6. Csoport hatások, pályák, stabilizátorok
1. Definíció:csoport hatás
Legyen
egy csoport. Egy
-hatás az
halmazon nem más,
mint egy kétváltozós függvény:
, amit szorzással fogunk jelölni, és ami kielégíti
a következő azonosságot:
Ha
Lie csoport,
sokaság, és a kétváltozós függvényünk
végtelen sokszor differenciálható, akkor
differenciálható
csoport hatásnak mondjuk.
2. Tétel:
Legyen
egy csoport, ami hat egy
halmazon!
jelöli az
halmaz
szimmetrikus
csoportját. Definiáljuk a
leképezést:
. Ez egy csoport homomorfizmus.
Fordítva: minden
homomorfizmus megad egy
-hatást
-en. Ezért a
-hatást megadhatjuk a hozzá tartozó
homomorfizmussal is.
3. Definíció:pálya, stabilizátor
Legyen
egy csoport, ami hat egy
halmazon!
Egy
elem egy
transzformáció
fixpontja, ha
. az
elem az egész
csoport
fixpontja, ha
minden
-re.
Az
elem pályája (jelölése
):
Az
stabilizátora (jelölése
) pedig:
I. Feladat:
Mutasd meg, hogy a stabilizátor mindig részcsoport! Igaz-e, hogy
mindig normálosztó?
Segítség
4. Tétel:
Legyen egy csoport, ami hat egy halmazon,
tetszőleges pont.
A stabilizátor mindig részcsoport.
A pályája pontjai egy-egyértelmű
megfeleltetésben állnak a stabilizátor mellékosztályaival:
a mellékosztályban pontosan azok a csoportelemek laknak,
amelyek -et az pontba viszik.
Ennek az -nak a stabilizátora pedig éppen a
konjugált részcsoport. Látható, hogy minden konjugáltját
megkapjuk, mint a pályán valamelyik pont stabilizátorát.
(Viszont több pontnak is lehet ugyanaz a stabilizátora! Ha például
normálosztó, akkor a pálya minden pontjában ugyanaz a
stabilizátor.)
5. Megjegyzés:
A fenti tétel miatt egy pont stabilizátor részcsoportja pontosan
meghatározza a pálya szerkezetét!
6. Tétel:
Legyen egy Lie csoport, ami differenciálhatóan hat egy
sokaságon. Ekkor a stabilizátor részcsoportok zárt részcsoportok,
tehát maguk is Lie csoportok. A pályák pedig részsokaságok.
7. Megjegyzés:
Tekintsük a , leképezést.
Jelölje a Lie algebráját.
A stabilizátor egy rész Lie csoport, legyen a Lie
algebrája, és legyen az ortogonális kiegészítője.
A leképezés a pályába képez,
és könnyű látni, hogy bijektíven képezi origó körüli
környezetét egy -körüli környezetébe.
8. Tétel:
Legyen
egy Lie csoport, ami hat az
sokaságon.
Jelölje
a csoport Lie algebráját.
Minden
elemhez tartozik egy
egyparaméteres
részcsoport, és minden
pontból kiindul a
görbe. Ennek az érintő vektora megad egy vektormezőt
-en:
Az
leképezés egy Lie algebra homomorfizmus
-ből az
-en élő
vektormezők Lie algebrájába.
9. Megjegyzés:
A fenti tételt meg is lehet fordítani:
a vektormezőt leíró differenciálegyenlet megoldható a
Picard-Lindelöf tétel miatt, így tudunk a
-hez rendelt
vektormezőkből
transzformációkat gyártani.
Ezek összeállnak egy Lie csoporttá - de mint a
5/(B) Listában, most sem feltétlenül
a
csoportot kapjuk vissza.
(A) csoport hatás - vektormező kapcsolata
- Legyen egy összefüggő Lie csoport, a Lie
algebrája. Tegyük fel, hogy differenciálhatóan hat az
sokaságon!
- Az (A) Tételben megtaláltunk egy Lie
algebra homomorfizmust -ből az
-en élő
vektormezők Lie algebrájába.
- Fordítva: minden olyan Lie algebra homomorfizmus, amelyik
elemeihez -en élő vektormezőket rendel meghatároz egy
differenciálható -hatást -en, ahol a
Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoport.
- Legyen tetszőleges pont, az
(A) Tétel ad egy lineáris leképezést
-ből a -beli érintővektorok terébe. Ennek a magja éppen a
stabilizátor Lie algebrája.
- Fordítva: fixpont halmaza éppen a fenti vektormezők közös
zérushelye.