4. Homomorfizmus, izomorfizmus
A Lorentz transzformációkról szóló
3/XII. feladatban
csoportok közti művelet-tartó leképezést építettünk.
Ezekről szól akövetkező két definíció.
/1. Definíció:
Legyenek , csoportok. Egy leképezést
csoport homomorfizmusnak nevezünk,
ha művelettartó, azaz teljesíti a következő azonosságokat:
/2. Megjegyzés:
A fenti definícióban az egyenletek bal oldalán a műveletek, és az
egységelem a csoportban élnek, a jobb oldalon viszont --
értelemszerűen -- a csoportban. Általában, ha a környezetből
egyértelmű, akkor nem szoktuk külön jelölni, hogy egyes szorzásokat,
inverz elemet, egységelemeket melyik csoportban kell kiszámolni.
/I. Feladat:
Legyenek , csoportok. Lásd be, hogy ha egy függvény
szorzás tartó:
,
akkor homomorfizmus.
Megoldások
/3. Definíció:
Csoport
izomorfizmusnak nevezzük az olyan
csoport homomorfizmusokat
(lásd a
/1. definíciót),
amelyeknek van inverze. Egy csoport saját magával való izomorfizmusait
automorfizmusnak nevezzük.
/4. Megjegyzés:
Az izomorf csoportokat -- algebrai szempontból -- azonosnak
tekintjük, a csoportok "belső" tulajdonságaival nem is lehet őket
megkülönböztetni egymástól.
Sok példánk lesz látszólag nagyon különböző, de mégis izomorf
csoportokra. Egyenlőre nem követelünk meg az izomorfizmusainktól sem
folytonosságot, sem más esetleg "természetes"-nek látszó
jótulajdonságot.
/II. Feladat:
Legyenek , csoportok, egy izomorfizmus. Lásd be,
hogy az inverze is izomorfizmus.
/III. Feladat:
Lásd be, hogy izomorfizmus erejéig egyetlen kételemű csoport van:
a szorzásra nézve.
/IV. Feladat:
Lásd be, hogy két ciklikus csoport pontosan akkor izomorf, ha
ugyanakkora a rendjük.
/V. Feladat:
Legyen a valós számok halmaza, és lássuk el a következő
"művelettel":
Ez majdnem csoporttá teszi. Miért nem csoport?
Hogyan lehetne mégis csoportot csinálni ebből a képletből?
Megoldások
/5. Definíció:
Néhány fontos csoport, és a szokásos jelölésük:
- A valós számok additív csoportja: alaphalmaz az
összes valós szám, művelet az összeaadás,
jele: vagy .
- A (nem nulla) valós számok multiplikatív csoportja:
alaphalmaz a nem nulla valós számok halmaza, művelet a szorzás,
jele: .
- Az dimenziós (valós) vektortér: alaphalmaz egy
dimenziós (valós) vektortér vektorai, művelet az összeadás,
jele: .
- A racionális számok additív csoportja: alaphalmaz az
összes racionális szám, művelet az összeaadás,
jele: .
- Az egészszámok additív csoportja: alaphalmaz az
összes egész szám, művelet az összeaadás,
jele: .
Hívják végtelen ciklikus csoportnak is.
- A rács -ben: alaphalmaz egy
dimenziós (valós) vektortér egész koordinátájú vektorai,
művelet az összeadás,
jele: .
Hívják még rangú szabad Abel csoportnak is.
/VI. Feladat:
Izomorf-e és egymással?
Megoldások
/VII. Feladat:
A pozitív valós számok csoportot alkotnak a szorzásra nézve. Ez a
csoport kivel izomorf az /5. definíció listáján?
Megoldások
/VIII. Feladat:
Izomorfak-e és egymással?
Megoldások
/IX. Feladat:
Keresd meg az összes folytonos homomorfizmust.
Van-e még más (nem folytonos) homomorfizmus?
/X. Feladat:
Izomorf-e és egymással?