\magnification=1200
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\small=cmr8
\parskip=1pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\intl{\int\limits}
 
\centerline{\bf A MAJDNEM BIZTOS INVARIANCIAELV}
\centerline{\bf \'ES ANNAK M\'ELYEBB H\'ATTERE}
\centerline{\it Major P\'eter}
\centerline{MTA Matematikai Kutat\'o Int\'ezete}
\smallskip \centerline{Az MTA 1999 m\'ajus 5-\'en tartott
k\"ozgy\"ul\'es tudom\'anyos
(matematikai)}
\centerline{\"ul\'esszak\'an tartott el\H{o}ad\'as \'{\i}r\'asos
v\'altozata}
\medskip\noindent Id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi eredm\'enyt:
\medskip \noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it Legyen $X_n(\oo)$, $EX_n=0$, $EX_n^2=1$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es jel\"olje
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n X_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$ a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett r\'eszlet\"osszegek sorozat\'at. Ekkor
$$
\dfrac1{\log n}\sum_{k=1}^n\frac1kI\(\frac{S_k(\oo)}{\sqrt
k}<x\)\to\Phi(x)\quad \text{egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel} \tag$*$
$$
minden val\'os $x$ sz\'amra, ahol $I(A)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et
jel\"oli, \'es $\Phi(\cdot)$ a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.}\medskip
Tegy\"unk n\'eh\'any megjegyz\'est ezzel az eredm\'ennyel kapcsolatban.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$$
P\(\frac{S_k}{\sqrt k}<x\)\sim \Phi(x)\quad \text {nagy } k \text{
sz\'amokra.}
$$
Teh\'at a fent id\'ezett eredm\'eny azt jelenti, hogy az
$A_k=\left\{\frac{S_k}{\sqrt k}<x\right\}$ esem\'enyek
be\-k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'e\-nek s\'ulyozott \'atlaga alkalmas
s\'ulyokkal egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'etezik, \'es megegyezik
a $\limm_{k\to\infty}P(A_k)$ sz\'ammal. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_{k=1}^n\dfrac1k\sim \log n$.) Felmer\"ulnek a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'esek: \medskip
\item{1.} Mi az oka a fent id\'ezett eredm\'enynek?
\item{2.} Mi\'ert \'eppen az 1. T\'etelben eml\'{\i}tett
s\'ulyoz\'ast tekintett\"uk?
\item{3.} A megfogalmazott t\'etel egy partikul\'aris
\'all\'{\i}t\'as vagy annak h\'atter\'eben egy m\'elyebb,
\'altal\'anosabb eredm\'eny \'all? \medskip
El\H{o}ad\'asomban ezeket a k\'erd\'eseket \'es n\'eh\'any hozz\'ajuk
kapcsol\'od\'o probl\'em\'at t\'ar\-gyal\-tam.
 
Ha az 1. T\'etelben tekintett s\'ulyozott \'atlag helyett a
k\"oz\"ons\'eges, s\'ulyoz\'as n\'elk\"uli \'atlagot, azaz az
$$
\frac1n\sum_{k=1}^n I\(\frac{S_k}{\sqrt k}<x\)
$$
kifejez\'eseket tekintj\"uk, \'es elv\'egezz\"uk az $n\to\infty$
hat\'ar\'atmenetet, akkor ezeknek a kifejez\'eseknek nem
elfajul\'o hat\'areloszl\'asuk van ($x=0$ eset\'en  a limeszt a
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik h\'{\i}res
eredm\'enye, az arcus-sinus t\"orv\'eny \'{\i}rja le). Ez azt is
jelenti, hogy ebben az esetben nem \'erv\'enyes az 1.~T\'etelben
megfogalmazott eredm\'eny term\'eszetes analogonja.
 
A k\'es\H{o}bbi t\'argyal\'as \'erdek\'eben \'erdemes megfogalmazni a
$(*)$ rel\'aci\'onak egy \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb alakj\'at.
Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $S_k(t,\oo)$, $0\le t\le1$,
$k=1,2,\dots$, (v\'eletlen) t\"or\"ott\-vonal\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
$$
\align
S_k\(\frac jk,\oo\)=\frac{S_j(\oo)}{\sqrt k},\quad 0\le j\le k,
\quad\text{\'es }S_k(t,\oo) &\text{ line\'aris f\"uggv\'eny a }\[\frac
jk,\frac{j+1}k\]\\
&\quad\text{intervallumban.}
\endalign
$$
Legyen $\Cal F$ folytonos (vagy kiss\'e \'altal\'anosabban a Wiener
m\'ert\'ek szerint egy val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel folytonos),
korl\'atos funkcion\'al a $C([0,1])$ t\'eren, azaz a $[0,1]$
intervallumon folytonos f\"uggv\'enyek ter\'en a szupr\'emum norm\'aval.
Ekkor
$$
\frac1{\log n}\sum_{k=1}^n\frac1k \Cal F(S_k(\cdot,\oo))\to\int\Cal
F(u(\cdot))\,d\mu_w(u)\quad \text{egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,}
\tag$**$
$$
ahol $\mu_w$ a Wiener m\'ert\'ek, azaz a Wiener folyamat eloszl\'asa a
$C([0,1])$ t\'eren. Speci\'alisan, az
$$
\Cal F(u(\cdot))=\cases
1&\text{ha } u(1)<x\\
0&\text{ha } u(1)\ge x
\endcases
$$
v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy a $(*)$ formula a $(**)$ rel\'aci\'o
speci\'alis esete.
\medskip
K\"ovetkez\H{o} c\'elunk az, hogy meg\'erts\"uk: Mi\'ert \'erv\'enyes a
$(**)$ formula? A k\"ovetkez\H{o} a.) \'es b.) \'eszrev\'etelt
tessz\"uk. \medskip
\item{a.)} Ha $W(t)$, $t\ge0$ Wiener folyamat a $[0,\infty)$
f\'elegyenesen, $\Cal F$ folytonos funkcion\'al a $C([0,1])$ t\'eren,
akkor \'erv\'enyes a
$$
\lim_{T\to\infty}\frac1{\log T}\int_1^T\frac1t\Cal
F(W_t(\cdot))\,dt=\int \Cal F(x)\,d\mu_w(x) \quad \text {egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel}
$$
rel\'aci\'o, ahol $W_t(s,\oo)=\dfrac{W(st,\oo)}{\sqrt t}$, $0\le s\le
1$, $t\ge1$, a Wiener folyamat a $t$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}
alkalmas \'atsk\'al\'az\'asa.
\item{b.)} A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik
klasszikus eredm\'enye szerint (invariancia elv) a ko\-r\'ab\-ban m\'ar
de\-fi\-ni\-\'alt $S_k(\cdot)$ t\"or\"ottvonalf\"uggv\'enyek
teljes\'{\i}tik az
$$
S_k(\cdot)\Rightarrow \mu_w, \quad\text{ha } k\to\infty
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\mu_w$ a Wiener m\'ert\'ek, \'es $\Rightarrow$ a
gyenge konvergenci\'at (az eloszl\'asbeli konvergencia
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at) jel\"oli \'altal\'anosabb terekben. Ez
az eredm\'eny azt sugallja, hogy a
$$
\align
&\lim_{N\to\infty}\frac 1{\log N}\sum_{k=1}^k\frac 1k\Cal
F(S_k(\cdot,\oo))\\
&\lim_{T\to\infty}\frac 1{\log T}\int_1^T\frac 1t\Cal
F(W_t(\cdot,\oo))\,dt
\endalign
$$
kifejez\'esek hasonl\'o t\"orv\'enyszer\H{u}s\'egeknek tesznek eleget.
 
A k\'es\H{o}bb r\'eszletesebben megmagyar\'azand\'o a.) \'es b.)
\'all\'{\i}t\'asok a k\"ovetkez\H{o} k\'epet sugallj\'ak: Az a.)
\'all\'{\i}t\'asban a hat\'arfolyamatra fogalmaztunk meg valamilyen
t\"or\-v\'eny\-sze\-r\H{u}\-s\'e\-get. A b.) \'all\'{\i}t\'as azt
sugallja, hogy az ilyen t\"orv\'enyszer\H{u}s\'egek \"or\"okl\H{o}dnek
azokra a folyamatokra is, melyek a hat\'arfolyamat vonz\'asi
tartom\'any\'aban vannak.
\medskip
Az a.) \'all\'{\i}t\'ast a k\"ovetkez\H{o} m\'odon magyar\'azhatjuk
meg, illetve \'altal\'anos\'{\i}thatjuk. Legyen $W(t,\oo)$, $t\ge 0$,
Wiener folyamat. Ekkor a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik klasszikus eredm\'enye szerint az
$$
U(t,\oo)=\frac{W\(e^t,\oo\)}{e^{t/2}}
$$
transzform\'aci\'ot alkalmazva az \'ugynevezett Ornstein--Uhlenbeck
folyamatot kapjuk, \'es ez egy stacion\'arius, ergodikus
folyamat. Ez\'ert alkalmazhat\'o r\'a a matematikai anal\'{\i}zis
egyik alapvet\H{o} eredm\'enye, az ergod-t\'etel, mely szerint
$$
\lim_{T\to\infty}\frac1{\log T}\int_0^{\log T}\Cal
G(\bold T_sU(\cdot,\oo))\,ds
=E\Cal G(U(\cdot,\oo))\quad \text{egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel},
$$
ahol $\bold T_sU(t,\oo)=U(t+s,\oo)$, az $U(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria
eltol\'asa $s$-sel, \'es $\Cal G$ tetsz\H{o}leges korl\'atos
funkcion\'al a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen \'ertelmezett f\"uggv\'enyek
ter\'en. Ezt az Ornstein--Uhlenbeck folyamatr\'ol sz\'ol\'o
rel\'aci\'ot \'at\'{\i}rva a $W(t,\oo)=t^{1/2}U(\log t,\oo)$ Wiener
folya\-mat\-ra, \'es a $\Cal G=\Cal G(\Cal F)$ funkcion\'alt alkalmasan
v\'alasztva megkapjuk az a.) \'all\'{\i}t\'as eredm\'eny\'et.
 
Felmer\"ul a k\'erd\'es: Mennyire k\"ot\H{o}dik a fenti \'ervel\'es,
illetve annak eredm\'enye a Wiener folyamathoz, illetve a Wiener
folyamat transzform\'altjak\'ent kapott Ornstein--Uhlenbeck
folyamathoz? R\'eszletesebb vizsg\'alat megmutatja, hogy ez az
\'ervel\'es, illetve az a.) \'all\'{\i}t\'as megfelel\H{o}j\'enek a
bizony\'{\i}t\'asa elv\'egezhet\H{o} az \'ugynevezett \"onhasonl\'o
(az angol nyelv\H{u} irodalomban self-similar-nek h\'{\i}vott)
fo\-lya\-ma\-tok\-ra is.
 
Egy $X(t,\oo)$, $t\ge0$, sztochasztikus folyamat akkor \"onhasonl\'o
$\alpha>0$ param\'eterrel, ha az $X(t,\oo)$ \'es az
$s^{-1/\alpha}X(st,\oo)$ folyamatok eloszl\'asa minden $s>0$ eset\'en
megegyezik. Ezek a folyamatok az\'ert j\'atszanak fontos szerepet a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, mert ezek eloszl\'asai
l\'epnek fel hat\'areloszl\'ast\'etelek limeszek\'ent.  Megadjuk ennek
a t\'enynek egy inform\'alis, v\'azlatos magyar\'azat\'at.
 
Ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszegeire \'erv\'enyes ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-le\-ket
vizsg\'alunk, akkor az ilyen \'all\'{\i}t\'asok \'atfogalmazhat\'oak,
mint ezen f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asainak a konvoluci\'oira, illetve azok \'atsk\'al\'az\'as\'ara
fel\'{\i}rt alkalmas rel\'aci\'ok. Egy term\'eszetes hat\'ar\'atmenetet
elv\'egezve  azt kapjuk, hogy azok az eloszl\'asok l\'epnek fel
hat\'areloszl\'ask\'ent, melyek teljes\'{\i}tenek egy bizonyos fix-pont
egyenletet. Ha nem fel\-t\'et\-le\-n\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt
\"ossze\-gei\-nek lehets\'eges ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sa\-it akarjuk
le\'{\i}rni, akkor nem elegend\H{o} az egydimenzi\'os
el\-osz\-l\'a\-so\-kat tekinteni, mert azok nem adnak teljes
inform\'aci\'ot. Ekkor az eg\'esz fo\-lya\-mat eloszl\'as\'at kell
tekinteni, \'es azt \'erdemes vizsg\'alni, hogy mely fo\-lya\-ma\-tok
eloszl\'asai jelenhetnek meg, mint hat\'ar\'ert\'ekek. Ebben az esetben
is adapt\'alhatjuk a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben v\'egrehajtott hat\'ar\'atmenetet, \'es azt
kapjuk, hogy a ha\-t\'ar\-fo\-lya\-mat eloszl\'asa teljes\'{\i}t
bizonyos szimmetriatulajdons\'agot. Kidolgozva a r\'eszleteket azt
kapjuk, hogy a lehets\'eges hat\'ar\'ert\'ekek megegyeznek a
\"onhasonl\'o fo\-lya\-matok el\-osz\-l\'a\-sai\-val.
 
M\'asr\'eszt nem neh\'ez bel\'atni a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $X(t,\oo)$ szochasztikus folyamat akkor \'es csak
akkor \"onhasonl\'o $\alpha>0$ param\'eterrel, ha az
$$
Y(t,\oo)=\frac{X\(e^t,\oo\)}{e^{t/\alpha}}, \quad t\ge0
$$
sztochasztikus folyamat stacion\'arius.}
\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy a Lemm\'aban defini\'alt $Y(t,\oo)$ folyamat
definici\'oja nagyon hasonl\'o az Ornstein--Uhlenbeck folyamatnak a
Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott
konst\-ruk\-ci\'o\-j\'a\-hoz. Mivel az ergod-t\'etel alkalmazhat\'o
tetsz\H{o}leges stacion\'arius fo\-lya\-mat\-ra, ez\'ert az a.)
\'all\'{\i}t\'as \'ervel\'ese \'altal\'anos\'{\i}that\'o \"onhasonl\'o
folyamatokra is. Ilyen m\'odon azt kapjuk, hogy ha $X(\cdot,\oo)$
\"onhasonl\'o folyamat $\alpha>0$ param\'eterrel, akkor enyhe
felt\'etelek mellett (azt kell feltenni, hogy az $Y(t,\oo)$
stacion\'arius folyamat egyben ergodikus is, \'es az $X(\cdot,\oo)$
folyamat trajekt\'ori\'ai sim\'ak)
$$
\lim_{T\to\infty}\frac1{\log T}\int_1^T\frac1t\Cal
F\(X_t(\cdot,\oo)\)\,dt=E\Cal F X_1(\cdot,\oo) \quad\text{egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,} \tag+
$$
ahol $X_t(u,\oo)=\dfrac{X(ut,\oo)}{t^{1/\alpha}}$, $0\le u\le 1$, $t>0$,
\'es $\Cal F$ $C([0,1])$ (vagy a
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban szint\'en
gyakran haszn\'alt nagyobb $D([0,1])$) t\'erbeli folytonos korl\'atos
funkcion\'al. S\H{o}t, ez az \'all\'{\i}t\'as n\'emileg
\'eles\'{\i}thet\H{o}. Megadhat\'o $\oo$ elemi esem\'enyeknek olyan egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} halmaza, melyekre a $(+)$ rel\'aci\'o
teljes\"ul minden folytonos \'es korl\'atos $\Cal F$ funkcion\'alra.
(Ez az \'all\'{\i}t\'as megfogalmazhat\'o \'ugy is, mint egy majdnem
biztos funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.)
 
Ilyen m\'odon azt a figyelemrem\'elt\'o eredm\'enyt kapjuk, hogy az
egy  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} hat\'areloszl\'ast\'etelben
ugyanazok a folyamatok l\'epnek fel hat\'arfolyamatk\'ent mint a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as klasszikus
hat\'areloszl\'ast\'eteleiben.
 
A b.) r\'eszben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz \'erdemes bel\'atni a $(+)$ formul\'aban
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkez\H{o} diszkr\'et
v\'altozat\'at. \medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel.} {\it Legyen $B_n$ pozit\'{\i}v sz\'amoknak olyan
monoton sorozata, melyre $\limm_{n\to\infty}B_n=\infty$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{B_{n+1}}{B_n}=1$. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a,
hogy a $(+)$ formula bizony\'{\i}t\'as\'anak a felt\'etelei
teljes\"ulnek. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{\log\frac{B_{n+1}}{B_1}}\sum_{k=1}^n\log
\frac{B_{k+1}}{B_k} \Cal F\(X_{B_k}(\cdot,\oo)\)=E\Cal F(X_1(\cdot,\oo))
\quad\text{\rm egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel} \tag$++$
$$
minden a $C([0,1])$ t\'eren folytonos \'es korl\'atos $\Cal F$
funkcion\'alra, ahol $X_t(s,\oo)=\dfrac{X(st,\oo)}{t^{1/\alpha}}$,
$t>0$, $0\le s\le 1$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A (+) \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak
h\'atter\'eben az ergod-t\'etel \'all. Az ergod-t\'etelnek l\'etezik
id\H{o}ben diszkr\'et v\'altozata is, \'es term\'eszetes gondolat lenne
megpr\'ob\'alni azt, hogy a $(++)$ rel\'aci\'ot az ergod elm\'elet
diszkr\'et v\'altozat\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tsuk
be. Ez a m\'odszer azonban nem m\H{u}k\"odik, mert az ergod-t\'etel
diszkr\'et v\'al\-to\-za\-t\'a\-ban az id\H{o}pontokat speci\'alisan
kell megv\'alasztani. A 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak a kulcsa
m\'egis az ergodt\'etel. Az ergod-t\'etel \'es az $X(t,\oo)$
trajekt\'ori\'ainak folytonoss\'aga seg\'{\i}ts\'eg\'evel  ugyanis
megmutathat\'o, hogy a $(+)$  formul\'aban szerepl\H{o} integr\'alt
j\'ol k\"ozel\'{\i}ti a $(++)$ formul\'aban szerepl\H{o} \"osszeg.
Ez\'ert a k\'et kifejez\'esnek ugyanaz a limesze. Egy r\'eszletesebb
t\'argyal\'asban el kellene magyar\'azni pontosabban, hogy milyen
\'ertelemben van ez a k\'et kifejez\'es k\"ozel egym\'ashoz. Ennek
kifejt\'es\'ere azonban egy r\"ovid, bevezet\H{o} jelleg\H{u}
el\H{o}ad\'asban nem volt lehet\H{o}s\'egem.
 
A b.) r\'eszben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as azt sugallja, hogy
pr\'ob\'aljuk meg a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast bel\'atni. Ha
$X(t,\oo)$ $\alpha$ param\'eter\H{u} \"onhasonl\'o folyamat, melyre
\'erv\'enyes a 2.~T\'e\-tel, \'es $Z(t,\oo)$, $t\ge0$, olyan
sztochasztikus folyamat, melyre a $Z_n(t,\oo)=\dfrac
{Z(B_nt,\oo)}{B_n^{1/\alpha}}$, $0\le t\le1$, folyamat teljes\'{\i}ti
a $Z_n(t,\oo)\Rightarrow X_1(t,\oo)$ rel\'aci\'ot
$n\to\infty$ eset\'en alkalmas $B_n$, $n=1,2,\dots$, sorozattal, ahol
$\Rightarrow$ gyenge konvergenci\'at jelent, akkor \'erv\'enyes a $(++)$
formula azon mod\'os\'{\i}t\'asa is, melyben az $\Cal
F\(X_{B_k}(\cdot,\oo)\)$ kifejez\'est az $\Cal F\(Z_{k}(\cdot,\oo)\)$
kifejez\'essel helyettes\'{\i}tj\"uk.
 
Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ozvetlen\"ul nem bizony\'{\i}that\'o, mivel
a bizony\'{\i}t\'asban a fent defini\'alt $X_n(t,\oo)$ \'es
$Z_n(t,\oo)$ folyamatoknak a $Z_n(t,\oo)\Rightarrow X(t,\oo)$
rel\'aci\'ot\'ol elt\'er\H{o} k\"ozels\'eg\'et kell alkalmazni.
A bizony\'{\i}t\'as komolyabb anal\'{\i}zist ig\'enyel. Siker\"ult
bel\'atni, hogy ha f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegei teljes\'{\i}tenek valamilyen
hat\'areloszl\'ast\'etelt, akkor ezek a r\'eszlet\"osszegek
teljes\'{\i}tik a meg\-fe\-le\-l\H{o} egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}
hat\'areloszl\'ast\'etelt, illetve annak funkcion\'alis v\'altozat\'at
is. Ennek a vizsg\'alatnak  a r\'eszleteir\H{o}l nem volt id\H{o}m
besz\'elni. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy ennek az eredm\'enynek a
megfelel\H{o}je \'erv\'enyes f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeire is. Ez az \'all\'{\i}t\'as azonban
jelenleg m\'eg nincs bebizony\'{\i}tva, \'es a bizony\'{\i}t\'as sok
munk\'at \'es \'uj gondolatokat ig\'enyel.
 
V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy a fenti eredm\'enyek azt is
megmagyar\'azz\'ak, hogy mi\'ert term\'eszetes az el\H{o}ad\'as
illetve  az itteni ismertet\'es\'es elej\'en megadott $(*)$
formul\'aban sze\-rep\-l\H{o} s\'ulyozott \'atlagot az ott tekintett
s\'ulyoz\'assal tekinteni. Ugyanis f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegei
hasonl\'oan viselkednek, mint f\"ug\-get\-len, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegei. Ezekre viszont alkalmazhat\'o a 2.~T\'etel
eredm\'enye $B_n=n$ \'es $\alpha=2$ v\'alaszt\'assal. Ez az \'ervel\'es
$(*)$ formul\'ahoz hasonl\'o eredm\'enyt szolg\'altat. Az egyetlen
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen eset\-ben a $\dfrac1{\log n}\dfrac1k$
s\'ulyok helyett a $\dfrac1{\log n}\log\dfrac {k-1}k$ s\'ulyokat kell
v\'alasztani. De mivel $\log\dfrac {k-1}k=\dfrac 1k+O\(\dfrac1{k^2}\)$,
nem neh\'ez bel\'atni, hogy a k\'et rel\'aci\'o ekvivalens egym\'assal.
 
Az el\H{o}ad\'asban csak r\"ovid betekint\'est tudtam adni az egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'etel
t\'emak\"or\'ebe. Egy r\'eszletesebb t\'argyal\'as \'es az itt
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok teljes bizony\'{\i}t\'asa
megtal\'alhat\'o a k\"ovetkez\H{o} k\'et r\'eszb\H{o}l \'all\'o
cikkemben: \parindent=64pt
\vfill\eject
\noindent
{\bf Hivatkoz\'as:}
\medskip
\item{Major P\'eter:} Almost sure functional limit theorems. Part I. The
general case. {\it Studia Scientarum Mathematicarum Hungarica}\/ {\bf34}
(1998) 273--304
\item{Major P\'eter:} Almost sure functional limit theorems. Part II.
The case of independent random variables. {\it Studia Scientarum
Mathematicarum Hungarica}\/ {\bf36} (2000) 231--273
 
 
 \bye