5. A sík egybevágóságai, mozgatásai
Megoldások
/I. Feladat:
Lásd be, hogy a síkbeli egybevágóságok csoportot alkotnak!
Megoldás:
Távolság tartó leképezések kompozíciója, inverze is
távolság tartó.
/II. Feladat:
Lásd be, hogy a sík irányítás tartó egybevágóságai csoportot
alkotnak!
Megoldás:
Irányítás tartó leképezések kompozíciója,
inverze is irányítás tartó.
/III. Feladat:
Adott a síkban két (különböző) pont: , ; és adott két
távolság: , . Lásd be, hogy legfeljebb két olyan pont van a
síkban, amelynek távolsága -től és -tól éppen illetve
. Milyen , értékre lesz csak egy ilyen pont? Mikor nem
lesz egy sem?
Megoldás:
A keresett pontok rajta vannak a köré
írt sugarú, illetve a köré írt sugarú körökön. Mivel a
két kör legfeljebb két pontban metszeti egymást, azért legfeljebb
két ilyen pont van. Jelőlje a szakasz hosszát.
Akkor van csak egy ilyen pont, ha a két kör érinti egymást, azaz
ha vagy . És akkor nincs ilyen pont, ha a körök
nem is találkoznak, azaz ha vagy .
/V. Feladat:
Legyenek és egyforma hosszú
szakaszok a síkban. Lásd be, hogy pontosan egy olyan (síkbeli)
mozgatás van, amelyik a , pontokat rendre az ,
pontokba viszi.
Megoldás:
Először is mutatunk egy ilyen mozgatást:
Először eltoljuk a síkot úgy,hogy a pont az pontba
érkezzen, legyen a pont eltoltja. Ezután elforgatjuk a
síkot az pontkörül úgy, hogy éppen az -be kerüljön.
Nevezzük az eltolás és a forgatás kompozícióját -nek: ez egy
olyan mozgatás, ami a , pontokat rendre az ,
pontokba viszi. Ha is egy ilyen mozgatás, akkor
is mozgatás, és a , pontok fixpontok.
Az előző feladat szerint , tehát
.
/VI. Feladat:
Legyenek és egyforma hosszú
szakaszok a síkban. Lásd be, hogy pontosan két olyan (síkbeli)
egybevágósági transzformáció van, amelyik a , pontokat
rendre az , pontokba viszi.
Megoldás:
Az előző feladat
miatt pontosan egy oylan mozgatás van, amelyik a , pontokat
rendre -be illetve -be viszi - nevezzük el -nek. Ha
komponáljuk -t (balról) az egyenesre való
tükrözéssel, akkor kapunk egy másik (nem irányítható)
egybevágóságot, amelyik a , pontokat szintén -be illetve
-be viszi. Tehát van legalább két ilyen. Legyen most egy
ilyen egybevágósági transzformáció. Ha irányítható, akkor az előző
feladat szerint megegyezik -vel. Ha pedig irányítás váltó,
akkor az tengelyre való tükrözéssel (balról)
komponálva egy irányítás tartó transzformációt kapunk - ami megint
csak lehet. Tehát csak két lehetőségünk van -re.
/VIII. Feladat:
Lásd be, hogy két tengelyes tükrözés kompozíciója mindig vagy
eltolás, vagy elforgatás, vagy az identitás. Mitől függ, hogy
melyik?
Segítség:
Ha a két tengely egybeesik, akkor identitás a
kompozíció. Ha párhuzamosak, akkor eltolást kapunk, különben pedig
forgatást. Rajzold le!
/IX. Feladat:
Lásd be, hogy két forgatás kompozíciója vagy forgatás, vagy
eltolás, vagy az identitás. Mitől függ, hogy melyik?
Segítség:
Bontsd fel a forgatásokat tengelyes tükrözések szorzatára: ha
ügyesen választod a tengelyeket, akkor a négy tükrözésből kettő
kiejti egymást. Ezt fogod kapni: Először vizsgáljuk azt az esetet,
ha a forgáscentrumok megegyeznek: Ha a forgatások szögei épp
ellentétesek, akkor identitás a kompozíció, különben forgatást
kapunk. Legyen most a két középpont különböző: Ha a forgatások
szögei épp ellentétesek, akkor eltolás a kompozíció, különben
forgatást kapunk.
/X. Feladat:
Lásd be, hogy egy (valódi) forgatás és egy eltolás kompozíciója
ismét forgatás lesz. Mi az új forgáscentrum?
Segítség:
Bontsd fel
a forgatásokat tengelyes tükrözések szorzatára: ha ügyesen
választod a tengelyeket, akkor a négy tükrözésből kettő kiejti
egymást. Az új forgáscentrum a maradék két tükörtengely
metszéspontja - ez nem túl szemléletes, de ennél jobb leírást nem
ismerek.
/XI. Feladat:
Lásd be, hogy minden síkbeli mozgatás vagy egy eltolás, vagy egy
forgatás, vagy az identitás!
Megoldás:
Az
/V. feladatban láttuk,
hogy minden síkbeli
mozgatás előállítható egy eltolás, és egy forgatás
kompozíciójaként - esetleg egyik, vagy mindkét tényező lehet az
identitás. Így az állításunk következik előző feladatból.
/XIV. Feladat:
A /(B) listán mely
sorok adnak meg részcsoportot?
Segítség:
Egyedül az 5. nem az: elforgatások kompozíciója lehet eltolás is.
/XV. Feladat:
A /(B) listán mely
részcsoportok közt van folytonos izomorfizmus?
Vannak-e izomorf, de nem folytonosan izomorf csoportok a listán?
Segítség:
Áttekintjük a lista sorait,
két csoport közt csak akkor van folytonos izomorfizmus, ha azt jelezzük:
-
Bármelyik irányt nézzük, a csoport izomorf
-rel, a valós számok additív csoportjával.
-
Izomorf -nel.
-
Ha különböző irányú
eltolások, akkor a csoport izomorf -nel. Ha
párhuzamosak, de a hosszuk aránya irracionális, akkor a
részcsoport sűrű részhalmaza lesz egy egyenesnek - szintén
izomorf -nel, de az izomorfizmus nem folytonos. Ha
pedig a két eltolás egymás racionális többszöröse, akkor van egy
"legnagyobb közös osztó"-juk, és a részcsoport ennek a közös
osztónak a hatványaiból áll, azaz végtelen ciklikus csoport.
-
Bármelyik középpont esetén a részcsoport izomorf
-vel.
-
Nem részcsoport.
-
Bármely kör esetén a részcsoport izomorf -vel.
-
Ugyanazok a
részcsoportok, mint az előző sorban.
-
Ha a sokszögnek
oldala van, akkor a részcsoport izomorf a diéder
csoporttal.
-
Bármely két rácsra izomorf csoportot
kapunk. Ezzel a csoporttal még nem találkoztunk, így még nevet
sem adtunk neki. Elemei: rács-vektorokkal való eltolások,
rácspontok körüli többszöröseivel való elforgatások,
és a tükrözések -
minden rácspontból 6 szimmetria tengely indul ki. Tehát a
csoport megszámlálhatóan végtelen, és nem kommutatív - ezért
különbözik a lista összes többi csoportjától.
Ezzel a folytonos izomorfizmusokat meghatároztuk.
Nem folytonos izomorfizmus van a 3. sorban szereplő kétféle
között (lásd fent), és az első két sor között:
mind
mind pedig
tekinthető racionális
együtthatójú vektortérnek, mindkettőnek a dimenziója kontinuum
számosságú. A listán szereplő csoportok között más izomorfizmus
nincs.
/XVI. Feladat:
A fenti érvelés nem teljesen jó, ha két olyan szabályos sokszög
szimmetria csoportját akarjuk összehasonlítani, amelyeknek
ugyanannyi csúcsa van, de nem egybevágóak.
Meg tudod-e javítani az érvelést?
Segítség:
A két sokszög hasonló, tehát ha az egybevágóságok közt nem is,
de az összes hasonlóságok csoportjában már működik a módszer.
/XXIV. Feladat:
Az előző feladatban a transzformációt többféleképpen is
megválaszthatjuk. Mi az összes lehetőség? Igaz-e, hogy bármelyik
-vel való konjugálás ugyanazt a izomorfizmut adja.
Igaz-e, hogy az összes egybevágóságok csoportján csupa különböző
automorfizmust adnak?
Segítség:
Az utolsó kérdésre a válasz:
Az összes egybevágóságok csoportján mindegyik más-más
automorfizmust ad. Valóban, -gyel és vel való
konjugálás akkor ugyanaz, ha minden
egybevágósággal fölcserélhető, azaz ha .