7. Diszkrét részcsoportok
Sok olyan csoporttal találkoztunk, amelyik leírható mátrixokkal.
Egy ilyen csoport a mátrixok terének egy részhalmaza, a mátrixok
tere pedig egyszerűen
(ahol a mátrix elemeinek száma).
Az ilyen csoportokban beszélhetünk folytonos függvényekről, nyílt
vagy zárt részhalmazokról, stb. -- hiszen
részhalmazaiban ismerjük ezeket a fogalmakat.
Természetesen ha ugyanazt a csoportot másként azonosítjuk egy másik
részhalmazával, akkor esetleg más függvények lesznek
folytonosak, más halmazok lesznek nyíltak, stb.
Ezért (ebben a fejezetben) minden csoporthoz rögzítünk egy ilyen
azonosítást, és azt többet nem változtatjuk.
Korábban már volt ilyen azonosításunk a következő csoportokra, és
részcsoportjaikra:
, , , . Később (a projektív
síkról szóló fejezetben) a sík összes egybevágóságának csoportját
is azonosítjuk egy mátrix csoporttal.
/1. Konvenció:
Ebben a fejezetben minden csoport részhalmaza lesz egy Euklideszi
térnek. Ezért beszélhetünk folytonos függvényekről, csoportok nyílt
illetve zárt részhalmazairól, stb.
/2. Definíció:
Az Euklideszi tér (azaz ) egy részhalmazát
diszkrét részhalmaznak nevezzük,
ha nincs torlódási pontja, azaz minden konvergens
részsorozata valamelyik tagtól kezdve konstans.
Egy csoport (ami a konvenciónk miatt része egy Euklideszi
térnek) diszkrét csoport, ha diszkrét részhalmaz az
Euklideszi térnben.
/3. Definíció:
Egy csoport részcsoportját sűrűnek mondjuk, ha
minden elemét megkaphatjuk -beli elemek sorozatának
határértékeként.
/I. Feladat:
Lásd be, hogy egy véges csoport mindig diszkrét!
/II. Feladat:
Lásd be, hogy egy diszkrét csoport részcsoportjai is diszkrétek!
/III. Feladat:
Adottak az részcsoportok a csoportban.
Lásd be, hogy ha sűrű -ben és sűrű -ben, akkor
sűrű -ben.
/IV. Feladat:
Lásd be, hogy minden ciklikus részcsoportja diszkrét!
Megoldások
/V. Feladat:
Keresd meg diszkrét részcsoportjait!
Megoldások
/VI. Feladat:
Lásd be, hogy minden részcsoportja vagy diszkrét, vagy
sűrű!
Megoldások
/4. Érdekesség:
Az előző feladatból kiderül, hogy ha
irracionális szám, akkor
az
és
által generált részcsoport sűrű.
Ez valójában számelmélet: azon múlik hogy az
irracionális
számot nagy pontossággal tudjuk racionális számokkal közelíteni.
Akárhogy választunk egy
nevezőt, mindig
van hozzá olyan
számláló, amire
,
de nekünk ennél pontosabb közelítés kell. Az
szám
lánctört
közelítése olyan törteket ad, amelyekre
és ebből következik a feladat állítása.
Érdemes megemlíteni
Roth tételét, ami arról szól, hogy algebrai számokat ennél
pontosabban nem lehet közelíteni. Tehát, ha racionális számok egy
sorozata túl gyorsan konvergál, akkor a határérték szükségszerűen
transzcendens. Roth tétele nehéz, de sok transzcendens számot
találhatunk
Liouville tételével is.
/VII. Feladat:
Lásd be, hogy minden ciklikus részcsoportjai vagy diszkrét,
vagy sűrű! Mitől függ, hogy melyik?
Megoldások
/5. Érdekesség:
körvonal alakú, tehát korlátos és zárt halmaz -- az ilyet
kompaktnak nevezzük. Könnyen látható,hogy egy korlátos
zárt halmaz diszkrét részhalmaza mindig véges.
Ebből azonnal következik a
/VII. feladat.
/VIII. Feladat:
Keresd meg diszkrét részcsoportjait!
Megoldások
/IX. Feladat:
Lásd be, hogy minden részcsoportja vagy diszkrét, vagy sűrű!
Megoldások
/X. Feladat:
Igaz-e, hogy minden részcsoportja vagy diszkrét,
vagy sűrű?
Megoldások
/XI. Feladat:
Legyen két nem nulla elem.
Milyen részcsoportot generálnak? hányféle lehetőség van?
Megoldások
/XII. Feladat: Határozd meg diszkrét részcsoportjait!
Megoldások