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\centerline{\bf \"Uber die Iteration einer eindimensionalen
Transformation}
\bigskip\noindent
P\'eter Major, {\it Mathematisches Institut der Ungarischen Akademie der
Wissenschaften} \newline \noindent
Ungarn, Budapest H--1364 P.O.B. 127
 
\bigskip \noindent
In dieser Arbeit diskutieren wir das folgende Problem:
Betrachtet wird die Folge, defi\-niert durch die Rekursion
$$
x_{n+1}=\bold T_ax_n=1-ax^2_n\,,\qquad n=0,1,\dots
$$
mit einem Anfangswert $-1\le x_0\le1$. Dabei sei $a$  ein Parameter, mit
$0<a\le2$, so da\ss{} $\bold T_ax$  eine Transformation des Intervals
$[-1,1]$ in sich selbst ist. Wie verh\"alt sich die ``Trajektorie" $x_n$,
$n=0$,~1,\dots, wenn man einen ``typischen" Anfangswert $x_0$
betrachtet? Wie h\"angt es von dem Parameter $a$ ab?
 
Bei dem ersten Blick scheint diese Frage sehr speziell und unbedeutend zu
sein, interessant nur f\"ur eine kleine Gruppe von Theoretikern. Jedoch
untersuchten dieses Problem hervorragende Mathematiker und Physiker. In
diesem Aufsatz wollen wir nur einen kurzen \"Uberblick \"uber dieses
Problem geben. Insbesondere wollen wir erkl\"aren, da\ss{} bei der
Untersuchung dieses Problems ein sehr komplexes Bild entsteht, dessen
Verstehen wichtig ist. Man kann dieses Problem als einen Testfall
interpretieren, mit dessen Hilfe wir verstehen m\"ochten, wie die
Trajektorien sich in der N\"ahe eines Fixpunktes des Operators
verhalten, und wie sie von der Stabilit\"atseigenschaften des Operators
abh\"angen.
 
Wenn der Anfangswert $x_0$ die L\"osung der Fixpunktgleichung $\bold
T_a\bar x=\bar x$ ist, dann nimmt die Folge $x_n$ den Wert $\bar x$ f\"ur
jedes $n$. Wenn das Parameter $a$ klein ist, genauer wenn die
Ableitung $\frac{\partial}{\partial x}\bold T_ax=-2ax$
in dem Fixpunkt $\bar x$ ($\bold T_a\bar x=\bar x$) gr\"o\ss er oder
gleich $-1$ und kleiner als 0 ist,
dann strebt die Folge $x_n$ gegen $\bar x$ f\"ur
jedes $-1\le x_0\le 1$, wenn $n\to \infty$. F\"ur andere Parameter ist
die Situation verschieden. Es ist aufschlu\ss reich, den Extremfall
$a=2$ d.h. $\bold T_2x=1-2x^2$ speziell zu betrachten.
 
Um diesen Fall besser zu verstehen, kann man  die Transformation
$y=1-2x^2$
in ein anderes Koordinatensystem $(u,\,v)$, $x=\cos u$, $y=\cos v$,
$0\le u,v\le \pi$, umschreiben.  In diesem neuen System und mit
$x_n=\cos u_n$ gilt die Rekursion $u_{n+1}=G(u_n)$  mit der Funktion
$$
G(u)= \cases
\pi-2u& \text{f\"ur }0\le u\le\frac\pi2\\
2u-\pi& \text{f\"ur } \frac\pi2\le u\le \pi
\endcases  \; .
$$
Diese Formel kann man relativ einfach mit Hilfe der \"Uberlegung
$$\cos v=y=1-2x^2=1-2\cos^2 u=\cos(\pi-2u)$$
und $0\le u,v\le \pi$ beweisen. Es ist einfach zu sehen, da\ss{} unter
der Transformation $G$ das Lebesguesche Ma\ss{} $\lambda$ invariant
ist, d.h. es gilt: $\lambda(u\:G(u)\in A)=\lambda(u\:u\in A)$ f\"ur jede
Menge $A$. Diese \"Uberlegungen haben zur Folge, da\ss{} das Ma\ss{} mit
der Dichtefunktion $\frac1\pi\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ invariant unter der
Transformation $\bold T_2$ ist.
 
Dieses ziemlich abstrakte Resultat zusammen mit einem klassischen
Resultat, dem Ergoden-Satz, kann das Verhalten der typischen
Trajektorien $x_n$ erkl\"aren, die  durch die Iteration der
Transformation
$\bold T_2$ definiert sind. Es folgt aus der allgemeinen Theorie, da\ss{}
das System $([-1,1],\Cal B,\mu)$, wobei $\Cal B$ die Borel
$\sigma$-Algebra
in $[-1,1]$ und $\mu(dx)=\frac1\pi\frac1{\sqrt{1-x^2}}dx$ ist, ein
ergodishes System ist. So besagt der Ergoden-Satz, da\ss{} f\"ur gro\ss
e $n$ das Verh\"altnis der Indices $k$ in der Folge $x_1,\dots,x_n$
durch
$\mu(A)=\int_A \frac1\pi\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ gegeben ist. Man kann
noch mehr sagen. Es folgt aus der allgemeinen Theorie, da\ss{} das
betrachtete
dynamische System gute Mischungseigenschaften besitzt. Dies hat zur
Folge, da\ss{} wenn man die Werte $x_k$ in einem Zeitinterval $0\le
k\le T$ nur mit einem kleinen
Fehler betrachten kann (und in praktischen Situationen ist das immer
der Fall) und wenn $N\gg T$, die Folge $x_n$, $n\ge N$, dasselbe
statistische Verhalten besitzt. So k\"onnen wir \"uber das Verhalten der
Iterationen $\bold T_2$ f\"ur gro\ss e Indices nur statistische
Aussagen machen. Dies zeigt, da\ss{} die Iterationen der Transformation
$\bold T_a$ mit kleinem Parameter $a$, wenn die Trajektorie gegen einen
Fixpunkt strebt, und mit dem Parameter $a=2$ ganz anders sich verhalten.
Man m\"ochte \"uber das Verhalten der Trajektorie der Transformation mit
verschiedenem Parameter $a$ ein vollst\"andiges Bild bekommen. Wir sind
weit von diesem Ziel, aber bereits die bewiesenen Resultate k\"onnen
zeigen, was f\"ur ein komplexes Bild entsteht.
 
Diskutieren wir, was passiert wenn der Parameter $a$  w\"achst. F\"ur
kleine $a$  ist der Fixpunkt $\bar x={\bar x}_a$, der von dem Parameter
$a$ stetig abh\"angt, stabil, und die Trajektorien streben f\"ur
jeden Startpunkt gegen $\bar x_a$. Diese Eigenschaft h\"ort auf, wenn
$a>\mu_1$, wobei $\mu_1$ durch die Gleichung
$\frac{\partial}{\partial x}\bold T_a{\bar x}_a=-1$ f\"ur $a=\mu_1$
definiert ist. Wenn $a>\mu_1$, dann ist diese Ableitung kleiner als
$-1$, und der Fixpunkt instabil ist. Andererseits gilt
$\frac{\partial}{\partial x}{\bold T}^2_a{\bar x}_a=1$ f\"ur $a=\mu_1$
mit $\bold T_a^2(x)=\bold T_a(\bold T_a(x)$. Darum kann man, wenn man
den Fixpunkt der Transformation $\bold T^2_a$ betrachtet, die
Bifurkationstheorie anwenden. Eine tiefere Analyse zeigt das folgende:
Der Parameter $\bar x_a$ ist ein Fixpunkt auch der Transformation $\bold
T^2_a$, aber f\"ur $a>\mu_1$ gibt es noch zwei andere Fixpunkte
$x_a(1)$ und $x_a(2)$ dieser Transformationen. Sie sind, betrachtet als
Funktion des Parameters $a$, zwei Kurven, die sich bei $a=\mu_1$ in dem
Punkt $(a,\bar x_a)$ verzweigen.  Dies bedeutet, da\ss{}
$\bold T_a\bar x_a(1)=\bar x_a(2)$ und
$\bold T_a\bar x_a(2)=\bar x_a(1)$ ist, und da\ss{} wenn der Startpunkt
$x_0$ der Iteration $\bar x_a(1)$ oder $\bar x_a(2)$ ist,
die Trajektorie $x_n$ abwechselnd diese zwei Punkte annimt. Man kann
noch mehr sagen. Die Formel
$-1<\frac{\partial}{\partial x}{\bold T}^2_a{\bar x}_a<1$
gilt f\"ur $x=\bar x_1(a)$, $\bar x_2(a)$ wenn $a$ ein bi\ss chen
gr\"o\ss er ist als $\mu_1$. Somit sind diese Fixpunkte von $\bold
T^2_a$ stabil. Wenn die Iteration $x_{n+1}=\bold T_a x_n$ von einem beliebigen
Startpunkt beginnt, mit der Ausnahme $x_0=\bar x_a$, dann strebt die
Trajektorie $x_n$, $n=1$,~2, \dots gegen die Trajektorie $\dots,
\bar x_1(a),\bar x_2(a),\bar x_1(a)\dots$. Dies bedeutet, da\ss{}
f\"ur $a>\mu_1$ der Fixpunkt $\bar x_a$ keine gro\ss e Bedeutung hat,
und die andere
Fixpunkte $\bar x_1(a)$ und $\bar x_2(a)$ physikalische Bedeutung
besitzen.
 
Wenn der Parameter $a$ weiter w\"achst, dann verliert auch der
Fixpunkt der Transformation $\bold T^2$ seine Stabilit\"at. Es gibt
einen Parameter $\mu_2$, so da\ss{} durch eine
zweite Bifurkation eine stabile Trajektorie der L\"ange $2^2=4$ f\"ur
$a>\mu_2$ (ein neuer Fixpunkt von $\bold T^4_a$) entsteht. Und so folgt
weiter: Es gibt eine Sequenz von Parametern $\mu(n)$, $n=1$,~2,\dots,
so da\ss{} f\"ur $\mu_n<a\le \mu_{n+1}$ eine stabile periodische
Trajektorie der L\"ange
$2^n$ entsteht, und f\"ur jeden typischen Startpunkt $x_0$ strebt die
Trajektorie $x_n$ gegen diese periodische Trajektorie. Die Parameter
$\mu_n$ haben einen Limes $\mu_\infty<2$, wenn $n\to\infty$. Das
Verhalten der Trajektorien
bei $a=\mu_\infty$ weist eine besondere Merkw\"urdigkeit auf. Dynamische
Systeme
mit solchen Eigenschaften haben in der Literatur einen speziellen Namen,
n\"amlich ``Strange Attractors". In diesem Fall strebt eine
typische Trajektorie gegen eine Cantor--Menge. Man m\"u\ss te genauer
erkl\"aren, was diese Konvergenz bedeutet, aber wegen der K\"urze dieses
Aufsatzes m\"ussen wir darauf verzichten. Es gibt vielmehr andere
interessante und wichtige
Fakten, die mit dem Parameter $\mu_\infty$ verbunden sind. Wir m\"ochten
nur die ber\"uhmte Feigenbaum--Universalit\"at kurz erw\"ahnen.
 
Man kann statt der Klasse der Funktionen $F_a(x)=1-ax^2$ andere Klassen
$G_a(x)$ von unimodularen Funktionen in dem Interval $[-1,1]$
betrachten. (Die Funktion $G_a(x)$ hei\ss t unimodular, wenn es einen
Punkt
$x(a)$ gibt, so da\ss{} sie in dem Interval $[-1,x(a)]$ monoton
w\"achst und in dem Interval $[x(a),1]$ monoton f\"allt.) Die
erw\"ahnten Resultate sind richtig unter sehr allgemeinen Bedingungen,
aber die Werte der Konstanten $\mu_n$ h\"angen davon ab, welche Klasse
von Funktionen $G_a(x)$ wir betrachten. Auch gilt die Relation
$$
\mu_\infty-\mu_n\sim \text{const.}\,\lambda^{-n}  .
$$
Dabei ist bemerkenswert, da\ss{} der Wert von $\lambda$ unabh\"angig
von der Klasse $G_a(x)$ ist. F\"ur eine weite Klasse erscheint
dieselbe Konstante $\lambda=4.66920\dots$. Es ist der einzige
instabile (gr\"o\ss er als 1) Eigenwert eines  unendlich
dimensionalen Operators. Die genauere
Erkl\"arung dieses Operators und des Grundes f\"ur ihre Erscheinung
w\"urde viel Zeit und Energie verlangen, so verzichten wir darauf. Man
erwartet, da\ss{} das Auftreten
solcher universellen Konstanten mit allgemeinen Gesetzen
in der Physik verkn\"upft ist. Dies erkl\"art den Interesse f\"ur solche
Resultate.
 
Das Verhalten der Trajektorien von $\bold T_ax=1-ax^2$ f\"ur
$\mu_\infty<a<2$ ist noch viel komplexer, und bis heute sind nur
partielle Resultaten
bekannt. Man kann fragen, ob es Parameter $a$ gibt, f\"ur welche
die typischen Trajektorien gegen eine periodische Trajektorie streben
wie
bei $a<\mu_\infty$, ob ``Strange Attractors" existieren wie
bei $a=\mu_\infty$, und ob ein solches ``stochas\-tisches Verhalten"
m\"oglich ist wie bei dem Parameter $a=2$. Es ist zwar bewiesen, da\ss{}
alle diese M\"oglichkeiten bestehen, aber eine genaue analy\-tische
Beschreibung, bei welchem Parameter welches Verhalten eintritt, ist
nicht bekannt. Es kann sein, da\ss{} diese Unkenntnis einen tiefen
prinzipiellen Grund hat, und da\ss{} es  unm\"oglich ist, durch eine
endliche analytische Formel die verschiedenen Klassen der Parameter $a$
zu beschreiben. Auch andere nat\"urliche Fragen tauchen in diesem
Fragenkomplex auf. In dem Fall $0<a<\mu_\infty$  existieren nur
Perioden der
L\"ange $2^n$. Gibt es Parameter, f\"ur welche andere Periode
erscheinen? K\"onnen bei gewissen Parameter
viele verschiedene Perioden auftreten? K\"onnen auch mehrere
verschiedene stabile Perioden bei demselben Modell zugleich auftreten?
Diese letzte Frage bedeutet, ob es m\"oglich ist, da\ss{} verschiedene
Mengen von positivem Ma\ss{} existieren, so da\ss{} die
Trajektorien mit einem Startpunkt in diesen Mengen gegen verschiedene
periodische Trajektorien streben. Die Antworten auf diese Fragen sind
bekannt.
 
Allgemein gilt: Die Transformation $\bold T_a$
kann viele perio\-dische Trajektorien besitzen, aber nur eine von ihnen
kann stabil sein. Ein Resultat von Sharkovskii, das f\"ur beliebige
stetige Transformation eines Intervals gilt, besagt, da\ss{} aus der
Existenz von Perioden gewisser L\"ange die Existenz von Perioden
anderer L\"ange folgt. Wir formulieren dieses Resultat nicht in seiner
allgemeiner Form, wir erw\"ahnen nur eine Konsequenz daraus: Wenn die
Transformation eine Trajektorie der L\"ange 3 besitzt (es gibt solche
Parameter $a$, bei denen $\bold T_a$ diese Bedingung erf\"ullt), dann
hat diese Transformation Perioden jeder L\"ange. Auf der anderen
Seite existieren f\"ur die Transformationen $\bold T_a$ nicht
mehrere stabile Trajektorien.
Im Fall der Existenz einer stabilen periodischen Trajektorie  strebt
die Trajektorie $x_n$ f\"ur fast alle Startpunkte $x_0$ gegen diese
Trajektorie. Dieses Resultat bedeutet unter anderem, da\ss{}
es nicht m\"oglich ist, da\ss{} ein positiver Teil der Trajektorie gegen
eine periodische Trajektorie konvergiert, und ein anderer positiver Teil
stochas\-tisches Verhalten zeigt.
Diese Ergebnisse sind auch f\"ur die Iteration einer allgemeinen
Klasse von Funktionen bewiesen. Sie gelten f\"ur jede unimodulare
Funktion mit negativer Schwarzscher Ableitung. Es ist eine Eigenschaft,
die auch die Funktionen $1-ax^2$ erf\"ullen.
 
Der Grund warum man sich f\"ur die Iterationen der Funktion $1-ax^2$
sich inte\-ressiert, liegt darin, da\ss{}
es ein relativ einfacher Spezialfall eines allgemeinen Problems ist.
Wenn der Parameter $a$ nicht zu klein ist (d.h. zumindenst gr\"o\ss er
als 1), dann ist der absolute Wert von der Ableitung der Funktion
$1-ax^2$ f\"ur gewisse Werte von $x$, $-1\le x\le1$, gr\"o\ss er als 1,
f\"ur andere Werte kleiner als~1. Die Theorie der hyperbolischen
Systeme sagt viel \"uber die Iterationen von Transformationen deren
Ableitung \"uberall einen Abstandsbetrag gr\"o\ss er als
1 besitzt. Solche Systeme zeigen  stochastisches Verhalten
wie im Beispiel der Transformation $\bold T_2x=1-2x^2$. Wenn die
Ableitung der Transformation kleiner als 1 ist, dann stellt sie eine
Kontraktion dar, und die Trajektorien streben gegen den
Fixpunkt der Transformation. In dem hier diskutierten Modell tauchen
beide gegens\"atzlichen Effekte auf. Wegen des Wettbewerbs dieser
Effekte entsteht ein sehr kompliziertes Bild. Eine kleine
Ver\"anderung des Parameters kann eine radikale Ver\"anderung des
Verhaltens des Systems verursachen. Unser Ziel ist es, dieses Bild zu
verstehen. Dies kann auch bei der Untersuchung von
physikalischen Ph\"anomenen wie die Turbulenz hilfreich sein.
 
In diesem kleinen Aufsatz k\"onnten wir nur eine informelle kurze
Erkl\"arung  geben.  Eine detaillierte Diskussion zusammen mit
einem umfangreichen Literaturverzeichnis findet man in dem Buch von
Pierre Collet und
Jean--Pierre Eckmann ``Iterated Maps on the Interval as Dynamical
Systems".
 
\bye