1. A csoport fogalma
Megoldások
/VIII. Feladat:
Adott egy csoport. Bizonyítsd be, hogy ha egy
véges, nem üres részhalmaz zárt a szorzásra nézve, akkor
már részcsoport (tehát automatikusan tartalmazza az egységelemet, és
zárt az inverz elem képzésre is).
Megoldás:
Be kell látnunk, hogy zárt az inverz elem képzésre, és tartalmazza
az egységelemet.Legyen hát egy tetszőleges elem, megpróbáljuk
az inverzét, és az egységelemet csupán szorzással előállítani --ból.
Kezdjük el hatványozni az elemünket:
Ez egy végtelen sorozat, minden tagja --ban van
(hiszen szorzással kaptuk őket --ból).
Mivel véges, azért előbb-utóbb valamelyik tag megismétlődik:
valamilyen kitevőkre. Az egyenletet
megszorozva --nel (ezt --ben lehet) azt találjuk, hogy
,
és a jobb oldali benne van --ban
(mert szorzással kapható --ból),
tehát . Tovább szorozva --nel azt találjuk, hogy
,
és a jobboldal továbbra is --ban
van, hiszen a kitevő
(pozitív kitevős hatványokszorzássalkaphatók --ból,
és már tudjuk, hogy is --ban van).
Ezért a bal oldal is: .