2. A kör egybevágóságai: O(2), SO(2)
Ebben a fejezetben a körvonal egybevágósági transzformációival
foglalkozunk.
/1. Definíció:
A sík önmagára való távolság--tartó leképezéseit egybevágósági
transzformációnak nevezzük. Az olyan egybevágósági
transzformációkat, amelyek egy egy síkbeli alakzatot saját magára
képeznek, a alakzat egybevágósági transzformációjának nevezzük.
Térbeli, és magasabb dimenziós alakzatok egybevágósági
transzformációit hasonló módon definiáljuk.
/2. Megjegyzés:
Egy síkbeli alakzat önmagára való távolságtartó leképezései
mindig kiterjeszthetők az egész sík egybevágósági
transzformációjává.
Hasonló állítás mondható térbeli, és magasabb dimenziós alakzatokról.
/I. Feladat:
Lássuk be, hogy egy rögzített alakzat összes egybevágósági
transzformációi csoportot alkotnak a kompozícióra nézve.
/3. Definíció:
Egy körvonal egybevágóságai csoportot alkotnak, ezt a
csoportot kétféleképpen szokták jelölni: és
.
Egy körvonal irányítást tartó egybevágóságai, azaz a forgatások
egy részcsoportot alkotnak, ezt a csoportot háromféleképpen is szokás
jelölni: , és .
/II. Feladat:
Eddig a körnek háromféle egybevágóságával találkoztunk: elforgatások,
tükrözések és az identitás. Különböznek-e ezek egymástól? Miért?
Megoldások
/III. Feladat:
Bizonyítsuk be, hogy két tengelyes tükrözés kompozíciója mindig egy
elforgatás.
/IV. Feladat:
Állítsunk elő minden elforgatást mint két tükrözés kompozíciója!
Hányféleképpen lehet előállítani?
/4. Konvenció:
Most rögzítünk egy körvonalat a síkban, jelöli a középpontját.
/V. Feladat:
Rögzítsünk egy pontot a körön. Lássuk be, hogy --nak
pontosan két olyan egybevágósága van, amelyik a pontot helyben
hagyja: az identitás, és az tengelyre való tükrözés.
Megoldások
/VI. Feladat:
Lássuk be, hogy a körvonal minden egybevágósága vagy elforgatás az
körül (valamekkora szöggel), vagy tükrözés egy ponton áthaladó
tengelyre.
Megoldások
A feladatok tanulságait a következő tétel foglalja össze:
/5. Tétel:
Egy kör egybevágóságai a következőképpen osztályozhatók:
- Minden pontot helyben hagy: identitás.
- Két átellenes fixpontja van: tükrözés a fixpontokon átmenő
tengelyre
- Nincs fixpontja: valódi (nem 0 szögű) elforgatás.
/VII. Feladat:
Próbáld meg lerajzolni a kör egybevágóságainak csoportját:
a rajzon minden transzformációnak pontosan egy pont feleljen meg,
és ez a megfeleltetés mindkét irányban folytonos legyen!
Megoldások
/VIII. Feladat:
Vizsgáljuk meg az egybevágósági transzformációk rendjét!
Hány végtelen rendű elem van?
Hány véges rendű elem van?
Hány rendű elem van?
/IX. Feladat:
Keressünk minél több részcsoportot -ben!
/(A) O(2) néhány véges részcsoportja
- Az identitás önmagában részcsoportot alkot:
- , ahol egy tetszőleges tükrözés.
- Az identitás és a középpontra való tükrözés.
- Két merőleges tengelyre való tükrözés, a középpontos tükrözésés
az identitás.
- elforgatás összes többszöröse.
- Egy szabályos oldalú sokszög összes egybevágósága.
/X. Feladat:
Lásd be, hogy az /(A) listán minden sor
valóban részcsoport!
/XI. Feladat:
Kaphatunk-e véges részcsoportot, ha két nem merőleges
tengelyből indulnk ki?
/XII. Feladat:
Határozd meg az /(A) listán szereplő
részcsoportok rendjét!
/XIII. Feladat:
Az /(A) lista mely soraiban van Abel
csoport?
/XIV. Feladat:
Van-e olyan részcsoport, amelyik többször szerepel az
/(A) listán?
/XV. Feladat:
Az /(A) lista mely sorai adnak meg
végtelen sok részcsoportot?
/XVI. Feladat:
Lásd be, hogy minden véges részcsoportja szerepel a listán!
/6. Definíció:
Egy szabályos oldalú sokszög összes egybevágóságainak csoportját
elemű diéder csoportnak hívjuk, -nel jelöljük.