12. Az exponenciális függvény
Megoldások
Csoport-műveletek deriváltja
/III. Feladat:
Lásd be, hogy a (determináns)
függvény deriváltja az 1 pontban a (nyom) függvény:
Megoldás:
Legyen egy "kis" mátrix (az elemeit kicsinek képzeljük).
A determinánst kifejtjük, és az hibába gyűjtjük az
összes olyan tagot, amelyikben legalább két -beli elem szorzata
van (hiszen azok másodrendben kicsik):
Ezt ellenőrizd!
Ezért az lineáris függvény elsőrendben közelíti a
függvényt.
/IV. Feladat:
Legyen egy invertálható mátrix.
Számítsd ki a (determináns)
függvény deriváltját az pontban!
Megoldás:
tehát a derivált:
/V. Feladat:Hatványozás, inverz deriváltja
Számítsd ki a ,
függvény deriváltját az egységmátrixban!
Érvényes-e az eredményed negatív -re is?
Mi a deriváltja más pontokban?
Segítség:
Válasz: derivált 1-ben:
Derivált -ban:
/VII. Feladat:Konjugálás deriváltja
Legyen egy rögzített mátrix.
Számítsd ki a
,
függvény deriváltját az egységmátrixban!
Segítség: Válasz:
/VIII. Feladat:Szorzás deriváltja
Számítsd ki a
,
függvény deriváltját az
pontban (itt az egységmátrixot jelöli)!
Mi a derivált függvény?
Megoldás:
Legyen az mátrix normája az elemek abszolút értékének összege:
Világos, hogy . Tehát az pont
környezetében
azaz az pontbeli derivált az összeadás fügvény:
Általában, az pont körül
azaz
/IX. Feladat:Másfajta konjugálás deriváltja
Legyen egy rögzített mátrix.
Számítsd ki a
,
függvény deriváltját az egységmátrixban!.
Segítség: Válasz:
/X. Feladat:Kommutátor deriváltja
Számítsd ki a
,
függvény deriváltját az
pontban (itt az egységmátrixot jelöli)!
Ezt a függvényt hívják kommutátornak,
szokásos jelölése: .
Segítség: Válasz: . Két 1-hez közeli mátrix
kommutátora csak másodrendben tér el 1-től.
GL(n,R) exponenciális függvénye
/XII. Feladat: Lásd be, hogy mindig invertálható, azaz valóban
-ben él.
Segítség: Inverze: .
/XXII. Feladat:
Számítsd ki a függvény deriváltját a helyen!
Segítség:
Válasz:
Egyparaméteres részcsoportok GL(n,R)-ben
/XXVIII. Feladat:
Számítsd ki az /(A) listában felsorolt
egyparaméteres részcsoportok szerinti deriváltját -ban.
Segítség:
A válasz: minden esetben az mátrixot kell kapni.
/XXIX. Feladat:
Igazold az /(A) lista minél több sorát:
mutasd meg, hogy valóban a megadott mátrix,
és az így kapott transzformációk valóban a megnevezett síkbeli
transzformációk!
Segítség:
Egyes esetekben kézzel is ki lehet számítani az
mátrixot. Általában egyszerűbb az érintő vektorok és az
egyparaméteres részcsoportok közti kapcsolatra hivatkozni -
így az állítás következik az előző két feladatból.
Exponenciális leképezés mátrix Lie csoportokban