\magnification=\magstep1
\hsize=15truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=1.5pt plus 1pt
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\font\script =cmcsc10
\font\kisbetu=cmr8

\centerline{\bf T\"OBB-V\'ALTOZ\'OS V\'ELETLEN INTEGR\'ALOK}
\centerline{\bf \'ES $U$-STATISZTIK\'AK BECSL\'ESE.}
\smallskip
\centerline{Akad\'emiai sz\'ekfoglal\'o el\H{o}ad\'as ismertet\'ese}
\smallskip
\centerline{\it Major P\'eter}
\centerline{\it MTA  R\'en/yi Alfr\'ed Matematikai Kutat\'o Int\'ezete}

\medskip\noindent
Ez az \'{\i}r\'as akad\'emiai sz\'ekfoglal\'o el\H{o}ad\'asom
b\H{o}v\'{\i}tett v\'altozata. El\H{o}\-sz\"or megfogalmazom az 
el\H{o}ad\'asban t\'argyalt probl\'em\'akat \'es r\"oviden jelzem 
azokat a k\'er\-d\'e\-se\-ket, amelyek ezek vizsg\'alat\'ahoz vezettek. 
Ezut\'an le\'{\i}rom a k\'erd\'esek vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban kapott 
matematikai eredm\'enyeket. R\'eszletesen ismertetem azok
h\'at\-te\-r\'et, \'es t\'argyalom azokat a matematikai
gondolatokat \'es fogalmakat, amelyek az eredm\'enyeket jobban 
megmagyar\'azz\'ak.

\beginsection 1. Bevezet\'es. A probl\'em\'ak megfogalmaz\'asa.

A  probl\'em\'ak megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or bevezetek
n\'eh\'any jel\"ol\'est.

\noindent
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma, $\mu$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta
valamely $(X,\Cal X)$ t\'eren, \'es jel\"olje $\mu_n$,
$$
\mu_n(A)=\dfrac1n\#\{j\:\,\xi_j\in A,\;1\le j\le n\},\quad A\in\Cal X,
$$
e sorozat empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Legyen adva egy
m\'erhet\H{o} $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny az
$(X^k,\Cal X^k)$ szorzatt\'eren. Vegy\"uk a $\mu_n$ empirikus
m\'ert\'ek $\sqrt n(\mu_n-\mu)$ normaliz\'altj\'anak $k$-szoros
direkt szorzat\'at az $(X^k,\Cal X^k)$ t\'eren, \'es te\-kint\-s\"uk
az $f$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at ezen el\H{o}jeles szorzatm\'ert\'ek
szerint. M\'ask\'epp fo\-gal\-maz\-va, de\-fi\-ni\-\'al\-juk a 
k\"ovetkez\H{o}  (v\'eletlen) integr\'alt:
$$
\aligned
J_{n,k}(f)&=\frac{n^{k/2}}{k!} \int'
f(x_1,\dots,x_k)(\mu_n(\,dx_1)-\mu(\,dx_1))\dots
(\mu_n(\,dx_k)-\mu(\,dx_k)),\\
&\qquad\text{ahol a vessz\H{o} az $\tsize\int'$ formul\'aban
azt jel\"oli, hogy az } \\
&\qquad x_j=x_l,\; 1\le j<l\le k,
\text{  \'atl\'okat kihagytuk az integr\'al\'asi} \\
&\qquad \text{tartom\'anyb\'ol.}
\endaligned \tag1.1
$$

A k\"ovetkez\H{o} k\'et probl\'em\'at vizsg\'alom:
\medskip
\item{} {\it Probl\'ema A).}
Adjunk j\'o becsl\'est a $P(J_{n,k}(f)>u)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre az $f$ f\"uggv\'enyre tett alkalmas
felt\'etelek mellett.
\medskip
\item{} (A felmer\"ul\H{o} alkalmaz\'asokban term\'eszetesnek bizonyult
az $x_j=x_l$, $j\neq l$, \'atl\'ok kihagy\'asa az integr\'al\'asi
tartom\'anyb\'ol.)

A m\'asodik, \'altal\'anosabb itt vizsg\'alt probl\'ema a
k\"ovetkez\H{o}:
\medskip
\item{} {\it Probl\'ema B).}
Legyen  $\Cal F$ bizonyos $f(x_1,\dots,x_k)$ alak\'u f\"uggv\'enyek
egy sz\'ep oszt\'alya az $(X^k,\Cal X^k)$ t\'eren. Adjunk j\'o
becsl\'est a $P\left(\sup\limits_{f\in\Cal F}J_{n,k}(f)>u\right)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re, ahol $J_{n,k}(f)$ ism\'et
az $f$ f\"uggv\'eny (1.1) formul\'aban defini\'alt integr\'alj\'at
jel\"oli.
\medskip

Kider\"ult, hogy a fenti k\'et probl\'em\'at \'erdemes egy\"utt
vizsg\'alni azok \'ugy\-ne\-ve\-zett $U$-statisztik\'akr\'ol sz\'ol\'o
anologonjaival. Ezek megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezettem  az
$U$-statisztik\'ak fogalm\'at:

\medskip\noindent
{\bf $U$-statisztik\'ak definici\'oja.} {\it
Legyen adva $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta, melyek
\'ert\'ekeiket egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren veszik fel,
valamint egy $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny az
$(X^k,\Cal X^k)$ szorzatt\'eren, $n\ge k$. Ekkor az
$$
I_{n,k}(f)=\frac1{k!}\sum\limits\Sb 1\le j_s\le n,\; s=1,\dots, k\\
j_s\neq j_{s'} \text{ if } s\neq s'\endSb
f\left(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k}\right) \tag1.2
$$
kifejez\'es  $k$-ad rend\H{u} $U$-statisztika az $f$
mag\-f\"ugg\-v\'ennyel.}
\medskip

Ezut\'an megfogalmaztam a fenti k\'et probl\'ema al\'abbi
v\'altozatait.

\item{} {\it Probl\'ema A$'$).}
Adjunk j\'o becsl\'est a $P(n^{-k/2}I_{n,k}(f)>u)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre az $f$ f\"uggv\'enyre tett alkalmas
felt\'etelek mellett.
\medskip
\item{} {\it Probl\'ema B$'$).}
Legyen  $\Cal F$ bizonyos $f(x_1,\dots,x_k)$ alak\'u f\"uggv\'enyek
egy sz\'ep oszt\'alya az $(X^k,\Cal X^k)$ t\'eren. Adjunk j\'o
becsl\'est a
$P\left(\sup\limits_{f\in\Cal F}n^{-k/2}I_{n,k}(f)>u\right)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre, ahol $I_{n,k}(f)$ ism\'et
a (1.2) formul\'aban defini\'alt $k$-ad rend\H{u}
$U$-statisztik\'at jel\"oli az $f$ magf\"uggv\'ennyel.
\medskip

\'Erdemes megjegyezni, hogy egy $k$-ad rend\H{u} $U$-statisztik\'at
az $f$ mag\-f\"ugg\-v\'ennyel az
$$
I_{n,k}(f)=\frac{n^k}{k!}\int'
f(x_1,\dots,x_k)\mu_n(\,dx_1)\dots\mu_n(\,dx_k).
$$
alakban is fel lehet \'{\i}rni. Ez azt mutatja, hogy a l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg az (1.1) formul\'aban bevezetett v\'eletlen
integr\'alok \'es $U$-statisztik\'ak k\"oz\"ott az, hogy a v\'eletlen
in\-teg\-r\'a\-lok\-ban a
`normaliz\'alt' $\mu_n-\mu$, m\'{\i}g az $U$-statisztik\'akban a `nem
normaliz\'alt' $\mu_n$ m\'ert\'ek szerint integr\'alunk.

\medskip
A fent megfogalmazott probl\'em\'ak \'ugy jelentek meg sz\'amomra,
hogy egy a maximum likelihood becsl\'esek aszimptotikus
viselked\'es\'enek vizsg\'alat\'aban j\'ol m\H{u}k\"od\H{o}
egyszer\H{u} m\'odszert megpr\'ob\'altam alkalmazni nehezebb
probl\'em\'ak ese\-t\'e\-ben is. A maximum likelihood becsl\'es
aszimptotikus viselked\'es\'enek vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban az
\'ugy\-ne\-ve\-zett maximum likelihood egyenlet megold\'as\'anak
j\'o becsl\'es\'ere van sz\"uk\-s\'eg. Ez meg\-kap\-ha\-t\'o a
maximum likelihood egyenletben szerepl\H{o} f\"uggv\'eny egy olyan
k\"ozel\'{\i}t\'es\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyet
e f\"uggv\'eny Taylor-sor fejt\'es\'enek, \'es a sorfejt\'es magas
rang\'u tagjainak elhagy\'as\'aval kapunk. Be kell l\'atni, hogy ez a
k\"ozel\'{\i}t\'es csak elhanyagolhat\'oan kis hib\'at okoz,
de ennek a bizony\'{\i}t\'asa viszonylag egyszer\H{u}.

Ilyen m\'odszert pr\'ob\'altam haszn\'alni \'ugynevezett
nem-param\'eteres maximum likelihood becsl\'esek aszimptotikus
viselked\'es\'enek a vizsg\'alat\'aban is. Ez hasznosnak bizonyult
p\'eld\'aul olyan probl\'em\'akban, amelyekben egy ismeretlen
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt k\'{\i}v\'anunk megbecs\"ulni bizonyos
r\'eszleges ismeretek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny egy adott pontbeli \'ert\'ek\'enek a 
becsl\'es\'eben a param\'eteres eset\-ben alkalmazott Taylor-sor 
fejt\'es alapj\'an v\'egzett k\"ozel\'{\i}t\'es adapt\'aci\'oj\'at 
al\-kal\-maz\-hat\-juk. Ekkor  azonban annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy 
az \'{\i}gy kapott  k\"ozel\'{\i}t\'es elhanyagolhat\'oan kis hib\'at 
okoz, l\'enyegesen  nehezebb. Ennek igazol\'as\'ahoz a 
Prob\-l\'e\-ma~A) j\'o 
megold\'as\'ara van sz\"uks\'eg. Abban az eset\-ben, ha
az eloszl\'asf\"uggv\'eny becsl\'es hib\'aj\'at minden pontban 
egyszerre k\'{\i}v\'anjuk megbecs\"ulni, akkor a Probl\'ema~B) j\'o
megold\'as\'ara van sz\"uks\'eg\"unk.

\'Altal\'anos nem-param\'eteres probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban
sz\'amos m\'as prob\-l\'e\-m\'at is meg kell oldani, de a Probl\'ema~A)
\'es Probl\'ema~B) vizsg\'alata k\"ul\"on\"osen fontos. R\'aad\'asul
ezek a k\'erd\'esek n\'eh\'any alapvet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
jelens\'eg jobb meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-vel is kapcsolatosak. Ez\'ert
tartottam \'erdemesnek az e dolgozatban meg\-fo\-gal\-ma\-zott
k\'er\-d\'e\-sek r\'eszletes t\'argyal\'as\'at.


\beginsection 2. A probl\'ema \'attekint\'ese. Az egyv\'altoz\'os
eset vizsg\'alata.

Az eredm\'enyek r\'eszletesebb vizsg\'alata el\H{o}tt \'erdemes
meggondolni azt, hogy milyen eredm\'enyt v\'arhatunk. Vegy\"uk
\'eszre, hogy a $\sqrt n(\mu_n-\mu)$ normaliz\'alt el\H{o}jeles
m\'ert\'ekek egy Gauss mez\H{o}h\"oz konverg\'alnak, ha $n\to\infty$.
Ez\'ert azt v\'arhatjuk, hogy a Probl\'ema~A) \'es Probl\'ema~B)
megold\'as\'aban nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett olyan
becsl\'esek \'erv\'enyesesek, mint amilyeneket azok norm\'alis
megfelel\H{o}je sugall. De meg kell \'erten\"unk a v\'alaszt a
k\"ovetkez\H{o} k\'et k\'erd\'esre.
\medskip
\item{1.)} Milyen becsl\'est sugall e probl\'em\'ak norm\'alis
megfelel\H{o}je?
\item{2.)} Mit jelent a `nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett'
kifejez\'es?
\medskip

A fenti k\'erd\'esek tiszt\'az\'asa \'erdek\'eben \'erdemes
el\H{o}sz\"or a Probl\'ema~A)-t vizs\-g\'al\-ni a $k=1$ esetben,
amikor f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek eloszl\'as\'at kell becs\"ulni. Err\H{o}l sz\'ol az
al\'abbi klasszikus, Bernstein egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-nek
h\'{\i}vott eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Bernstein egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok, amelyekre $P(|\xi_j|\le1)=1$, $E\xi_j=0$,
$1\le j\le n$. Vezess\"uk be a $\sigma_j^2=E\xi_j^2$, $1\le j\le n$,
$S_n=\sum\limits_{j=1}^n \xi_j$ and $V_n^2=\text{\rm Var}\, S_n
=\sum\limits_{j=1}^n\sigma_j^2$ jel\"ol\'eseket. Ekkor
$$
P(S_n>u)\le\exp\left\{-\frac{u^2}{2V_n^2\left(1+\frac u{3V_n^2}
\right)}\right\}
\quad\text{ minden }u>0 \text{ sz\'amra}. \tag2.1
$$
}\medskip

A Bernstein egyenl\H{o}tlens\'eg a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal sugallt ered\-m\'eny\-hez hasonl\'o
becsl\'est ad f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeinek az el\-osz\-l\'a\-s\'a\-ra, b\'ar a nevez\H{o}ben
megjelen\H{o} $1+\frac u{3V_n^2}$ t\'enyez\H{o} kiss\'e
m\'odos\'{\i}tja a k\'epet. A k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelben
ennek a t\'enyez\H{o}nek a hat\'as\'at tekintem \'at
k\"ul\"onb\"oz\H{o} esetekben.
\medskip
\item{a)} Ha $u\le \varepsilon V_n^2$ valamely kis $\varepsilon>0$
sz\'ammal, akkor $P(S_n>u)\le e^{-(1-\varepsilon)u^2/2V_n^2}$. Ez
majdnem olyan j\'o becsl\'es, mint amilyet a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel sugall.
\item{b)} Ha $u\le 3 V_n^2$, akkor
$P(S_n>u)\le e^{-\text{const.}\, u^2/2V_n^2}$. Ez a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'altal sugallt eredm\'enyhez
hasonl\'o becsl\'es, n\'emileg rosszabb konstanssal az exponensben.
\item{c)} Ha $u\gg V_n^2$, akkor
$$
P(S_n>u)\le e^{-u}. \tag2.2
$$
Ez nagyon rossz becsl\'es. Speci\'alisan, az itt fel\'{\i}rt fels\H{o}
korl\'at nem f\"ugg az \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'et\H{o}l.
\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy lehet-e a Bernstein
egyenl\H{o}tlens\'eget jav\'{\i}tani a `rossz' $u\gg V_n^2$ esetben?
Erre a k\'erd\'esre igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni . Az
al\'abb ismertetett Bennett egyenl\H{o}tlens\'eg a Bernstein
egyenl\H{o}tlens\'eg enyhe jav\'{\i}t\'as\'at
biztos\'{\i}tja ebben az esetben.
\medskip\noindent
{\bf Bennett egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
amelynek tagjai teljes\'{\i}tik a $P(|\xi_j|\le1)=1$, $EX_j=0$,
$1\le j\le n$, azonoss\'agokat. Vezess\"uk be a $\sigma_j^2=E\xi_j^2$,
$1\le j\le n$, $S_n=\sum\limits_{j=1}^n \xi_j$ \'es
$V_n^2=\text{\rm Var}\,S_n=\sum\limits_{j=1}^n\sigma_j^2$
jel\"ol\'eseket. Ekkor
$$
P(S_n>u)\le\exp\left\{-V^2_n\left[\left(1+\frac u{V^2_n}\right)
\log\left(1+\frac u{V^2_n}\right)-\frac u{V^2_n}\right]\right\}
$$
minden $u>0$ sz\'amra.

Ez\'ert l\'etezik olyan $B=B(\varepsilon)>0$ sz\'am minden
$\varepsilon>0$-ra, amelyre
$$
P(S_n>u)\le\exp\left\{-(1-\varepsilon)u\log \frac u{V^2_n}
\right\}\quad\text{ha } u>BV_n^2,
$$
\'es l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am, amelyre
$$
P(S_n>u)\le\exp\left\{-Ku\log \frac u{V^2_n}
\right\}\quad\text{ha }u\ge3V_n^2. \tag2.3
$$}
\medskip

A (2.3) formula a (2.2) k\'eplet enyhe jav\'{\i}t\'as\'at
biztos\'{\i}tja, de ez a becsl\'es is nagyon t\'avol van a
centr\'alis hat\'areloszl\'as \'altal sugallt becsl\'est\H{o}l.
Ugyanakkor a k\"ovetkez\H{o} p\'elda azt mutatja, hogy ez az
eredm\'eny nem jav\'{\i}that\'o.

\medskip\noindent
{\bf Als\'o becsl\'es f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'a\-s\'a\-ra
egy alkalmas p\'eld\'aban.} {\it R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $n$
pozit\'{\i}v eg\'esz \'es k\'et $u$ \'es $\sigma^2$
po\-zi\-t\'{\i}v val\'os sz\'amot, \'ugy, hogy
$0<\sigma^2\le\frac18$, $n>3u\ge6$ \'es
$u>3n\sigma^2$. Vezess\"uk be a $V_n^2=n\sigma^2$ mennyis\'eget,
\'es tekints\"uk olyan f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozat\'at, amelyek eloszl\'as\'at
a $P(\xi_j=1)=P(\xi_j=-1)=\frac{\sigma^2}2$ \'es
$P(\xi_j=0)=1-\sigma^2$ k\'epletek adj\'ak meg. Legyen
$S_n=\sum\limits_{j=1}^n \xi_j$. Ekkor $ES_n=0$,
$\text{\rm Var}\,S_n=V_n^2$, \'es
$$
P(S_n\ge u)>\exp\left\{-Bu\log \frac u{V^2_n}\right\} \tag2.4
$$
alkalmas $B>0$ sz\'ammal.}
\medskip
A (2.4) becsl\'es hasonl\'o als\'o becsl\'est ad egy speci\'alis
esetben, mint az ugyan\-olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg vizsg\'alat\'aban
megjelen\H{o} (2.3) fels\H{o} becsl\'es. Az egyetlen k\"u\-l\"onb\-s\'eg
a k\'et becsl\'es k\"oz\"ott az, hogy a benn\"uk megjelen\H{o} $K>0$
\'es $B>0$ konstansok m\'as \'ert\'ekeket vehetnek fel. A fenti
eredm\'enyeket a k\"ovetkez\H{o}k\'epp foglalhatjuk \"ossze.

A $P(S_n>u)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egy a (centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
sugallt) j\'o becsl\'est teljes\'{\i}t kis $u>0$ sz\'amokra, (akkor,
ha $u\le \varepsilon V_n^2$). Ez a mennyis\'eg egy
n\'emileg rosszabb becs\'est teljes\'{\i}t nem t\'ul nagy
$u$ sz\'amokra, (akkor, ha $\varepsilon V_n^2\le u\le CV_n^2$
valamely fix $C>0$ sz\'amra), \'es csak egy nagyon gyenge becsl\'est
teljes\'{\i}t nagy $u$ sz\'amokra, (akkor, ha $u\gg V_n^2$).

\beginsection 3. N\'eh\'any az \'altal\'anos eset vizsg\'alat\'aban
hasznos eredm\'eny.

A Probl\'ema A) vizsg\'alat\'aban a $k\ge1$ esetben is hasonl\'o
eredm\'enyek \'erv\'enyesek, mint az el\H{o}bb t\'argyalt $k=1$
esetben. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a hasonl\'os\'agot jobban
meg\'erts\"uk, el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'et k\'erd\'est
\'erdemes r\'eszletesebben t\'ar\-gyal\-ni.

\medskip\noindent
{\it 1. k\'erd\'es:}\/ A $k=1$ esetben {\it nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u}} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'et tekintett\"uk. Milyen normaliz\'al\'as felel meg e
felt\'etelnek a $k\ge2$ esetben?

\medskip\noindent
{\it 2. k\'erd\'es:}\/ A $k=1$ esetben a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es a norm\'alis eloszl\'as viselked\'ese
volt a becsl\'esek h\'atter\'eben. Milyen hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es becsl\H{o} f\"ugg\-v\'eny veszi \'at ezek szerep\'et a $k\ge2$
esetben?

\medskip\noindent
{\it Az els\H{o} k\'erd\'es t\'argyal\'asa.}\/

\medskip\noindent
\'Erdemes el\H{o}sz\"or a minket \'erdekl\H{o} v\'eletlen
mennyis\'egek m\'asodik momentum\'at tekinteni. Mivel nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
adtunk \"ossze, a $k=1$ esetben a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag
teljes\"ul:
$$
\text{Var}\,\left(\sum\limits_{k=1}^n\xi_k\right)=
\sum\limits_{k=1}^n\text{Var}\,\xi_k,
$$
mert $E\xi_i\xi_j=0$ minden $i\neq j$ p\'arra ebben az esetben.

Ennek az azonoss\'agnak a t\"obb-v\'altoz\'os megfelel\H{o}je
($U$-statisztik\'akra) a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} azonoss\'ag lenne:
$$
\align
I_{n,k}(f)&=\text{Var}\,\left(\frac1{k!}
\sum \Sb 1\le j_s\le n,\; s=1,\dots, k,\; \\
j_s\neq j_{s'} \text{ ha } s\neq s' \endSb
f(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k})\right) \\
&=\frac1{k!} \sum\Sb 1\le j_s\le n,\; s=1,\dots, k,\; \\
j_s\neq j_{s'} \text{ ha } s\neq s'\endSb
\text{Var}\, f(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k})
\endalign
$$

Ez az azonoss\'ag \'erv\'enyes, ha
$$
Ef(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k})f(\xi_{j_1'},\dots,\xi_{j_k'})=0
$$
sz\'am $k$-asok minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\neq \{j_1',\dots,j_k'\}$ p\'arj\'ara.
Ez a tulajdons\'ag teljes\"ul az al\'abb defini\'alt
elfajul\'o $U$-statisztik\'ak eset\'eben.

\medskip\noindent
{\bf Elfajul\'o $U$-statisztik\'ak definici\'oja.} {\it Vegy\"unk
egy f\"uggetlen, egyforma, $\mu$ el\-osz\-l\'a\-s\'u
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'es valamely $f(x_1,\dots,x_k)$ magf\"uggv\'eny
\'altal defini\'alt $I_{n,k}(f)$ $U$-statisztik\'at. Ez az
$U$-statisztika elfajul\'o, ha
$$
\align
&Ef(\xi_1,\dots,\xi_k|\xi_1=x_1,\dots,\xi_{j-1}=x_{j-1},
\xi_{j+1}=x_{j+1},\dots,\xi_k=x_k)=0 \\
&\qquad\qquad \text{minden } 1\le j\le k \text { indexre \'es }
x_s\in X, \; s\in\{1,\dots,k\}\setminus\{j\} \text{ pontra.}
\endalign
$$
}\medskip
Egy $U$-statisztika elfajul\'o, ha a magf\"uggv\'enye kanonikus
f\"uggv\'eny, azaz a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'aggal rendelkezik.
\medskip \noindent
{\bf Kanonikus f\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy az $(X,\Cal X)$
t\'er $k$-adrend\H{u} $(X^k,\Cal X^k)$ direkt szorzat\'an defini\'alt
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny kanonikus egy az $(X,\Cal X)$ t\'eren
defini\'alt $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerint, ha
$$
\align
&\int f(x_1,\dots,x_{j-1},u,x_{j+1},\dots,x_k)\mu(\,du)=0 \\
&\qquad\text{minden \ } 1\le j\le k\text{ sz\'amra \'es }x_s\in X,\;
s\in\{1,\dots,k\}\setminus\{j\} \text{ pontra}.
\endalign
$$
\medskip}

Az elfajul\'o $U$-statisztik\'ak fogalma az\'ert hasznos, mert
azok sok tekintetben \'ugy viselkednek, mint f\"uggetlen {\it nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}}\/ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegei. Ezenk\'{\i}v\"ul \'altal\'anos $U$-statisztik\'ak
vizsg\'alata visszavezethet\H{o} elfajul\'o $U$-statisztik\'ak
vizsg\'alat\'ara a k\"ovetkez\H{o} Hoeffding-f\'ele dekompoz\'{\i}ci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf \'Altal\'anos $U$-statisztik\'ak Hoeffding-f\'ele
dekompoz\'{\i}ci\'oja.} {\it Minden $k$-ad ren\-d\H{u} $I_{n,k}(f)$
$U$-statisztika fel\'{\i}rhat\'o {\rm elfajul\'o $U$-statisztik\'ak}
$$
I_{n,k}(f)=\sum_{j=0}^k n^{k-j} I_{n,j}(f_j) \tag3.1
$$
line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent. A (3.1) dekompozici\'oban
szerepl\H{o} $I_{n,j}(f_j)$, $0\le j\le k$, elfajul\'o
$U$-statisztik\'ak $f_j$ magf\"uggv\'enyei explicit m\'odon
kisz\'am\'{\i}that\'oak. Meg lehet mutatni azt is, hogy ezek
teljes\'{\i}tik az
$$
\int f_j^2(x_1,\dots,x_j)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_j)
\le\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $0\le j\le k$ indexre.}
\medskip

Az (1.1) formul\'aban defini\'alt $J_{n,k}(f)$ t\"obb\-v\'altoz\'os
v\'eletlen integr\'alok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o
probl\'ema is visszavezethet\H{o} alkalmas dekompoz\'{\i}ci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel elfajul\'o $U$-statisztik\'ak
vizsg\'alat\'ara. Ezek a kifejez\'esek is fel\'{\i}rhat\'oak
elfajul\'o $U$-sta\-tisz\-ti\-k\'ak
$$
J_{n,k}(f)=\sum_{j=0}^k c(n,j) n^{-j/2}I_{n,j}(f_j) \tag3.2
$$
line\'aris kombin\'aci\'oik\'ent a (3.1) formul\'aban szerepl\H{o}
$f_j$ kanonikus f\"uggv\'enyekkel, \'es olyan alkalmas $c(n,j)$
egy\"utthat\'okkal, melyekre $c(n,j)<K(j)$ valamely
univerz\'alis $K(j)$ konstanssal.

A $J_{n,k}(f)$ v\'eletlen integr\'al definici\'oj\'aban a $\mu_n-\mu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ek szerint integr\'alunk, \'es ez a
`norm\'al\'as' cs\"okkenti az integr\'al \'ert\'ek\'et. Ez a
cs\"okkent\H{o} hat\'as a $c(n,j)n^{-j/2}$ egy\"utthat\'o viszonylag
kis \'ert\'ek\'eben t\"ukr\"oz\H{o}dik.

\medskip\noindent
{\it A m\'asodik k\'erd\'es t\'argyal\'asa.}

\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyek azt sugallj\'ak, hogy $U$-statisztik\'ak
\'es t\"obb-v\'altoz\'os v\'eletlen integr\'alok vizsg\'alat\'aban
az elfajul\'o $U$-statisztik\'ak normaliz\'altjait megad\'o
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek\-ben megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'asok veszik \'at a norm\'alis eloszl\'as szerep\'et.
Az elfajul\'o $U$-statisztik\'ak aszimptotikus viselked\'es\'et
le\'{\i}r\'o hat\'areloszl\'ast\'etelek ismertek, \'es azok egy
feh\'er zaj szerinti t\"obb-v\'altoz\'os Wiener--It\^o integr\'al
seg\'{\i}ts\'eg\'evel adhat\'oak meg. Ezen eredm\'enyek
megfogalmaz\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or felid\'ezem a feh\'er zaj
fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf A feh\'er zaj fogalma.} {\it Legyen adva van egy
$\mu$ m\'ert\'ek egy $(X,\Cal X)$ t\'eren. Vala\-mely az $A\subset X$,
$\mu(A)<\infty$, halmazokkal indexelt egy\"uttesen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
rendszere feh\'er zaj $\mu$ referencia m\'ert\'ekkel, ha
$$
E\mu_W(A)\mu_W(B)=\mu(A\cap B)\quad \text{\'es}\quad
E\mu_W(A)=0
$$
minden m\'erhet\H{o} $A,B\subset X$, $\mu(A)<\infty$ \'es
$\mu(B)<\infty$ halmazp\'arra.}
\medskip

Ha adott egy $\mu$ m\'ert\'ekhez, mint referencia m\'er\-t\'ek\-hez
tartoz\'o $\mu_W$ feh\'er zaj \'es egy a $\mu$
m\'ert\'ek ($k$-ik hatv\'anya) szerint n\'egy\-ze\-te\-sen
integr\'alhat\'o $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, akkor
egy\-sze\-r\H{u} \'es term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk
ennek a f\"uggv\'enynek a $\mu_W$ feh\'er zaj szerinti
$k$-ad rend\H{u}
$$
Z_{\mu,k}(f)=\int f(x_1,\dots,x_k)\mu_W(\,dx_1)\dots\mu_W(\,dx_k) \tag3.3
$$
Wiener--It\^o integr\'alj\'at. (El\H{o}sz\"or egyszer\H{u}, v\'eges
sok t\'eglatesten konstans \'ert\'eket felvev\H{o}, m\'asutt
elt\H{u}n\H{o} \'ugynevezett l\'epcs\H{o}s f\"ugv\'enyekre
de\-fi\-ni\-\'al\-juk ezt az integr\'alt, majd alkalmas
$L_2$-izomorfia seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiterjesztj\"uk azt
\'altal\'anos f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re.)

A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erv\'enyes:
\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel elfajul\'o $U$-sta\-tisz\-ti\-k\'ak\-ra.}
{\it Tekints\"uk $I_{n,k}(f)$, $n=k,k+1,\dots$, el\-fa\-ju\-l\'o
$U$-statisztik\'ak olyan sorozat\'at, amelyet egy \'ert\'ekeit
valamely $(X,\Cal X)$ t\'eren felvev\H{o}, f\"uggetlen, egyforma,
$\mu$ el\-osz\-l\'a\-s\'u $\xi_1,\xi_2,\dots$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok so\-ro\-za\-ta
\'es egy $k$-v\'altoz\'os, az $(X,\Cal X)$ t\'eren defini\'alt \'es a
$\mu$ m\'ert\'ek sze\-rint n\'egy\-ze\-te\-sen integr\'alhat\'o
(kanonikus) $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny hat\'aroz meg. Az
$n^{-k/2}I_{n,k}(f)$ normaliz\'alt elfajul\'o
$U$-sta\-tisz\-ti\-k\'ak eloszl\'asban konverg\'alnak az
$f$ f\"uggv\'enynek  egy a $\mu$ referencia m\'ert\'ek\H{u} $\mu_W$
feh\'er zaj szerinti
$$
\frac1{k!}Z_{\mu,k}(f)=\frac1{k!}\int
f(x_1,\ldots,x_k)\mu_W(\,dx_1)\dots\mu_W(\,dx_k)
$$
Wiener--It\^o integr\'alj\'ahoz, ha $n\to\infty$.}
\medskip\noindent
{\it Az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny heurisztikus indokl\'asa:}
\medskip
Ha $I_{n,k}(f)$ elfajul\'o $U$-statisztika, akkor
fel\-\'{\i}r\-hat\-juk az
$$
\align
n^{-k/2}I_{n,k}(f)&=n^{k/2}\int'
f(x_1,\dots,x_k)\mu_n(\,dx_1)\dots\mu_n(\,dx_k)\\
&=n^{k/2}\int' f(x_1,\dots,x_k)(\mu_n(\,dx_1)-\mu(\,dx_1))
\dots(\mu_n(\,dx_k)-\mu(\,dx_1)),
\endalign
$$
azonoss\'agot, ahol $\mu_n$ az $\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozat empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a a
$\sqrt n(\mu_n(\cdot)-\mu(\cdot))$ normaliz\'alt empirikus eloszl\'asok
konverg\'alnak egy $\mu$ referencia m\'ert\'ek\H{u} $\mu_W$ feh\'er
zajhoz. Ez azt sugallja, hogy a hat\'ar\'atmenet sor\'an
a $\sqrt n(\mu_n(\cdot)-\mu(\cdot))$ normaliz\'alt empirikus
eloszl\'asokat he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-het\-j\"uk ezzel a $\mu_W(\cdot)$
feh\'er zajjal. A t\'enyleges bizony\'{\i}t\'as ennek
a heu\-risz\-ti\-kus gondolatnak az iga\-zo\-l\'a\-s\'a\-b\'ol \'all.
\medskip

A bevezet\'esben megfogalmazott probl\'em\'akat ter\-m\'e\-sze\-tes
ki\-eg\'e\-sz\'{\i}\-te\-ni azok Wie\-ner--It\^o integr\'alokr\'ol
sz\'ol\'o megfelel\H{o}ikkel. Ezek megold\'asa sugallja azt,
hogy milyen eredm\'enyeket v\'arhatunk a minket \'erdekl\H{o}
probl\'em\'akban.

Ez\'ert tekints\"uk egy $k$ v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'eny
$$
Z_{\mu,k}(f)=\int f(x_1,\dots,x_k)\mu_W(\,dx_1)\dots\mu_W(\,dx_k)
$$
Wiener-It\^o integr\'alj\'at egy $\mu$ referencia m\'ert\'ekkel
rendelkez\H{o} $\mu_W$ feh\'er zaj szerint, \'es fogalmazzuk meg a
k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'akat:

\medskip
 \item{}{\it Probl\'ema A$''$).} Adjunk j\'o becsl\'est a
$P(Z_{\mu,k}(f)>u)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre minden $u>0$
sz\'amra.
\item{} {Probl\'ema B$''$).} Legyen adva $k$-v\'altoz\'os
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyek egy sz\'ep $\Cal F$ csal\'adja.
Vegy\"uk e f\"uggv\'enycsal\'ad mindegyik elem\'enek a
Wiener--It\^o in\-teg\-r\'al\-j\'at a $\mu_W$ feh\'er zaj szerint.
Adjunk j\'o becs\-l\'est ezen in\-teg\-r\'a\-lok
szup\-r\'e\-mu\-m\'a\-nak az eloszl\'as\'ara, azaz a
$P\left(\sup\limits_{f\in\Cal F}Z_{\mu,k}(f)>u\right)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre minden $u>0$ sz\'amra.

\beginsection 4. V\'eletlen integr\'alok \'es $U$-statisztik\'ak
eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o ered\-m\'e\-nyek.

\'Erdemes el\H{o}sz\"or a Probl\'ema A$''$)-val, azaz
t\"obb-v\'altoz\'os Wiener--It\^o integr\'alok eloszl\'as\'anak
becsl\'es\'evel foglalkozni. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o}
eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es Wiener--It\^o integr\'alok eloszl\'as\'ar\'ol.}
{\it Legyen adva egy $\mu$ referencia m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}
$\mu_W$ feh\'er zaj \'es egy olyan $k$-v\'altoz\'os
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o}
t\'eren, amelyre
$$
\frac1{k!}\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)\le\sigma^2
$$
valamely $\sigma^2<\infty$ sz\'ammal. A (3.3) formul\'aban bevezetett
$$
Z_{\mu,k}(f)=\int f(x_1,\dots,x_k)\mu_W(\,dx_1)\dots\mu_W(\,dx_k)
$$
Wiener--It\^o integr\'al teljes\'{\i}ti a
$$
P(|Z_{\mu,k}(f)|>u)\le C \exp\left\{-\frac12\left(\frac
u\sigma\right)^{2/k}\right\}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden
$u>0$ sz\'amra valamely csak az integr\'al $k$ multiplicit\'as\'at\'ol
f\"ugg\H{o}  $C=C(k)>0$ konstanssal.}
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} p\'elda azt mutatja, hogy ez a becsl\'es \'eles.

\medskip\noindent
{\bf Als\'o becsl\'es egy speci\'alis Wiener--It\^o integr\'al farok
eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy $\sigma$-v\'eges $\mu$
m\'ert\'ek valamely $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren, valamint egy
$\mu_W$ feh\'er zaj az $(X,\Cal X)$ t\'eren ezzel a $\mu$ referencia
m\'ert\'ekkel. Legyen $f_0(x)$ olyan val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X)$ t\'eren, amelyre $\int
f_0(x)^2\mu(\,dx)=1$. Vezess\"uk be az
$f(x_1,\dots,x_k)= \sigma f_0(x_1)\cdots f_0(x_k)$ f\"uggv\'enyt
valamely $\sigma>0$ sz\'ammal, \'es tekints\"uk a (3.3) formul\'aban
bevezetett $Z_{\mu,k}(f)$ Wiener--It\^o integr\'alt. Ekkor az
$$
\int f(x_1,\dots,x_k)^2\,\mu(\,dx_1)\dots\,\mu(\,dx_k)=\sigma^2
$$
azonoss\'ag \'erv\'enyes, a $Z_{\mu,k}(f)$ Wiener--It\^o integr\'al
pedig teljes\'{\i}ti a
$$
P(|Z_{\mu,k}(f)|>u)\ge \frac{\bar C}{\left(\frac u\sigma\right)^{1/k}+1}
\exp\left\{-\frac12\left(\frac
u\sigma\right)^{2/k}\right\}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden  $u>0$ sz\'amra
valamely alkalmas $\bar C>0$ konstanssal.}
\medskip

A fenti eredm\'enyekben szerepl\H{o}
$$
\sigma^2=\int f(x_1,\dots,x_k)^2\,\mu(\,dx_1)\dots\,\mu(\,dx_k)
$$
integr\'al megegyezik a $(k!)^{-1/2}Z_{\mu,k}(f)$ v\'eletlen
integr\'al sz\'or\'asn\'egyzet\'evel. Ez\'ert ezeket az eredm\'enyeket
\'ugy is lehet interpret\'alni, hogy
$$
P(Z_{k,\mu}(f)>u)\le\text{const.}\, P(\sigma\eta^k>u)
$$
minden $u>0$ sz\'amra, ahol $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$\sigma^2=(k!)^{-1/2}EZ_{\mu,k}(f)^2$. Tov\'abb\'a, ez a
becsl\'es \'eles.

Hasonl\'o, b\'ar n\'emileg gyeng\'ebb becsl\'esek \'erv\'enyesek
elfajul\'o $U$-statisztik\'akra \'es normaliz\'alt empirikus
eloszl\'asok szerinti v\'eletlen integr\'alokra.

\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es elfajul\'o $U$-statisztik\'ak farok eloszl\'as\'ar\'ol.}
{\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma,
$\mu$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
melyek \'ert\'ekeiket egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren veszik
fel. Vegy\"unk egy az $(X^k,\Cal X^k)$ t\'eren defini\'alt a $\mu$
m\'ert\'ek sze\-rint ka\-no\-ni\-kus $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyt,
amely teljes\'{\i}ti az
$$
\align
\|f\|_\infty&=\sup_{x_j\in X, \,1\le j\le k}|f(x_1,\dots,x_k)|\le 1
\tag4.1 \\
\|f\|^2_2&=\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)
\le\sigma^2 \tag4.2
\endalign
$$
felt\'eteleket valamely $0<\sigma^2\le1$ sz\'ammal, \'es tekints\"uk
az e mennyis\'egek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az (1.2) formul\'aban
defini\'alt (elfajul\'o) $U$-statisztik\'at. Ekkor l\'eteznek olyan
csak az $U$-statisztika $k$ rangj\'at\'ol f\"ugg\H{o} $A=A(k)>0$ \'es
$B=B(k)>0$ konstansok, amelyekkel teljes\"ul a
$$
P(k!n^{-k/2}|I_{n,k}(f)|>u)\le A\exp\left\{-\frac{u^{2/k}}{2\sigma^{2/k}
\left(1+B\left(un^{-k/2}\sigma^{-(k+1)}\right)^{1/k}\right)}\right\}
\tag4.3
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $0\le u\le n^{k/2}\sigma^{k+1}$ sz\'amra.}
\medskip
A fenti egyenl\H{o}tlens\'eg tekinthet\H{o} a Bernstein
egyenl\H{o}tlens\'eg t\"obb-v\'altoz\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak. Normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek
szerinti t\"obb-v\'altoz\'os in\-teg\-r\'a\-lok\-ra a k\"ovetkez\H{o},
hasonl\'o becsl\'es \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szerinti
integr\'al farok eloszl\'as\'ar\'ol.}
{\it Legyen adva $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma,
$\mu$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, amelyek \'ert\'ekeiket egy $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} t\'eren veszik fel \'es egy az $(X^k,\Cal X^k)$
szorzatt\'eren defini\'alt $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny,
amely teljes\'{\i}ti a (4.1) \'es (4.2) re\-l\'a\-ci\'o\-kat valamely
$0<\sigma\le1$ konstanssal. Ekkor l\'eteznek olyan csak az $f$
f\"uggv\'eny az (1.1) k\'epletben defini\'alt $J_{n,k}(f)$
integr\'al $k$ multiplicit\'as\'at\'ol f\"ugg\H{o} $C=C_k>0$ \'es
$\alpha=\alpha_k>0$ konstansok, amelyekkel teljes\"ul a
$$
P\left(|J_{n,k}(f)|>u\right)\le C \exp\left\{-\alpha
\left(\frac u\sigma\right)^{2/k}\right\} 
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $0<u\le n^{k/2}\sigma^{k+1}$ sz\'amra.}

\medskip
A $k=1$ esetben l\'attuk, hogy $n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u, korl\'atos (\'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $n^{-1/2}S_n$ normaliz\'alt
\"osszeg\'enek
$$
P(n^{-1/2}S_n>u)
$$
farok eloszl\'as\'ara az $u\gg n^{1/2}\sigma^2$ esetben csak rossz, a
norm\'alis eloszl\'ast\'ol
nagyon k\"ul\"onb\"oz\H{o} becsl\'est lehet adni. A $k\ge2$ esetben, ehhez
hasonl\'oan az $u\gg n^{k/2}\sigma^{k+1}$ \'ert\'ekekre nem lehet j\'o,
a Wiener--It\^o integr\'alok viselked\'ese \'altal sugallt
becsl\'est adni. Ez azt jelenti, hogy az el\H{o}bb az elfajul\'o
$U$-statisztik\'akra \'es normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek
szerinti v\'eletlen integr\'alokra megfogalmazott becsl\'esek abban
az \'ertelemben is \'elesek, hogy pontosan megadj\'ak azt a
tartom\'anyt, ahol a Wiener--It\^o integr\'alok viselked\'ese \'altal
sugallt \'eles becsl\'es \'erv\'enyes.

A teljess\'eg kedv\'e\'ert megadok a $k=2$ esetben olyan elfajul\'o
$U$-statisztik\'at, amelyre $u\gg n\sigma^3$ esetben a (4.3)
formul\'an\'al sokkal gyeng\'ebb becsl\'es \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Als\'o becsl\'es elfajul\'o $U$-statisztika farok
eloszl\'as\'ara egy alkalmas p\'el\-d\'a\-ban a $k=2$ esetben.}
{\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, amelyek
\'ert\'ekeiket a s\'{\i}kon veszik fel. Legyen
$\xi_j=(\eta_{j,1},\eta_{j,2})$, $1\le j\le n$, ahol $\eta_{j,1}$
\'es $\eta_{j,2}$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\eta_{j,1}=1)=P(\eta_{j,1}=-1)=\frac{\sigma^2}8$,
$P(\eta_{j,1}=0)=1-\frac{\sigma^2}4$,
$P(\eta_{j,2}=1)=P(\eta_{j,2}=-1)=\frac12$ minden $1\le j\le n$ indexre.
Vezess\"uk be az $f(x,y)=f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+x_2y_1$,
$x=(x_1,x_2)\in R^2$, $y=(y_1,y_2)\in R^2$, f\"uggv\'enyt, \'es
defini\'aljuk az
$$
I_{n,2}(f)=\sum_{1\le j,k\le n,\,j\neq k}
(\eta_{j,1}\eta_{k,2}+\eta_{k,1}\eta_{j,2})
$$
m\'asodrend\H{u} $U$-statisztik\'at az el\H{o}bb bevezetett
$f$ magf\"uggv\'ennyel  \'es $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"ug\-get\-len
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal. Ekkor $I_{n,2}(f)$
elfajul\'o $U$-statisztika. Tov\'abb\'a, ha $u\ge B_1n\sigma^3$
valamely alkalmas $B_1>0$ konstanssal,  $B_2^{-1}n\ge u\ge B_2n^{-2}$
egy el\'eg nagy alkalmas $B_2>0$ konstanssal, \'es
$\frac1n\le\sigma\le1$, akkor a
$$
P(n^{-1}I_{n,2}(f)>u)\ge \exp\left\{-Bn^{1/3}u^{2/3}\log
\left(\frac u{n\sigma^3}\right)\right\}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul valamely $B>0$ konstanssal, amely
nem f\"ugg sem az~$n$ sem a $\sigma$ param\'etert\H{o}l.}
\medskip

\beginsection 5. Az eredm\'enyek r\"ovid magyar\'azata.

Azt \'erdemes megmutatni, hogy az $I_{n,k}(f)$ elfajul\'o
$U$-statisztik\'aknak (magas) p\'aros kitev\H{o}j\H{u}
$EI_{n,k}(f)^{2M}$ momentumai olyan becsl\'eseket
tel\-je\-s\'{\i}\-te\-nek, mint egy 0 v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\H{u},
al\-kal\-mas sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\H{u} $\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$E\eta^{2kM}$ momentumai. Ilyen becsl\'esekb\H{o}l ugyanis egyr\'eszt
egyszer\H{u}en (a Markov egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) be lehet bizony\'{\i}tani a minket \'erdekl\H{o}
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-ge\-ket, m\'asr\'eszt l\'etezik egy olyan
m\'odszer, amely lehet\H{o}v\'e teszi az ilyen mo\-men\-tu\-mok
becsl\'es\'et.

A t\"obb\-v\'altoz\'os v\'eletlen integr\'alok (\'es a matematikai
fizika) elm\'elet\'eben fontos szerepet j\'atsz\'o \'ugy\-ne\-ve\-zett
diagram formul\'at \'erdemes alkalmazni. Ezt hasz\-n\'al\-va
ki lehet sz\'amolni a minket \'erdekl\H{o} momentumokat bizonyos
diagramok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt in\-teg\-r\'a\-lok
\"ossze\-ge\-k\'ent. Azt kell megmutatni, hogy \'altal\'aban a
``Gauss eloszl\'as hat\'as\'anak meg\-fe\-le\-l\H{o} dia\-gra\-mok''
\'altal defini\'alt integr\'alok adj\'ak a momentumok
kisz\'amol\'as\'aban a f\H{o} hozad\'ekot. Ez a t\'eny ad
magyar\'azatot arra, hogy elfajul\'o $U$-statisztik\'ak \'es
normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szerinti v\'eletlen integr\'alok
eloszl\'as\'anak becsl\'es\'eben mi\'ert kapunk olyan eredm\'enyeket,
mint amilyeneket a t\"obb-v\'altoz\'os Wiener--It\^o integr\'alok
viselked\'ese, (azaz a Gauss eset) sugall.

T\"obb\-v\'altoz\'os v\'eletlen integr\'alok, illetve $k\ge2$ rang\'u
elfajul\'o $U$-statisztik\'ak momentum becsl\'eseinek az
elmagyar\'az\'asa meglehet\H{o}sen bonyolult jel\"ol\'esrendszer
kidolgoz\'as\'at ig\'enyli, amire ebben a r\"ovid \'attekint\'esben
nincs lehet\H{o}s\'egem. Viszont \'erdemes a legegyszer\H{u}bb $k=1$
esetben megjelen\H{o} f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszegeinek,
illetve ezek mo\-men\-tu\-mai\-nak a becsl\'es\'et r\"oviden
\'attekinteni. Ez ugyanis sokat el\'arul a momentumok
viselked\'es\'er\H{o}l az \'al\-ta\-l\'a\-nos esetben is.

Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-re $E\xi_1=0$,
$\text{Var}\,\xi_1=\sigma^2$, \'es becs\"ulj\"uk meg az
$S_n=\sum\limits_{j=1}^n \xi_j$ \"osszeg momentumait. Fel\'{\i}rhatjuk
az
$$
ES_n^{2M}=\sum\Sb (j_1,\dots,j_s,l_1,\dots,l_s)\\ j_1+\dots+j_s=2M,\,
j_u\ge 2,\text{ minden } 1\le u\le s \text{ indexre} \\
l_u\neq l_{u'} \text { ha } u\neq u'\endSb
E\xi_{l_1}^{j_1}\cdots E\xi_{l_s}^{j_s} \tag5.1
$$
azonoss\'agot.

Egyszer\H{u} kombinatorikai meggondol\'asok azt adj\'ak, hogy az
(5.1) azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o} \"osszegben a tagok
jelent\H{o}s r\'esze olyan $(j_1,\dots,j_M,l_1,\dots,l_M)$ vektorral
van indexelve, amelyre $j_u=2$ minden $1\le u\le M$ sz\'amra. Az ilyen
tagok sz\'ama $\binom nM\frac{(2M)!}{2^M}\sim n^M\frac{(2M)!}{2^MM!}$.
Ez\'ert azt v\'arjuk, hogy tipikus esetekben $ES_n^{2M}\sim
\left(n\sigma^2\right)^M\frac{(2M)!}{2^MM!}$
Ez a meggondol\'as a
$$
\sum_{1\le l_1<l_2<\cdots<l_M\le n}E\xi_{l_1}^2\cdots E\xi_{l_M}^2
={n\choose M} \frac{(2M)!}{2^M}\sigma^{2M}
\sim\frac{(2M)!}{2^M M!}(n\sigma^2)^M=E\eta^{2M}
$$
becsl\'est sugallja a $ES_n^{2M}$ mennyis\'egre, ahol $\eta$ olyan
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke 0 \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te $\text{Var}\,S_n$.

A fenti gondolatmenet megmutatja, hogy mi\'ert v\'arhatunk olyan
becsl\'eseket f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek momentumaira,
mint a Gauss esetben. Sz\'ep esetekben ez a heurisztikus \'ervel\'es
helyes eredm\'enyt ad.

Viszont a r\'eszletek kidolgoz\'as\'akor finomabb meggondol\'asokat
is kell al\-kal\-maz\-ni. Nem el\'eg csak a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
t\'{\i}pus\'u tagok sz\'am\'at j\'ol megbecs\"ulni, azt is figyelembe
kell venni, hogy a k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\'{\i}pus\'u tagoknak mi a
nagys\'agrendje. Lehets\'eges ugyanis, hogy viszonylag kev\'es,
de relat\'{\i}ve nagy \"osszeadand\'o adja a l\'enyeges hozad\'ekot
az (5.1) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} \"osszegben.

Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} esetet. Legyenek a vizsg\'alt
\"osszeg tagjai a k\"ovetkez\H{o} alak\'uak:
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac{\sigma^2}2$, $P(\xi_1=0)=1-\sigma^2$.
Ha $\sigma^2$ nagyon kicsi \'es $M$ nagy, akkor
$$
\sum_{j=1}^n E\xi_j^{2M}=n\sigma^2\gg
\sum_{1\le l_1<l_2<\cdots<l_M\le n}E\xi_{l_1}^2\cdots E\xi_{l_M}^2
\sim\frac{(2M)!}{2^M M!}n^M\sigma^{2M}.
$$

A fenti p\'elda r\'eszleteinek kidolgoz\'asa az \'altal\'anos
esetben, jelzi hogy csak akkor kaphatunk j\'o becsl\'est v\'eletlen
\"osszegek magas momentumaira, ha az \"ossze\-adan\-d\'ok
sz\'or\'asn\'egyzete nem t\'ul kicsi, \'es nem t\'ul magas
momentumokat be\-cs\"u\-l\"unk. Az, hogy csak bizonyos
megszor\'{\i}t\'asok mellett tudunk j\'o momentum becsl\'eseket
bizony\'{\i}tani, szoros kapcsolatban van azzal a t\'ennyel, hogy
csak nem t\'ul nagy \'ert\'ekekre tudtunk j\'o becsl\'eseket adni
a normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szerinti t\"obb-v\'altoz\'os
integr\'alok \'es elfajul\'o $U$-statisztik\'ak farok
eloszl\'as\'ara.

%\beginsection
\bigskip\noindent
{\bf 6. V\'eletlen integr\'alok \'es $U$-statisztik\'ak
szupr\'emum\'anak becsl\'ese.}
\medskip\noindent
Tekints\"uk f\"uggv\'enyek egy csal\'adj\'anak az integr\'alj\'at egy
normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szerint, vagy olyan (elfajul\'o)
$U$-statisztik\'ak rendszer\'et, amelyekben ugyan\-azok\-nak a
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk az $U$-statisztik\'akat, \'es a
lehets\'eges magf\"uggv\'enyek egy alkalmas f\"uggv\'enycsal\'ad
elemei. V\'eletlen integr\'alok vagy $U$-statisztik\'ak ilyen
csal\'adj\'anak a szupr\'emum\'ara k\'{\i}v\'anunk j\'o becsl\'est
adni. Azt v\'arjuk, hogy viszonylag nagy f\"uggv\'enycsal\'adok
eset\'eben is olyan becsl\'es kaphat\'o, mint akkor ha a
szupr\'emumban szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat egy kiv\'etellel elhagyjuk, \'es csak a `legrosszabb'
elemet tartjuk meg; azt amelyikre a leggyeng\'ebb becsl\'est tudjuk
adni. Az al\'abbiakban ilyen jelleg\H{u} eredm\'enyeket ismertetek.
El\H{o}sz\"or meg kell tal\'alnunk az olyan f\"ugg\-v\'eny
csa\-l\'a\-dok definici\'oj\'at, amelyekre j\'o \'es tartalmas
eredm\'enyeket v\'arhatunk.

Olyan f\"uggv\'enycsal\'adokat \'erdemes tekinteni, amelyeknek
kiv\'alaszthat\'o olyan vi\-szony\-lag kev\'es f\"uggv\'enyb\H{o}l
\'all\'o r\'eszhalmaza, a\-mely valamilyen megfelel\H{o}
\'er\-te\-lem\-ben e csal\'ad el\'eg s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmaz\'at
alkotja. A k\"ovetkez\H{o} k\'et fogalom be\-ve\-ze\-t\'e\-se bizonyult
hasznosnak.

\medskip\noindent
{\bf Egy m\'ert\'ek szerint $L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"uggv\'enycsal\'ad
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $(Y,\Cal Y)$, m\'erhet\H{o}
t\'er, egy az e t\'eren megadott $\sigma$-v\'eges $\nu$ m\'ert\'ek,
valamint egy az  e t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o $\Cal G$ f\"uggv\'enycsal\'ad.
Ezt a $\Cal G$ f\"uggv\'enycsal\'adot a $\nu$ m\'ert\'ek szerint
$L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"uggv\'enycsal\'adnak nevezz\"uk $D$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel \'es $L$ kitev\H{o}vel, ha minden
$0<\varepsilon<1$ sz\'amhoz l\'etezik a $\Cal G$
f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad\-nak olyan $m\le D\varepsilon^{-L}$
f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o
$\Cal G_{\varepsilon}=\{g_1,\dots,g_m\}\subset\Cal G$
r\'esz\-hal\-ma\-za, amely teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agot:
$$
\inf\limits_{g_j\in\Cal G_\varepsilon}\int|g-g_j|^2\,d\nu
<\varepsilon^2
$$
minden $g\in\Cal G$ f\"uggv\'enyre.}
\medskip\noindent
A m\'asik hasznosnak bizonyult definici\'o:
\medskip\noindent
{\bf $L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"uggv\'enyoszt\'alyok definici\'oja.}
{\it Le\-gyen adva egy m\'erhet\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek\-b\H{o}l
\'all\'o $\Cal G$ f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad egy  $(Y,\Cal Y)$
m\'erhet\H{o} t\'eren. Azt mondjuk, hogy $\Cal G$ $L_2$-s\H{u}r\H{u}
f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad $D$ param\'eterrel \'es $L$ kitev\H{o}vel,
ha $\Cal G$ $L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad $D$
param\'eterrel \'es $L$ kitev\H{o}vel minden az $(Y,\Cal Y)$ t\'eren
defini\'alt $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerint.}
\medskip
Jelen esetben is \'erdemes a minket \'erdekl\H{o} Probl\'ema~B) \'es
Probl\'ema~B$'$) el\H{o}tt azt a Probl\'ema~B$''$)-t vizsg\'alni,
amelyben Wiener--It\^o integr\'alok szupr\'emum\'ara k\'{\i}v\'anunk
j\'o becsl\'est adni. Azut\'an \'erdemes a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
probl\'em\'akr\'ol kapott ered\-m\'e\-nye\-ket \"osszehasonl\'{\i}tani.
\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es Wiener--It\^o integr\'alok szupr\'emum\'anak az
eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Te\-kint\-s\"unk valamely $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} teret egy ezen a t\'eren defini\'alt $\sigma$-v\'eges
$\mu$ m\'er\-t\'ek\-kel egy\"utt. Vegy\"unk egy olyan $\mu_W$
feh\'er zajt az $(X,\Cal X)$ t\'eren, amelynek $\mu$ a
re\-fe\-ren\-cia m\'ert\'eke. Legyen tov\'abb\'a adva egy olyan
megsz\'aml\'alhat\'o sok $k$-v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$
f\"ugg\-v\'eny\-b\H{o}l \'all\'o $\Cal F$ f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad,
amely $L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"ugg\-v\'eny\-osz\-t\'alyt alkot az
$(X^k,\Cal X^k)$ t\'eren a $\mu^k$ szorzatm\'ert\'ek sze\-rint
valamely $D$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel \'es $L$-kitev\H{o}vel.
Tel\-je\-s\'{\i}t\-s\'ek e f\"uggv\'enyoszt\'aly elemei  az
al\'abbi egyenl\H{o}tlens\'eget is:
$$
\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots \mu(\,dx_k)\le\sigma^2
$$
valamely $0<\sigma\le1$ sz\'ammal minden $f\in\Cal F$
f\"uggv\'enyre.

Tekints\"uk  mindegyik $f\in\Cal F$ f\"uggv\'enynek a (3.3) k\'epletben
bevezetett $Z_{\mu,k}(f)$ Wiener--It\^o integr\'alj\'at a $\mu_W$
feh\'er zaj szerint. Ezen integr\'alok szupr\'emuma
tel\-je\-s\'{\i}\-ti a
$$
P\left(\sup_{f\in \Cal F}|Z_{\mu,k}(f)|>u\right)\le C(D+1)
\exp\left\{-\alpha\left(\frac u\sigma\right)^{2/k}\right\}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ha
$$
\left(\frac u\sigma\right)^{2/k}\ge ML \log\frac2\sigma \tag6.1
$$
al\-kal\-mas  $C=C(k)>0$, $M=M(k)>0$ \'es $\alpha=\alpha(k)>0$
konstansokkal.}
\medskip
A fenti t\'etelben --- a becsl\'esben megjelen\H{o} univerz\'alis
konstansok \'ert\'ek\'et\H{o}l el\-te\-kint\-ve --- ugyanazt a becsl\'est
kaptuk Wiener--It\^o integr\'alok ma\-xi\-mu\-m\'a\-nak az
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-ra (alkalmas felt\'etelek mellett), mint
egyetlen Wiener--It\^o integr\'al el\-osz\-l\'a\-s\'a\-ra.
Az egyetlen l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg a k\'et eredm\'eny k\"oz\"ott
az, hogy jelen esetben egy a (6.1) formul\'aban megfogalmazott
felt\'etelt is el\H{o}\'{\i}rtunk. Nem neh\'ez egy alkalmas p\'elda
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megmutatni, hogy a fenti becsl\'es csak ezen
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en \'erv\'enyes. Egy ilyen p\'elda
ismertet\'es\'et azonban itt elhagyom.

A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny az (1.1) k\'epletben defini\'alt
v\'eletlen $J_{n,k}(f)$ in\-teg\-r\'a\-lok szupr\'emum\'anak a
viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Becsl\'es normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szerint
t\"obb-v\'altoz\'os integr\'alok szupr\'emum\'anak az
eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek  egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o}
t\'eren, valamint $k$-v\'altoz\'os $f=f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyeknek olyan meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o,
$L_2$-s\H{u}r\H{u} $\Cal F$ csal\'adja valamely $D$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel \'es $L$, $L\ge1$, kitev\H{o}vel az
$(X^k,\Cal X^k)$ szorzatt\'eren, amelynek elemei teljes\'{\i}tik a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} tulajdons\'agokat:
$$
\|f\|_\infty=\sup_{x_j\in X,\;1\le j\le k}|f(x_1,\dots,x_k)|\le1,
$$
\'es
$$
\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)\le \sigma^2
$$
minden $f\in \Cal F$ f\"uggv\'enyre valamely $0<\sigma\le1$
sz\'ammal. Ekkor l\'eteznek olyan $C=C(k)>0$, $\alpha=\alpha(k)>0$
\'es $M=M(k)>0$ csak a $k$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o} sz\'amok
\'ugy, hogy v\'eve az $f\in\Cal F$ f\"uggv\'enyeknek valamely $\mu$
eloszl\'as\'u $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu_n$ empirikus
m\'ert\'ek\'enek a normaliz\'altjai se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
defini\'alt $J_{n,k}(f)$ (v\'eletlen) integr\'aljait, ezen
integr\'alok szupr\'emuma teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget:
$$
P\left(\sup_{f\in\Cal F}|J_{n,k}(f)|\ge u\right)\le CD
\exp\left\{-\alpha\left(\frac u{\sigma}\right)^{2/k}\right\},
$$
felt\'eve, hogy
$$
n\sigma^2\ge \left(\frac u\sigma\right)^{2/k}\ge
M(L+\beta)^{3/2}\log\frac2\sigma,
$$
ahol
$\beta=\max\left(\frac{\log D}{\log n},0 \right)$, a $D$ \'es
$L$ sz\'amok pedig az $L_2$-s\H{u}r\H{u} $\Cal F$
f\"uggv\'enycsal\'ad param\'etere \'es exponense.}

Hasonl\'o becsl\'es \'erv\'enyes  $I_{n,k}(f)$, $f\in\Cal F$,
$U$-statisztik\'ak szupr\'emum\'ara is. Az egyetlen \'ujdons\'ag
ebben a becsl\'esben az, hogy az el\H{o}z\H{o} t\'etelben
sze\-rep\-l\H{o} $\Cal F$ f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad\-ra tett
felt\'eteleket ki kell eg\'e\-sz\'{\i}\-te\-ni azzal a
megk\"ot\'essel, hogy az $I_{n,k}(f)$ $U$-sta\-tisz\-ti\-k\'ak
elfajul\'oak.

Egy l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg a $Z_{\mu,k}(f)$ Wiener--It\^o \'es
$J_{n,k}(f)$ normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szerint vett
integr\'alok szupr\'emum\'ara adott becsl\'esek k\"oz\"ott az, hogy
az els\H{o} esetben azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy a $\Cal F$
f\"uggv\'enycsal\'ad $L_2$-s\H{u}r\H{u} legyen a $\mu^k$
szorzatm\'ert\'ek szerint, m\'{\i}g a m\'asodik eset\-ben az
$L_2$-s\H{u}r\H{u} tulajdons\'agot k\"ovetelt\"uk meg az
\'altal\'anos esetben, azaz minden val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek szerint. Mi ennek a k\"u\-l\"onb\-s\'eg\-nek az oka?

Wiener--It\^o integr\'alok szupr\'emum\'at meg lehet becs\"ulni egy
egyszer\H{u} \'es ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odszer, az \'ugynevezett
`chaining argument' seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $J_{n,k}(f)$ v\'eletlen
integr\'alok eset\'eben ez a m\'od\-szer nem oldja meg a
probl\'em\'at, az csak r\'esz\-ered\-m\'e\-nye\-ket ad. A teljes
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'as ki\-dol\-go\-z\'a\-s\'a\-hoz  m\'as
eszk\"oz\"ok is sz\"uks\'egesek, \'es ezek
al\-kal\-ma\-z\'a\-s\'a\-hoz szigor\'ubb felt\'etelek
teljes\"ul\'ese sz\"uks\'eges.

A r\'eszletek kidolgoz\'asa sok munk\'at ig\'enyelne, \'es az eddigi
probl\'em\'ak vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-t\'ol l\'enyegesen elt\'er\H{o}
m\'odszerek alkalmaz\'as\'at tenn\'e sz\"uks\'egess\'e. Ez\'ert
meg\-el\'eg\-szem e fejezet eredm\'enyeinek rendk\'{\i}v\"ul v\'azlatos
indokol\'as\'aval. A f\H{o} hangs\'ulyt az itt megjelen\H{o}
\'uj t\'{\i}pus\'u probl\'em\'ak \'es gondolatok megfogalmaz\'as\'ara
helyezem. El\H{o}sz\"or r\"oviden ismertetem a `chaining argument'
m\'odszer\'et.

\medskip\noindent
{\it A `chaining argument' m\'odszer alkalmaz\'asa \'es e m\'odszer
korl\'atai.}
\medskip
Alkalmazzuk a Wiener--It\^o integr\'alok szupr\'emum\'anak az
eloszl\'as\'ar\'ol megfogalmazott becsl\'es jel\"ol\'esrendszer\'et.
Vegy\"uk minden $N=1,2,\dots$ indexre az $\Cal F$
f\"uggv\'enyoszt\'aly olyan viszonylag kis sz\'amoss\'ag\'u
egym\'asba skatuly\'azott r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak
$\Cal F_1\subset\Cal F_2\subset\cdots\subset\Cal F_N
\subset\cdots\subset\Cal F$
rendszer\'et, amelyre teljes\"ul az
$$
\inf_{g\in\Cal F_N}\int \left(f(x_1,\dots,x_k)-g(x_1,\dots,x_k)
\right)^2\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)\le 2^{-2N}\sigma^2.
$$
rel\'aci\'o minden $f\in\Cal F$ f\"uggv\'enyre. A
$$
P\left(\sup_{g\in\Cal F_N}Z_{\mu,k}(g)>u\left(1-2^{-N}\right)\right)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket j\'ol lehet $N=1,2,\dots$ szerinti
rekurzi\'oval becs\"ulni, mert minden $g\in \Cal F_{N+1}$
f\"uggv\'enyhez lehet tal\'alni olyan (hozz\'a k\"ozeli)
$g'\in\Cal F_N$ f\"uggv\'enyt, amelyre
$$
\int\left(g(x_1,\dots,x_k)-g'(x_1,\dots,x_k)\right)^2
\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k) \le 2^{-2N}\sigma^2.
$$
Ez\'ert a
$$
P(|Z_{\mu,k}(g)-Z_{\mu,k}(g')|>2^{-N}u)=P(|Z_{\mu,k}(g-g')|>2^{-N}u)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'ol becs\"ulhet\H{o} a Wiener--It\^o
integr\'alok farok-eloszl\'as\'anak becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l
sz\'ol\'o kor\'abban ismertetett eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. E
gondolatmenet r\'esz\-le\-tei\-nek kidolgoz\'as\'aval viszonylag
egyszer\H{u}en megkaphatjuk az itt t\'argyalt becsl\'es
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at.

Az el\H{o}bb tekintett `chaining argument' nem el\'eg er\H{o}s
normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szerinti v\'eletlen integr\'alok
vagy elfajul\'o $U$-statisztik\'ak eloszl\'as\'anak a becsl\'es\'ere.
Ez csak azt teszi lehet\H{o}v\'e, hogy a probl\'em\'at arra az esetre
reduk\'aljuk, amikor
$$
\sigma^2(f)=\int f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)
$$
minden $f\in\Cal F$ f\"uggv\'enyre kicsi.

A `chaining argument' m\'odszer gyenges\'eg\'enek ebben az esetben a
k\"ovetkez\H{o} az oka: A
$$
P(I_{n,k}(f)>u) \quad \text{vagy} \quad P(J_{\mu,k}(f)>u)
$$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre csak nagyon gyenge becsl\'est
kapunk, ha $\sigma^2(f)$ nagyon kicsi, \'es az $u$ sz\'am viszonylag
nagy. Itt annak a kor\'abban t\'argyalt jelens\'egnek a hat\'asa
jelenik meg, hogy kis sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
$U$-statisztik\'akra \'es normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek
szerinti v\'eletlen integr\'alokra nem lehet olyan j\'o becsl\'eseket
kapni, mint amilyeneket a norm\'alis k\"ozel\'{\i}t\'es sugallna.

Ezt a neh\'ezs\'eget egy m\'as m\'odszerrel, egy \'ugynevezett
szimmetriz\'aci\'os elj\'ar\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet
legy\H{o}zni. Ez a m\'odszer a
$$
P\left(\frac1{k!} \sup_{f\in\Cal F}
\sum \Sb 1\le j_s\le n,\; s=1,\dots, k,\\
j_s\neq j_{s'} \text{ if } s\neq s'\endSb
f(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k})>u\right)
$$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'et visszavezeti
$$
P\left(\frac1{k!} \sup_{f\in\Cal F}
\sum\Sb 1\le j_s\le n,\; s=1,\dots, k, \\
j_s\neq j_{s'} \text{ if } s\neq s'\endSb
\varepsilon_{j_1}\dots\varepsilon_{j_k}
f(\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_k})>u\right), \tag6.2
$$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'ere, ahol
$\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok,
amelyekre $P(\varepsilon_j=1)=P(\varepsilon_j=-1)=\frac12$ minden
$1\le j\le n$ indexre, (\'es f\"uggetlenek az $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol is).


A (6.2) formul\'aban fel\'{\i}rt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'ol
lehet becs\"ulni egy alkalmas `conditioning argument'
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek a m\'odszernek az alkalmaz\'asakor
a (6.2) formul\'aban szerepl\H{o} esem\'enyek felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell j\'ol megbecs\"ulni a
$\xi_1=x_1$,\dots, $\xi_n=x_n$ felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
minden lehets\'eges $x_1,\dots,x_n$ \'ert\'ekre. Az ilyen
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
j\'o (itt nem ismertetett m\'odszerek) l\'eteznek, de ezek csak
$L_2$-s\H{u}r\H{u} f\"uggv\'enyoszt\'alyokra alkalmazhat\'oak.

\medskip\noindent
A fent v\'azlatosan ismertetett m\'odszerek t\'argyal\'as\'aban a
k\"ovetkez\H{o} r\'eszletre \'er\-de\-mes felh\'{\i}vni a figyelmet.
Normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek \'es $U$-statisztik\'ak
szup\-r\'e\-mu\-m\'a\-nak becsl\'es\'eben m\'as m\'odszert alkalmaztunk
a vizsg\'alatben megjelen\H{o} viszonylag nagy \'es kis sz\'or\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok becsl\'es\'eben.
Viszonylag nagy sz\'or\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok eset\'eben a `chaining argument'-et alkalmaztuk a
4.~fejezetben is\-mer\-te\-tett eredm\'enyekkel egy\"utt. Kis
sz\'or\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben
egy m\'as m\'od\-szert, egy szimmetriz\'aci\'os elj\'ar\'ast
haszn\'altunk. Annak, hogy a k\'et esetben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
elj\'ar\'ast alkalmaztunk m\'elyebb oka van.

A `chaining argument' csak nem t\'ul kis sz\'or\'as\'u
$U$-statisztik\'ak vagy normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szerinti
v\'eletlen integr\'alok vizsg\'alat\'aban m\H{u}k\"odik j\'ol, akkor
ha a vizsg\'alt $U$-statisztik\'ak vagy v\'eletlen integr\'alok
eloszl\'asai olyan becsl\'eseket teljes\'{\i}tenek, mint amilyet az
ilyen v\'eletlen funkcion\'alok `Gauss jelleg\H{u} hat\'arfolyamatai'
sugallnak. Lehet olyan `irregul\'aris esem\'enyeket' defini\'alni,
amelyek megjelen\'ese eset\'en a vizsg\'alt $U$-statisztik\'ak vagy
v\'eletlen integr\'alok nagyon nagy \'ert\'eket vesznek fel. De az
ilyen irregul\'aris esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege kicsi,
\'es tipikus esetekben ezek hat\'asa elhanyagolhat\'o. Viszont
kis sz\'or\'as\'u $U$-statisztik\'ak \'es v\'eletlen integr\'alok
eset\'eben el\H{o}fordul, hogy az ilyen irregularit\'asok
megjelen\'es\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag
nagy, \'es ezek hat\'asa a domin\'ans.

A `chaining argument' akkor m\H{u}k\"odik j\'ol, amikor az
irregularit\'asok hat\'asa m\'eg elhanyagolhat\'o, \'es sz\'ep
`Gauss t\'{\i}pus\'u' becsl\'esek \'erv\'enyesek. A
szim\-met\-ri\-z\'a\-ci\'os m\'odszereket viszont akkor \'erdemes
haszn\'alni, ha az irregul\'aris hat\'asok nem elhanyagolhat\'oak,
\'es ezeket kell j\'ol megbecs\"ulni.


\medskip\noindent
Jelen \'{\i}r\'asban egy fontos k\'erd\'esk\"or alapvet\H{o}
eredm\'enyeit pr\'ob\'altam viszonylag r\"oviden ismertetni az
eredm\'enyek m\"og\"ott rejl\H{o} heurisztikus k\'eppel egy\"utt.
A t\'ema r\'eszletesebb t\'argyal\'asa megtal\'alhat\'o az [1]
munk\'amban. Tov\'abb\'a egy Lecture Note-t k\'esz\"ul\"ok
megjelentetni, amely tartalmazza a k\"ul\"onb\"oz\H{o} r\'eszletek
prec\'{\i}z, r\'eszletes kidolgoz\'as\'at. Ez a Lecture Note~[2]
jelenleg csak az interneten, a home\-page-emen \'erhet\H{o} el. Mind
az~[1] mind a~[2] munka r\'eszletes irodalomjegyz\'eket tartalmaz.

\beginsection  Irodalom

\item{1.)} Major P\'eter:
Tail behaviour of multiple random integrals and $U$-statistics.
{\it Probability Reviews.} 448--505, (2005)
\item{2.)} Major P\'eter: On the tail bevaviour of multiple
random integrals and degenerate $U$-statistics.
http://www.renyi.hu/\~{}major

\bye

