A december 12-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Ezen a gyakorlaton hipotézisvizsgálattal és konfidencia intervallumok meghatározásával foglalkoztunk. Először néhány hipotézisvizsgálati problémát tárgyalunk, majd bevezetjük a hipotézisvizsgálat néhány fontos fogalmát.

1. Azt gondoljuk, (kissé hivatalosabb vagy ha úgy tetszik tudományosabb nyelven azt mondjuk, hogy az a hipotézisünk), hogy egy pénzdarab szabályos. Ellenőrizzük ezt a hipotézist. A természetes és gyakorlatban használt módszer abban áll, hogy feldobjuk a pénzdarabot sokszor, és ha a dobások körülbelül fele fej, akkor elfogadjuk a hipotézist, ha nem, akkor elutasítjuk. De mit jelent az, hogy körülbelül a fele? E kérdés tisztázásában a centrális határeloszlástétel nyújt számunkra segítséget. Dobjuk fel a pénzdarabot n alkalommal, és jelölje S_{n} a fejdobások számát. Ha hipotézisünk teljesül, akkor ES_{n} = \frac{n}{2}, Var S_{n} = \frac{n}{4}, és a centrális határeloszlástétel

alapján P (\frac{S_{n} − \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}} < x) ∼ Φ(x) nagy n számra, ahol Φ(·) a standard normális

eloszlásfüggvényt jelöli. A döntési eljárás, amit követünk a következő: Eldöntjük, hogy milyen biztonsággal akarjuk elérni azt, hogy a hipotézis teljesülése esetén a hipotézist elfogadjuk. Ha eldöntjuk ezt az u szintet (mondjuk, u = 0.9, u = 0.95 vagy u = 0.99, általában ilyen szintet szoktak előírni a gyakorlatban), akkor a centrális eloszlás segítségével választunk olyan k számot, melyre

P (\frac{n}{2} − k ≤ S_{n} ≤ \frac{n}{2} + k) ∼ u,

és a hipotézist akkor fogadjuk el, ha a dobások száma \frac{n}{2} − k és \frac{n}{2} + k közé esik. Ellenkező esetben a hipotézist elutasítjuk. Ez a k szám a centrális határeloszlástétel

alapján k ∼ [2Φ^{−1}(2u − 1) − 1] \frac{\sqrt{n}}{2}. Természetesen ilyen módon nehezebben tudunk megkülönböztetni egy kissé szabálytalan pénzdarabot egy szabályostól mint egy nagyon szabálytalant.

2. Egy önkormányzat el akarja dönteni, hogy egy út megépítését támogatja-e a lakosság legalább két-harmada, mert csak ebben az esetben kívánja azt megépíteni. Tegyük fel, hogy az emberek valamilyen (ismeretlen) p valószínűséggel támogatják az út építését, és azt akarjuk eldönteni, hogy ez a p valószínűség meghaladja-e a

\frac{2}{3} számot. Ennek érdekében megkérdezzük sok ember véleményét. Hány igenlő vélemény esetén döntünk úgy, hogy megvan a kívánt támogatás? A természetes módszer ismét a centrális határeloszlástétel alkalmazása. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a feltétel teljesülése esetén n megkérdezett emberből k ember támogatja az út építését. Számítsuk ki ennek a valószínűségét abban az

esetben, ha p = \frac{2}{3}. Ekkor a támogatók S_{n} számának várható értéke ES_{n} = \frac{2}{3}n, szórásnégyzete Var S_{n} = \frac{2n}{9}, és P (\frac{S_{n} − \frac{2n}{3}}{\sqrt{\frac{2n}{9}}} ≥ x) ∼ 1 − Φ(x). Ha azt akarjuk,

hogy annak valószínűsége, hogy p = \frac{2}{3} esetén körülbelül u valószínűséggel döntsünk

úgy, hogy megvan a szükséges támogatás, akkor k ≥ \frac{2n}{3} − \frac{\sqrt{2n}}{3}Φ^{−1}(u) támogató

esetén fogadjuk el azt, hogy megfelelő számú támogató van. Ha p > \frac{2}{3}, akkor még nagyobb valószínűséggel fogjuk elfogadni e döntési eljárás esetében, hogy megfelelő számú támogató van.

3. El akarjuk dönteni, hogy egy dobókocka szabályos-e, azaz igaz-e, hogy mindegyik

oldalára egyforma \frac{1}{6} valószínűséggel esik-e. A kockát feldobjuk n alkalommal, és ha körülbelül ugyanannyiszor esik mindegyik oldalára, akkor szabályosnak tekintjük a kockát, ha nem, akkor szabálytalannak. Megint felmerül a kérdés: Mikor tekinthetjük úgy, hogy a kocka ugyanannyiszor esik mindegyik oldalára? Legyen U_{1}(n), …, U_{6}(n) a megfelelő oldalakra eső dobások száma, és tekintsük a

T_{n} = ∑_{j=1}^{6} \frac{(U_{j}(n) − \frac{n}{6})^{2}}{\frac{n}{6}} kifejezést. Be lehet látni, hogy az T_{n} valószínűségi változó

G_{n}(x) = P (T_{n} < x) eloszlásfüggvénye konvergál az úgynevezett 5-paraméterű χ-

négyzet eloszláshoz, azaz a G^{(5)}(x) = P ( ∑_{j=1}^{5} ξ_{j}^{2} < x) eloszlásfüggvényhez, ahol

ξ_{j}, j = 1, …, 5 független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ez a következő eljárást sugallja. Ha azt akarjuk, hogy egy szabályos dobókockát u körülbelül u valószínűséggel fogadjunk el szabályosnak, akkor számítsuk ki a

dobáseredmények segítségével számítsuk ki a T_{n} = ∑_{j=1}^{6} \frac{(U_{j}(n) − \frac{n}{6})^{2}}{\frac{n}{6}} kifejezést.

Ezután nézzük meg egy táblázatban, hogy az 5 paraméterű G^{(5)}(·) χ-négyzet eloszlásfüggvény, mely x számra teljesíti a G^{(5)}(x) = u egyenletet, és fogadjuk el a kockát szabályosnak, ha T_{n} ≤ x, és tekintsük szabálytalannak, ha T_{n} > x. A fenti módszerben alkalmazott határeloszlás hátterében is a centrális határeloszlástétel, pontosabban annak több-dimenziós változata áll. Be lehet látni, hogy ha n → ∞ akkor az

(\frac{(U_{1}(n) − EU_{1}(n)}{\sqrt{n}}, …, \frac{U_{6}(n) − EU_{6}(n)}{\sqrt{n}})

véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak egy hat-dimenziós normális eloszlású véletlen vektorhoz, melynek elemei nulla várható értékűek, kovariancia strukturájuk és eloszlásuk pontosan leírható. A T_{n} valószínűségi változók határeloszlása meghatározható e hat-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor koordinátáinak alkalmas kvadratikus formájának az eloszlásaként. Ezután némi lineáris algebrai ismeret felhasználásával be lehet bizonyítani a kívánt eredményt. Megjegyezzük, hogy az, hogy 5 (és nem 6) szabadságfokú χ-négyzet eloszlású valószínűségi változó jelent meg a határeloszlásban azzal függ össze, hogy bár az (U_{1}(n), …, U_{6}(n)) vek-

tornak hat koordinátája van, de mivel ∑_{j=1}^{6} U_{j}(n) = n, e hat koordináta közül csupán

öt “független”.

Végül megjegyezzük, hogy az előbb idézett eredménynek igaz a következő általánosítása. Tegyük fel, hogy van rögzített számú k urnánk. Egymás után bedobunk ezekbe egymástól függetlenül n golyót, úgy hogy mindegyik golyó a j-ik urnába p_{j}

valószínűséggel esik, 1 ≤ j ≤ k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje U_{j}(n) a j-ik urnába eső golyók

számát, és tekintsük a T_{k}(n) = ∑_{j=1}^{k} \frac{(U_{j}(n) − np_{j})^{2}}{np_{j}} valószínűségi változókat, és

ezek eloszlását, ha n → ∞. Be lehet látni, hogy a T_{k}(n) valószínűségi változóknak létezik határeloszlásuk, ha n → ∞, és ez a k − 1 paraméterű χ-négyzet eloszlás,

melynek eloszlásfüggvénye a G^{(k−1)}(x) = P ( ∑_{j=1}^{k−1} ξ_{j}^{2} < x) eloszlásfüggvény, ahol

ξ_{j}, j = 1, …, k − 1 független standard normális eloszlású valószínűségi változók.

Ha k = 6, p_{j} = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 6, akkor a fenti eredmény speciális esetként tartalmazza a kockadobás vizsgálatában használt eredményt.

4. Egy gyárban készített lámpa élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó valamilyen λ paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye λ(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f_{λ}(x) = 0, ha x < 0. Az a feltételezésünk, hogy a lámpák élettartamának a várható

értéke legalább 100 óra, azaz λ ≤ \frac{1}{100}. (Egy λ paraméterű exponenciális eloszlású

valószínűségi várható értéke \frac{1}{λ}, szórásnégyzete pedig \frac{1}{λ^{2}} .) Megvizsgáljuk n lámpa élettartamát, és ennek alapján ellenőrizni akarjuk hipotézisünk helyességét.

Természetes a hipotézis helyességét a következő módon ellenőrizni. Ha a lámpák összélettartama elég nagy, akkor elfogadjuk a hipotézist, ha nem akkor elutasítjuk. A megfelelő szintet, azt hogy a lámpák mekkora összélettartama esetén fogadjuk el a hipotézist a centrális határeloszlástétel segítségével számíthatjuk ki. Jelölje a

lámpák élettartamát ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{j}. A centrális határeloszlástétel

szerint P (\frac{S_{n} − \frac{n}{λ}}{\frac{\sqrt{n}}{λ}} < x) ∼ Φ(x). Határozzuk el milyen p valószínűséggel en-

gedjük meg azt, hogy a hipotézis helyessége esetén mégis elutasítjuk azt. A legkellemetlenebb helyes eset az, ha a lámpák élettartama pontosan 100 óra, azaz λ = \frac{1}{100}. Ebben az esetben a centrális határeloszlástétel segítségével meghatározzuk azt az x = x(p, n, λ) számot, λ = \frac{1}{100}, melyre igaz a követekező állítás: Annak valószínűsége, hogy a lámpák élettartama nagyobb mint x a p számmal egyenlő, ha λ = \frac{1}{100}. Ha a lámpák összélettartama nagyobb mint ez az x szám akkor elfogadjuk, ellenkező esetben elutasítjuk a hipotézist.

Fogalmazzuk meg a hipotézis-vizsgálat néhány fontos fogalmát, ismertessük a szokásos szóhasználatot. A hipotézisvizsgálatban valamilyen feltevést szoktunk ellenőrizni. Ez a feltevés az, hogy a megfigyelt események, vagy véletlen számok valamillyen valószínűségeloszlást követnek. Azt a hipotézist, melyet ellenőrizni akarunk nevezik nullhipotézisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipotézis egyetlen eloszlásból áll, ilyen például a fentebb tekintett példák közül az első és a harmadik. Ha ez az eset, akkor azt mondjuk, hogy a null-hipotézis egyszerű. Ha a null hipotézis több lehetséges eloszlást tartalmaz (ilyen például az általunk tekintett m]’asodik és negyedik

feladat, ahol tetszőleges p ≥ \frac{2}{3} valószínűséget, vagy 100 óránal nagyobb élettartamot elfogadunk), akkor összetett hipotézisről beszélünk. Azokat a lehetőségeket, melyek lehetőségét ki akarjuk zárni ellenhipotézisnek nevezik.

A hipotézisvizsgálatban a megfigyelések alapján olyan döntést hozunk, hogy elfogadjuk vagy elutasítjuk-e a null hipotézis teljesülését. Ha a null-hipotézis teljesül, mi mégis úgy döntünk, hogy az nem igaz akkor elsőfajú hibáról beszélünk. Ha a null-hipotézis nem teljesülése esetén mi mégis elfogadjuk azt, akkor másodfajú hibáról beszélünk. Ha az elsőfajú hibát kívánjuk csökkenteni, akkor minél több esetben kell elfogadni, ha a másodfajú hibát akarjuk csökkenteni, akkor minél több esetben kell elutasítani a null-hipotézis teljesülését. Gyakorlatban általában úgy szokott megjelenni a probléma, hogy előírjuk mekkora elsőfajú hibát engedünk meg, és e kikötés mellett a másodfajú hibát próbáljuk minél kisebbé tenni. Ha a null-hipotézis összetett, akkor az elsőfajú hiba előírása azt jelenti, hogy a null-hipotézisban megengedett bármely lehetőség bekövetkezése esetén legfeljebb egy előírt valószínűséggel utasítsuk el a nullhipotézis teljesülését.

A konfidencia intervallum (megbizhatósági intervallum) meghatározása a becsléselméletben megadott becslés pontosságát méri. A formális definició megfogalmazása előtt tekintsük a következő példát.

Adva egy pénzdarab el akarjuk dönteni, milyen valószínűséggel esik a pénzdarab a fej oldalra. Ennek érdekében feldobjuk a pénzdarabot n alkalommal, és a fejdobások számának relativ gyakoriságával becsüljük a fejdobás valószínűséget. Szeretnénk meghatározni, hogy milyen pontosságú ez a becslés. Ennek érdekében határozzunk meg egy olyan a megfigyelések alapján meghatározható viszonylag rövid intervallumot, melyre igaz az, hogy annak valószínűsége, hogy az (ismeretlen) paraméter ebbe a megfigyelésektől, tehát a véletlentől függő intervallumba esik legalább 0.9. Ez úgy értendő, hogy bármi volt is az ismeretlen 0 ≤ p ≤ 1 szám, a megszerkesztett (és közvetett módon a p paramétertől függő) intervallum tartalmazza ezt a p számot. Vezessük be a következő jelöléseket. Legyen ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye

fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}. Ekkor ξ_{j}, j = 1, …, n,

független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, P (ξ_{j} = 1) = 1 − P (ξ_{j} = 0) = p, (ahol p, 0 ≤ p ≤ 1, az ismeretlen, becsülendő paraméter). Ezért Eξ_{j} = p,

Var ξ_{j} = p(1 − p), és a centrális határeloszástétel szerint P (\frac{S_{n} − np}{\sqrt{np(1 − p)}} < x) → Φ(x), ha n → ∞. Továbbá a nagy számok törvénye szerint \frac{S_{n}}{n} ⇒ p. Ezért a centrális határeloszlástétel helyett felírhatjuk a következő, számunkra kényelmesebb

összefüggést: P (\frac{S_{n} − np}{\sqrt{S_{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )}} < x) → Φ(x), ha n → ∞, ahonnan azt kapjuk,

hogy P (−x < \frac{np − S_{n}}{\sqrt{S_{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )}} < x) ∼ 2Φ(x)−1, ha n elég nagy szám, minden x >

0 számra. Innen P (\frac{S_{n}}{n} − \frac{x}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{S_{n}}{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )} < p < \frac{S_{n}}{n} + \frac{x}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{S_{n}}{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )})

∼ 2Φ(x) − 1. Mivel a 2Φ(x) − 1 = 0.9 egyenlet megoldása körülbelül x = 1.65, ez azt jelenti, hogy

P (p ∈ [\frac{S_{n}}{n} − \frac{1.65}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{S_{n}}{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )}, \frac{S_{n}}{n} + \frac{1.65}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{S_{n}}{n} (1 − \frac{S_{n}}{n} )}]) ∼ 0.9.

Ilyen módon megadtunk a p paraméter \frac{S_{n}}{n} becslése körül egy intervallumot, mely nagy n számú pénzdobás esetén rövid, és annak valószínűsége, hogy az igazi p paraméter ebbe a (véletlen) intervallumba esik körülbelül 0.9. Ezzel az intervallummal tulajdonképpen azt mérjük, hogy milyen pontos a becslésünk.

A fenti feladat példát mutatott a konfidenciaintervallum jelentésére. Ezután megfogalmazzuk a konfidenciaintervallum általános definicióját.

Konfindenciaintervallum definiciója. Legyen adva eloszlásfüggvényeknek egy λ paraméterrel paraméterezett F_{λ}(·) családja, valamint egy F_{λ} eloszlású ξ_{1}, …, ξ_{n} minta, azaz független F_{λ} eloszlású valószínűségi változók sorozata. Rögzítsünk valamilyen p, 0 < p < 1, számot. Azt mondjuk, hogy egy a ξ_{1}, …, ξ_{n} mintától függő A = A(ξ_{1}, …, ξ_{n}), B = B(ξ_{1}, …, ξ_{n}) végpontú [A, B] intervallum p szintű konfidenciaintervallum, ha minden λ paraméter esetén P_{λ}(λ ∈ [A, B]) ≥ p. (Itt a λ index a valószínűségben arra utal, hogy a valószínűség az F_{λ} eloszlástól függ.