6. Térbeli forgatások: SO(3), O(3)
A három dimenziós tér egybevágóságai közül most csak a
forgatásokkal, síkra való tükrözésekkel foglalkozunk.
/I. Feladat:
Adott egy gömb felület a térben. Lásd be, hogy egy egybevágósági
transzformáció pontoasn akkor képezi a gömböt önmagába, ha a gömb
középpontját helyben hagyja!
Megoldások
/1. Konvenció:
Rögzítjük az pontot a térben: az origót. jelöli az
középpontú egység sugarú gömbfelületet.
Ebben a szakaszban csak olyan egybevágósági transzformációkkal
foglalkozunk, amelyek helyben hagyják az origót. Ezzel ekvivalens
feltétel: a gömböt önmagába képezik.
/2. Definíció:
A gömböt önmagába képező egybevágósági transzformációk
csoportját -nak hívjuk.
A gömböt helyben hagyó mozgatások egy részcsoportot alkotnak,
neve: térbeli forgás csoport -- jele: .
/II. Feladat:
Lásd be, hogy valóban csoport, valóban részcsoport!
/III. Feladat:
Legyenek nem átellenes pontok. Lásd be, hogy ha egy
-beli mozgatás helyben hagyja a és pontokat, akkor
minden pontot helyben hagy!
Megoldások
/IV. Feladat:
Adottak a nem átellenes pontok. Lásd be, hogy bármelyik
olyan pontpárra, melyek távolsága
, pontosan egy olyan mozgatás van
-ban, amelyik -t -be, -t pedig $S-be viszi.
Megoldások
/3. Definíció:
Az olyan térbeli forgatásokat, amelyek forgástengelye átmegy az
origón,
origó körüli (térbeli) forgatásoknak hívjuk.
hamarosan látnifogjuk (
/VIII. feladat),
hogy az origó körüli forgatások halmaza éppen a forgáscsoport:
.
/V. Feladat:
Adott két síkra való tükrözés, amelyek tükörsíkja áthalad az
origón. Lásd be, hogy a kompozíciójuk egy elforgatás, a
forgástengely szintén áthalad az origón!
/VI. Feladat:
Lásd be, hogy minden forgatás felbontható két síkra való tükrözés
kompozíciójára! Hányféleképpen tudod felbontani?
/VII. Feladat:
Lásd be, hogy origó körüli (térbeli) forgatások kompozíciója is
origó körüli forgatás!
Segítség
/VIII. Feladat:
Lásd be, hogy minden eleme egy origó körüli forgatás!
Megoldások
/4. Érdekesség:
A feladatokban beláttuk, hogy
minden eleme tengely körüli
forgatás. A mi bizonyításunk geometriai volt, de persze sokféle más
módon is be lehet látni. Egy algebrai érvelés: az
elemei
egyenes tartó transzformációk, tehát bizonyos
-as
mátrixokkal való szorzások. Először a forgástengelyt keressük,
ezértis belátjuk, hogy minden
-as
mátrixnak van
saját--vektora: van olyan
vektor,
amire
(itt
valós szám.
(Bővebb információ:
itt
Ezt a
számot a mátrix
saját--értékének
hívják.
Adott
esetén
könnyen kiszámolható
(az
lineáris egyenlet--rendszerrel,
de a legtöbb
esetén nincs nem nulla megoldás.
Pontosan akkor találunk nem nulla megoldást, ha az
egyenlet-rendszer determinánsa nulla, azaz
Adott
esetén ez
-ra egy harmadfokú egyenlet,
a bal oldalon álló poilinomot hívjuk
az
mátrix
karakterisztikus polinomjának.
Harmadfokú valós együtthatós poninomnak mindig van valós gyöke,
azért van valós sajátérték, és hozzá sajátvektor. De a mi
transzformációnk távolság tartó is, tehát csak a
jöhet szóba.
esetén
a forgástengely iránya,
esetén a
-re merőleges síkban irányítás fordító
transzformációt -- azaz tengelyes tükrözést -- kapunk, enneka
tengelye lesz a forgástengely.
/5. Érdekesség:
Más módon is kereshetjük a forgástengelyt.
Egy
folytonos, irányítástartó bijekciónak mindig van
fixpontja. A mi esetünkben az origót a fixponttal összekötő egyenes
lesz a forgástengely. Az állításunk egy sokkal általánosabb tétel,
a
Lefschetz-féle fixpont tétel speciális esete --
homológia csoportok segítségével bizonyítják,
nekünk most még túl nagy kitérő volna.
/IX. Feladat:
Igaz-e, hogy az csoport minden eleme
vagy egy origó körüli elforgatás,
vagy egy origón áthaladó síkra való tükrözés!
Megoldások
/X. Feladat:
Lásd be, hogy az csoport egyszerű!