7. Csoport ábrázolások
1. Definíció:lineáris ábrázolás
Legyen
egy csoport,
egy (valós vagy komplex) vektortér!
lineáris ábrázolása, vagy más szóval
lineáris
reprezentációja a
vektortéren,
az egy olyan
-hatás
-n, amit egy
homomorfizmussal adhatunk meg.
Másképpen: olyan csoporthatás,amelyben minden
elemre a
,
transzformáció egy lineáris transzformáció.
2. Tétel:
Legyen
egy összefüggő Lie csoport,
a Lie algebrája,
és
egy véges dimenziós lineáris ábrázolása.
Az ábrázolás egy
homomorfizmus, aminek a
deriváltja az
5/(B) Lista szerint
egy
Lie algebra homomorfizmus.
3. Megjegyzés:
Folytassuk a
2. Tétel
gondolatmenetét!
Az
4/IX. Feladatban vektormezőket rendelünk a
-beli mátrixokhoz, tehát kapunk egy Lie algebra
homomorfizmust ami
elemeihez
-n élő vektormezőket rendel.
Ezek pontosan ugyanazok a vektormezők, mint amit az
6/8. Tételben gyártottunk.
4. Definíció:unitér ábrázolás
Legyen
egy csoport,
egy Hilbert tér!
unitér ábrázolása, vagy más szóval
unitér
reprezentációja a
téren,
az egy olyan
-hatás
-n, amit egy
homomorfizmussal adhatunk meg.
Másképpen: olyan csoporthatás,amelyben minden
elemre a
,
transzformáció egy unitér transzformáció.
5. Definíció:
Legyen egy csoport, és lineáris -ábrázolások!
Egy lineáris leképezést ekvivariánsnak
mondunk, ha minden , esetén.
és izomorf ábrázolások, ha van köztük egy
invertálható ekvivariáns lineáris leképezés.
6. Definíció:invariáns altér
Legyen
egy csoport,
egy lineáris
-ábrázolás.
Egy
alteret invariáns altérnek mondunk, ha
minden
transzformációra.
Egy invariáns altér maga ia
-ábrázolás, és a
faktortér is
természetes módon
-ábrázolás lesz:
.
7. Definíció:ábrázolások direkt összege
Legyen
egy csoport,
és
lineáris
-ábrázolások.
Megadunk egy
-ábrázolást a
direkt összeg
vektortéren:
Ezt az ábrázolást hívjuk
és
direkt összegének.
Ha
és
unitér ábrázolások, akkor a direkt összegük is az.
8. Tétel:
Legyen a csoport unitér ábrázolása, és egy
invariáns altér. Ilyenkor a merőleges liegészítő szintén
invariáns altér, és .
9. Definíció:irreducibilis ábrázolás
Egy lineáris ábrázolás irreducibilis, ha nincs más invariáns
altere, mint
és önmaga. Unitér ábrázolás pontosan akkor
irreducibilis, ha nem áll elő direkt összegként.
10. Definíció:ábrázolások tenzor szorzata
Legyen
egy csoport,
és
lineáris
-ábrázolások.
tegyük fel, hogy véges dimenziósak, legyen
bázisa
,
bázisa pedig
.
A
tenzorszorzat bázisa az
párok, az
operációt mindkét változóban
lineárisan kiterjesztjük egy kétváltozós
függvénnyé. Egy
elem hatása a bázisvektorokon:
Ezt lineárisan kiterjesztjük az egész
térre,
így egy lineáris
-ábrázolást kapunk.
Világos, hogy
minden
,
párra.
11. Definíció:unitér ábrázolások tenzor szorzata
Legyen
egy csoport,
és
unitér ábrázolások.
(Tehát
és
Hilbert terek, lehetnek végtelen dimenziósak is.)
Legyen
ortonormált bázis
-ben,
pedig ortonormált bázis
-ben!
A
Hilbert tér ortonormált bázisa
az
párok,
ezt az előző definícióhoz hasonlóan kiterjesztjük egy mindkét
változóban lineáris
leképezéssé.
Egy
elem hatását megint a bázison értelmezzük:
és ezt megint lineárisan terjesztjük ki egy unitér
-ábrázolássá.
Most is
minden
,
párra.