'ese eset\'en legfeljebb egy
el\H{o}\'{\i}rt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel utas\'{\i}tsuk el a
null-hipot\'ezis teljes\"ul\'es\'et. \medskip
 
A konfidencia intervallum (megbizhat\'os\'agi intervallum)
meghat\'aroz\'asa a becs\-l\'es\-el\-m\'e\-let\-ben megadott becsl\'es
pontoss\'ag\'at m\'eri. A form\'alis definici\'o megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at.
\item{} Adva egy p\'enzdarab el akarjuk d\"onteni, milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a p\'enzdarab a fej oldalra. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot $n$ alkalommal, \'es a
fej\-dob\'asok sz\'am\'anak relativ gyakoris\'ag\'aval becs\"ulj\"uk
a fejdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Szeretn\'enk meghat\'arozni,
hogy milyen pontoss\'ag\'u ez a becsl\'es. Ennek \'erdek\'eben
hat\'arozzunk meg egy olyan a megfigyel\'esek alapj\'an
meghat\'arozhat\'o viszonylag r\"ovid intervallumot, melyre igaz az, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az (ismeretlen) param\'eter
ebbe a megfigyel\'esekt\H{o}l, teh\'at a v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}
intervallumba esik legal\'abb 0.9. Ez \'ugy \'ertend\H{o}, hogy
b\'armi volt is az ismeretlen $0\le p\le1$ sz\'am, a megszerkesztett
(\'es k\"ozvetett m\'odon a $p$ param\'etert\H{o}l
f\"ugg\H{o}) intervallum tartalmazza ezt a $p$ sz\'amot.
 
\item{} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyen
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor
$\xi_j$, $j=1,\dots,n$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $P(\xi_j=1)=1-P(\xi_j=0)=p$,
(ahol $p$, $0\le p\le 1$, az ismeretlen, becs\"ulend\H{o}
param\'eter). Ez\'ert $E\xi_j=p$, $\Var\xi_j=p(1-p)$, \'es a
centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}<x\)\to\Phi(x)$, ha $n\to\infty$.
Tov\'abb\'a a nagy sz\'amok t\"orv\'enye szerint
$\dfrac{S_n}n\Rightarrow p$. Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel helyett fel\'{\i}rhatjuk a k\"ovetkez\H{o},
sz\'amunkra k\'enyelmesebb \"osszef\"ugg\'est:
$P\(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{ S_n\(1-\frac{S_n}n\)}}<x\)\to\Phi(x)$, ha
$n\to\infty$, ahonnan azt kapjuk, hogy
$P\(-x<\dfrac{np-S_n}{\sqrt{ S_n\(1-\frac{S_n}n\)}}<x\)\sim2\Phi(x)-1$,
ha $n$ el\'eg nagy sz\'am, minden $x>0$ sz\'amra. Innen
$P\(\dfrac {S_n}n-\dfrac x{\sqrt n}\sqrt{\dfrac{S_n}n
\(1-\dfrac{S_n}n\)}<p< \dfrac {S_n}n+\dfrac x{\sqrt n}
\sqrt{\dfrac{S_n}n\(1-\dfrac{S_n}n\)}\)\allowmathbreak\sim2\Phi(x)-1$. 
Mivel a $2\Phi(x)-1=0.9$ egyenlet megold\'asa k\"or\"ulbel\"ul $x=1.65$, 
ez azt jelenti, hogy
$$
P\(p\in \[\dfrac {S_n}n-\dfrac {1.65}{\sqrt n}
\sqrt{\dfrac{S_n}n\(1-\dfrac{S_n}n\)},
\dfrac {S_n}n+\dfrac{1.65}{\sqrt n}
\sqrt{\dfrac{S_n}n\(1-\dfrac{S_n}n\)}\]\)\sim 0.9.
$$
Ilyen m\'odon megadtunk a $p$ param\'eter $\dfrac{S_n}n$ becsl\'ese
k\"or\"ul egy intervallumot, mely nagy $n$ sz\'am\'u p\'enzdob\'as
eset\'en r\"ovid, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az igazi
$p$ param\'eter ebbe a (v\'eletlen) intervallumba esik k\"or\"ulbel\"ul
0.9. Ezzel az intervallummal tulajdonk\'eppen azt m\'erj\"uk, hogy
milyen pontos a becsl\'es\"unk. \medskip
A fenti feladat p\'eld\'at mutatott a konfidenciaintervallum
jelent\'es\'ere. Ezut\'an megfogalmazzuk a konfidenciaintervallum
\'altal\'anos definici\'oj\'at. \medskip\noindent
{\bf Konfindenciaintervallum definici\'oja.} {\it Legyen adva
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy $\lambda$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel
param\'eterezett $F_\lambda(\cdot)$ csal\'adja, valamint egy
$F_\lambda$ eloszl\'as\'u $\xi_1,\dots,\xi_n$ minta, azaz f\"uggetlen
$F_\lambda$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata. R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $p$, $0<p<1$, sz\'amot. Azt
mondjuk, hogy egy a $\xi_1,\dots,\xi_n$ mint\'at\'ol f\"ugg\H{o}
$A=A(\xi_1,\dots,\xi_n)$, $B=B(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'egpont\'u
$[A,B]$ intervallum $p$ szint\H{u} konfidenciaintervallum, ha minden
$\lambda$ param\'eter eset\'en $P_\lambda(\lambda\in [A,B])\ge p$.
(Itt a $\lambda$ index a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egben arra utal, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az $F_\lambda$ eloszl\'ast\'ol f\"ugg.}
 
 
 
 
\bye
